新北师大版直角三角形的边角关系讲义

第一章 直角三角形的边角关系

知识点一、锐角三角函数（正弦、余弦、正切）

在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sinc），记作sin A，即sinA??A的对边斜边?ac。

把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cos A，

即 cosA??A的邻边b斜边?c；

把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tan A，即tanA??A的对边a?A的邻边＝b。

特殊角的三角函数值 解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。

锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数。

直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们之间存在如下关系：

（1）三边之间关系：a2?b2?c2； （2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°； （3）边角之间关系：sinA=

ac，cosA=bc，tanA=ab。（其中∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠C的对边为c）

(4)面积公式：S?ABC?12ab?12ch(h为斜边上的高) 1

除直角外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可以利用以上关系求另外3个元素

2、解直角三角形的基本类型和方法：

已知条件 解法 一边直角边a及锐角B＝90°-A，b＝a·tanA，c=a及 A sinA 一锐斜边c及锐角A B＝90°-A，a＝c·sinA，b＝c·cosA 角 两条直角边a和b ，B＝90°-A， 两边 直角边a和斜边c sinA=ac，B＝90°-A，

注意： （1） 在解直角三角形中，正确选择关系式是关键： ①若求边：一般用未知边比已知边，求寻找已知角的某一个三角函数； ②若求角：一般用已知边比已知边，去寻找未知角的某一个三角函数； ③求某些未知量的途径往往不唯一。选择关系式常遵循以下原则： 一是尽量选可以直接应用原始数据的关系式； 二是设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法计算。 （2） 对于含有非基本量的直角三角形，比如有些条件中已知两边之和，中线、高线、角平分线长，角之间的关系，锐角三角函数值，周长、面积等等。对于这类问题，我们常用的解题方法是：将非基本量转化为基本量，或由基本量间关系通过列方程（组），然后解方程（组），求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的。 在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构成直角三角形来

解决，而作高时，常从非特殊角的顶点作高；对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法，构造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，实现问题的有机转化

3、各锐角三角函数之间的关系

（1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)

2

tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)

（2）平方关系

sin2A?cos2A?1

（3）倒数关系

tanA?tan(90°—A)=1

坡度的定义及表示

我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比）。坡度常用字母i表示。

斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：tana?hl 注意：

（1）坡度一般写成1：m的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）；

（2）若坡角为a，坡度为i?hl?tana，坡度越大，则a角越大，坡面越陡。

1、30°，45°，60°角的三角函数值（重点）

根据正弦、余弦和正切的定义，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。

、

正弦、余弦的增减性：

当0°≤?≤90°时，sin?随?的增大而增大，cos?随?的增大而减小。正切、余切的增减性：

当0°

3

锐角三角函数计算的实际应用（难点）

仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角成为俯角。

说在O的哪个方向呢？由方向角的定义可知，G在O的西南方向，E在O的东南方向。

1、方向角的定义

方向角：方向角是以观察点为中心（方向角的顶点），以正北或正南为始边，旋转到观察目标所形成的锐角，方向角也称象限角。如图，目标方向线0A、0B、0C的方向角分别为北偏东15°、南偏东20°、北偏西60°。

其中南偏东45°习惯上又叫东南方向，同样北偏西45°又叫西北方向。如OE的方向角为南偏东45°，OG的方向角为南偏西45°，那么，G、E可以

3、解直角三角形的实际应用（难点） 在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了。 一般有以下几个步骤： 1.审题：认真分析题意，根据题目中的已知条件，画出它的平面图，弄清已知和未知； 2.明确题目中的一些名词、术语的汉语，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角； 3.是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决； 4.确定合适的边角关系，细心推理计算。

4

【巩固训练】

1.（2014年广东汕尾）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（ ） A．

B．

C．

D．

2．(2014年天津市) cos60°的值等于（ ） A．

B．

C．

D．

3．（2014?浙江湖州）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（ ） A．2

B． 8

C． 2

D．4

4.（2014?扬州）已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（ ）

A．

3 B．4

C．5

D．6

5、 （ 2014?广西贺州）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．

6、（2013?孝感）式子

的值

是（ ） A． B． 0 C． D． 2 7、（2013?鄂州）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（ ）

5

A． B． C． D．

11.（2012山东省）把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（ ）

A．不变 B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍 D．不能确定

12、（2013鞍山）△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则BC的长 ． 13 （2012?宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=，则BC的长为（ ）

A．4 B．2

C．

D．

8、(2013年深圳市)如图3，已知l1//l2//l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则sin?的值是（ ）

1 316 B. 317510 C. D.

