概率论与数理统计习题答案1-2

第一章 事件与概率

1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。

解 (1)记9个合格品分别为 正1,正2，?，正9，记不合格为次，则

(正2，正4)，?，(正2，正9)，(正2，次)， ??{(正1，正2)，(正1，正3)，?，(正1，正9)，(正1，次)，(正2，正3)，(正3，正4)，?，(正3，正9)，(正3，次)，?，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次)} A?{(正1，次)，(正2，次)，?，(正9，次)}

(2)记2个白球分别为?1，?2，3个黑球分别为b1，b2，b3，4个红球分别为r1，r2，r3，r4。则??{?1，?2，b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4}

(ⅰ) A?{?1，?2} (ⅱ) B?{r1，r2，r3，r4}

1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。

(1) 叙述ABC的意义。

(2)在什么条件下ABC?C成立？ (3)什么时候关系式C?B是正确的？ (4) 什么时候A?B成立？

解 (1)事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2) ABC?C 等价于C?AB，表示全系运动员都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n个零件，以事件Ai表示他生产的第i个零件是合格品（1?i?n）。用Ai表示下列事件：

(1)没有一个零件是不合格品；

(2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。

解 (1) ?Ai; (2) ?Ai??Ai; (3) ?[Ai(?Aj)];

i?1nnnnni?1i?1i?1j?1j?i(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为?AiAj；

i,j?1i?jn1.4 证明下列各式： (1)A?B?B?A; (2)A?B?B?A

(3)(A?B)?C?A?(B?C); (4)(A?B)?C?A?(B?C) (5)(A?B)?C?(A?C)?(B?C) (6) ?Ai??Ai

i?1i?1nn证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。

1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。

解 样本点总数为A82?8?7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以

211事件A“所得分数为既约分数”包含A3?2A3?A5?2?3?6个样本点。于是

2?3?69?。 8?7141.6 有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。

P(A)??5?解 样本点总数为??3???10。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必

??须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件A“所取三条线段能构成一

3个三角形”包含3个样本点，于是P(A)?。

101.7 一个小孩用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？

解 显然样本点总数为13!，事件A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含

3!2!2!2!48? 13!13!1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。

解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9?10?1?89个不同位置，当

3!2!2!2!个样本点。所以P(A)?它处于和红“车”同行或同列的9?8?17个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为

17P(A)?

891.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。

解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为97。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于

7“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含A9个样本点，于是7A9P(A)?7。

91.10 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？

94?9?解 用A表示“牌照号码中有数字8”，显然P(A)????，所以

10000?10?94?9?P(A)?1-P(A)?1??1???

10000?10?1.11 任取一个正数，求下列事件的概率：

(1)该数的平方的末位数字是1； (2)该数的四次方的末位数字是1； (3)该数的立方的最后两位数字都是1；

1解 (1) 答案为。

5(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答42案为?

105(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含102个样本点。用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为a，则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数，要使3a的个位数是1，必须a?7，因此A所包含的样本点只有71这一点，于是

。

1.12 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的情形。

解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故

44对头而言有5?3?1种接法，同样对尾也有5?3?1种接法，所以样本点总数为用A表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有5?3?1种(5?3?1)2。

连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。

再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4?2。所以A包含的样本点数为(5?3?1)(4?2)，于是

P(A)?(5?3?1)(4?2)8? 215(5?3?1)(2) 2n根草的情形和(1)类似得

1.13 把n个完全相同的球随机地放入N个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k个球

?N?n?k?2????，0?k?n 的概率为??n?k??N?n?1?????n???N??n?1????????(2)恰好有m个盒的概率为??m??N?m?1?，N?n?m?N?1

?N?n?1?????n??(3)指定的m个盒中正好有j个球的概率为

?m?j?1??N?m?n?j?1????m?1?????n?j?????N?n?1?????n??，

1?m?N,0?j?N.

解 略。

1.14 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。

3解 所求概率为P(A)?