510

A.

9、（2013杭州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=

；②cosB= ；③tanA=

；④tanB=

，其中正确的结论是

（只需填上正确结论的序号）

10、（2013?攀枝花）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=，BE=4，则tan∠DBE的值是 ．

6

14、（2013甘肃兰州）△ABC中，a、b、c分别是∠A．∠B、∠C的对边，

如果a2+b2=c2

，那么下列结论正确的是（ ）

A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．ctanB=b

15．（2012内江）如图4所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA

的值为

A B C 图4

110A．

2

B．55 C．10 D．255 16．（2012?济宁）在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA﹣|+（sinB﹣

）

2

=0，则∠C= ．

17.（2012衡阳）观察下列等式 ①sin30°= cos60°= ②sin45°= cos=45°= ③sin60°=

cos30°=

根据上述规律，计算sin2

a+sin2

（90°﹣a）= ．

18．（2012攀枝花）计算：．

19．（2012深圳）计算：|4|?(1)?12?(3?1)0?8cos45?

20．（2012?德阳）计算：

．

21．（2010山东日照）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=

15，则AD的长为 7

（A） 2 （B）3 （C）2 （D）1

22．（2010 山东东营）如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝?，那么AB等于（ ）

(A) m·sin?米 (B) m·tan?米

(C) m·cos?米 (D)

mtan?米 A m

?C B

(第8题图)

23．（2010湖北省咸宁）如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行

直线间的

距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直 线上，则sin?? ．

A αl1 B

A D l2

C ll3 4

（第14题）

24、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等

于sinA的是

A．

B．

C．

D．

25、（2012年陕西）．用科学计算器计算：7sin69?? （精确到0.01）．

26、（2013年陕西）.比较8cos31° 35.（填“＞”、“=”若“＜”）

8

27．（2014?陕西）用科学计算器计算：+3tan56°≈ （结果精确到0.01）

28．（2013湖北省鄂州市，7，3分）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（ ）

A． B． C． D． 29、如图，飞机A在目标B的正上方， 地面C处测得飞机的仰角为α，飞机测得地面C处的俯角为β，飞行高度为 h， AC间的距离为s， 从这4个已知量中任取2个为一组共有6组， 那么可以求出BC间距离的有（)组

A 、 3 B 、4 C 、 5 D、 6 (2014江苏苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．若

，则tan∠BPC＝________．

解直角三角形在生活和生产中有广泛的应用，在测量高度、距离 角度 确定方案时都常用到解直角三角形，解这类问题的关键是把实际问题转化为数学问题，常通过做辅助线构造直角三角形来解决问题。

类型一、坡度坡角问题

1、（2014?德州）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，

9

斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（ ）

A． 4米 B． 6米 C． 12米 D． 24米 2．（2013·聊城）河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：

，则AB的长为（ ）

A．12

B．4

米

C．5

米 D．6

米

3 （2012深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时 刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为【 】

A.(6?3)米 B.12米 C.(4?23)米 D．10米

4．（2013河南省）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为错误！未找到引用源。，背水坡坡角错误！未找到引用源。，新坝体的高为错误！未找到引用源。，背水坡坡角错误！未找到引用源。。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度错误！未找到

引用源。.