5n?11.15 在?ABC中任取一点P，证明?ABP与?ABC的面积之比大于的概

n1率为2。

n1解 截取CD??CD，当且仅当点P落入?CA?B?之内时?ABP与?ABC的面

nn?1积之比大于，因此所求概率为

n21?CD2?A?B?C有面积CD?1nP(A)????。 222?ABC的面积nCDCD21.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。

解 分别用x,y表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当0?x?y?2,0?y?x?1。因此所求概率为

11242??232??22222P(A)??0.121 2241.17 在线段AB上任取三点x1,x2,x3，求： (1) x2位于x1与x3之间的概率。

(2) Ax1,Ax2,Ax3能构成一个三角形的概率。

111?3??132?1 解 (1) P(A)? (2) P(B)?3121.18 在平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为a,b,c（均小于d），求三角形与平行线相交的概率。

解 分别用A1,A2,A3表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然P(A1)?P(A2)?0.所求概率为P(A3)。分别用

Aa,Ab,Ac,Aab,Aac,Abc表示边a,b,c，二边ab,ac,bc与平行线相交，则

P(A3)?P(Aab?Aac?Abc).显然P(Aa)P(Aab)?P(Aac)，P(Ab)?P(Aab)?P(Abc)，P(Ac)?P(Aac)?P(Abc)。所以

P(A3)?121[P(Aa)?P(Ab)?P(Ac)]?(a?b?c)?(a?b?c) 22?d?d（用例1.12的结果）

1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。

解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A“该点命中AB的中点”的概率等于零，但A不是不可能事件。

1.20 甲、乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。

3k?30.9??e，查普哇松分布数值表，得x?5。

k?0k!x2.15 设二维随机变量(?,?)的联合分布列为：

P(??n,??m)??npm(1?p)n?mm!(n?m!)ne??(??0,0?p?1) m?0,1,?,nn?0,1,2,?

求边际分布列。

解 P(??n)??P(??n,??m)?m?0?ne??n!pm(1?p)n?m ?n!m?0m!(n?m)!n??ne??n!n?0,1,2,?

pme??P(??m)?P(??n,??m)?m!n?0??n!pm(1?p)n?m ?n?mm!(n?m)!?(?p)me??p?m!m?0,1,2,?。

2.17 在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。从中任取4件，设一、二、三等品的件数分别为?、?、?，求(?,?,?)的联合分布列与各自的边际分布列。

解 P(??m,??n,??k)?4!0.5m0.3n0.2k ，m,n,k?0,1,2,3,4m?n?k?4. m!n!k!?4?m4?m ，m?0,1,2,3,4； P(??m)???m??0.50.5???4?n4?nP(??n)???n??0.30.7 ，n?0,1,2,3,4；

???4?k4?kP(??k)???k??0.20.8 ，k?0,1,2,3,4。

??2.18 抛掷三次均匀的硬币，以?表示出现正面的次数，以?表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(?,?)的联合分布列及边际分布列。

2.21 设随机变量?与?独立，且P(??1)?P(??1)?p?0，

1若???为偶数，问p取什么值又P(??0)?P(??0)?1?p?0，定义?????0若???为奇数时?与?独立？

解P(??1)?P(??0)P(??0)?P(??1)P(??1)=(1?p)2?p2

P(??0)?P(??0)P(??1)?P(??0)P(??1)?2p(1?p)

而P(??1,??1)?P(??1,??1)?p2，由P(??1,??1)?P(??1)P(??1)得p?1

2 2.22 设随机变量?与?独立，且P(???1)?P(???1)?证明?,?,?两两独立，但不相互独立。

证明P(??1)?P(??1)P(??1)?P(???1)P(???1)?P(???1)?P(??1)P(???1)?P(???1)P(??1)?1 21，定义????，21 2因为P(??1,??1)?P(??1,??1)?1?P(??1)P??1) 41P(??1,???1)?P(??1,???1)?P(??1)P???1)

41P(???1,??1)?P(???1,???1)?P(???1)P(??1)

41P(???1,???1)?P(???1,??1)?P(???1)P(???1)

4所以?,?相互独立。同理?与?相互独立。

但是P(??1,??1,??1)?P(??1)P(??1)P(??1)，因而?,?,?不相互独立。

2.23设随机变量?与?独立，，且只取值1、2、3、4、5、6，证明???不服从均匀分（即不可能有P(????k)?1,k?2,3,?,12。） 11证明 设P(??k)?pk,P(??k)?qk,k?1,2,?,6。

若P(????k)?1,k?2,3,?,12，则 111P(????2)?p1q1? (1)

111P(????7)?p1q6?p2q5???p6q1? (2)

111P(????12)?p6q6? (3)

11将（2）式减去（1）式，得：(p6?p1)q1?0，于是p6?p1。同理q6?q1。因此p6q6?p1q1?1，与（3）式矛盾。 11??02.24 已知随机变量?的分布列为?1???4?212???4?2????2与??cos?的分，求?31??布列。

解 ?分布列为P(??2)?1?12?1)?； ，P(??2?)?，P(??2?43234111?的分布列为P(???1)?，P(??0)?，P(??1)?。

4243???2?101211111?，求???的分??651530??52.25 已知离散型随机变量?的分布列为?1布列。

17111 , P(??1)? , P(??4)? , P(??9)? 530530?0?013?2.26 设离散型随机变量?与?的分布列为?：?131? ， ? ：?1????3?288?解P(??0)?1?2?，?3?且?与?相互独立，求?????的分布列。

解 ?1111??624?012434?11?

?2412?2.27 设独立随机变量?与?分别服从二项分布：b(k;n1,p)与b(k;n2,p)，求

???的分布列。

解 设?为n1重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中P(A)?p），

?为n2重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中P(A)?p），而?与?相互独立，所以???为n1?n2重贝努里试验中事件A发生的次数，因而

?n1?n2?kn1?n2?kP(????k)???k??pq??,k?0,1,,?,n1?n2。

2.28 设?与?为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为 P(??n)?P(??n)?求???的分布列。

解P(????n)??P(??k)P(??n?k)??k?1n?11,n?1,2,? 2n11n?1 ??kn?kn22k?12n?112.29 设随机变量?具有分布：P(??k)?,k?1,2,3,4,5，求E?、E?2及

5E(??2)2。

11解，E??(1?2?3?4?5)?3，E?2?(12?22?32?42?52)?11

55 E(??2)2?E?2+4E?+4=27 2.30设随机变量?具有分布：P(??k)?1,k?1,2,?，求E?及D?。 k2?k?1k1??1?解 E???k??k??2k?1?2?k?12 D??E?2?(E?)2?2

?k?1k21?2?1?2?2，E???k??k??2k?1?2?k?12?6

2k1]?k,k?1,2,?，问?2.31设离散型随机变量?的分布列为：P[??(?1)k2k是否有数学期望？

??12k11解 ?|(?1)|?k??，因为级数?发散，所以?没有数学期望。

k2k?1kk?1k?1k?k2.32 用天平秤某种物品的重量（砝码仅允许放在一个秤盘中），物品的重量

以相同的概率为1克、2克、?、10克，现有三组砝码：

（甲组）1，2，2，5，10（克） （乙组）1，2，3，4，10（克） （丙组）1，1，2，5，10（克）

问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少？

解 设?1、?2、?3分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，则有

物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

?1 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 ?2 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1 ?3 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1

1(1?1?2?2?1?2?2?3?3?1)?1.8 101 E?2?(1?1?1?1?2?2?2?3?3?1)?1.7

101E?3?(1?1?2?3?1?2?2?3?4?1)?2

10于是 E?1?所以，用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。

2.33某个边长为500米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0米的概率是0.49, ?10米的概率各是0.16，?20米的概率各是0.08，?30米的概率各是0.05，求场地面积的数学期望。

解 设场地面积为S米2，边长的误差为?米，则S?(??500)2且

E??0E?2?2(102?0.16?202?0.08?302?0.05)?186

所以ES?E(??500)2?E?2?1000E??250000?250186(米2)

2.34 对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为p1、

p2、p3。试证发生故障的仪器数的数学p1+p2+p3。

?1第i架仪器发生故障证 令?i??i?1,2,3

?0第i架仪器未发生故障?为发生故障的仪器数，则E?i?P(?i?1)?pi,i?1,2,3， 所以E??E?1?E?2?E?3?p1+p2+p3。

2.37 如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。

解 设，

?10?1则?i的分布列为?114?，因而E?i?。设?为查得的不合格品数，

??15?1515?则

????i，所以E???E?i?10。

i?1i?11501502.38 从数字0，1，?，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。

解 设?为所选两个数字之差的绝对值，则P(??k)?n?k?1,k?1,2,?,n，

?n?1???2????nn?k?12n?22于是E???k。 ?[(n?1)k?k]??3?n?1?n(n?1)k?1k?1???2???n2.39 把数字1,2,?,n任意在排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。

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