(结果精确到0.1米，参考数据：错误！未找到引用源。）

10

5．（2014?常德）如图，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆．已知A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为160米，400米，1000米，钢缆AB，BC分别与水平线AA2，BB2所成的夹角为30°，45°，求钢缆AB和BC的总长度．（结果精确到1米）

类型二、仰角俯角问题

1．（2014?舟山）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为 米（用含α的代数式表示）．

2、 （2014?株洲） 孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此塔高约为 182 米（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，

tan70°≈2.7475）．

11

3、（2014·云南昆明）如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，AC为22米，求旗杆CD的高度.（结果精确到0.1米.参考数据：sin32°= 0.53，cos32°= 0.85， tan32°= 0.62）

D

B32° A第20题图C

4、如图小明在楼顶点A处测得对面大楼楼顶点C处的仰角为52°，楼底点D处的俯角为13°．若两栋楼AB与CD相距60米，则楼CD的高度约为________米．（结果保留三位有效数字，参考数据：sin13°≈0.2250，

cos13°≈0.9744，tan13°≈0.2309，sin52°≈0.7880，cos52°≈0.6157，tan52°≈1.2799）

5、（2014?襄阳）如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶

部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为 m（结果保留根号）

12

1．（2013湖北孝感，15，3分）如图，两建筑物的水平距离BC为18m，

6 （ 2014?广东）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为 m（结果不作近似计算）．

2013四川绵阳，9，3分）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60o，又从A点测得D点的俯角β为30o，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（ ）

A．20米 B．

103米 C．153米 D．56米

先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：

≈1.414，

≈1.732）

7．（2014年云南省）如图，小明在M处用高1米（DM=1米）的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度（取≈1.73，结果

保留整数）

13

8．（2014?四川自贡）如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：

）

9、（2014河南）19.（9分）在中俄“海上联合—2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为300．位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为680.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.（结果保留整数。参考数据:sin680≈0.9,cos680≈0.4,,tan680≈

2.5.

≈1.7)

10、（2013年遵义）我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的

办学理念做成宣传牌（AB），放置在教学楼的顶部（如图所示）。小明在操场上的点D处，用1m高的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为37o，然后向教学楼正方向走了4米到达点F处，又从点E测得宣传牌顶部A仰角为45o.已知教学楼高BM=17米，且点A、B、M在同一直线上，求宣传牌AB高度（结果精确到0.1米。参考数据：

，sin37

o≈0.60,cos37o≈0.81,tan37o≈0.75).

14

10．（2013?徐州，25，8分）如图，为了测量某风景区内一座塔AB的高度，小明分别在塔的对面一楼房CD的楼底C，楼顶D处，测得塔顶A的仰角为45°和30°，已知楼高CD为10m，求塔的高度（结果精确到0．1m）（参．考数据：

11、（2011?綦江县）如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交 12、

≈1．41，≈1．73）

．

21．

13、于点E，测得BE=21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD．（结

果保留根号）

如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i?1：

处有一休息亭，测得假山坡脚3,山坡坡面上E点

楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20C与

米.小丽从楼房顶测得E点的俯角为45，求楼房AB的高.（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）

?

15

类型三 方向角问题

. 1、（ 2014?珠海）如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．

（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）；

（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）

2. （ 2014?广西贺州，第24题8分）如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．

（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1）； （2）求海轮在B处时与灯塔C的距离（结果保留整数）．

（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）

16

3．（2014?十堰）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，

轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是 海里．（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）

4．（2013广东湛江）如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A

在渔政船的北偏西30°的方向上，随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB．

(结果保留小数点后一位，其中错误！未找到引用源。≈1．732)

AE60°北DB30°30°C

5、如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°

方向上，已知AB=5km。

（1）景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路，不考17

虑其它因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km） （2）求景点C与景点D之间的距离。（结果精确到1km）

（参考数据：=1.73，=2.24，sin53°=cos37°=0.80，sin37°=cos53°

=0.60，tan53°=1.33，tan37°=0.75，sin38°=cos52°=0.62，sin52°=cos38°=0.79，tan38°=0.78，tan52°=1.28，sin75°=0.97，cos75°=0.26，tan75°=3.73）

6、(2013 苏州)如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2(单位：km)．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向． (1)求点P到海岸线l的距离；

(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．(上述两小题

的结果都保留根号)

7、（2014?益阳）“中国﹣益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位

于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BAD=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米）． 参考数据：

sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0； sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．

18

（第1题图）

8、（2014?黔东南州）黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小明和小军相距（BD）6米，小明的身高（AB）1.5米，小军的身高（CD）1.75米，求旗杆的高EF的长．（结果精确到0.1，参考数据：

≈1.41，

≈1.73）

9、（2014黑龙江哈尔滨市，24，6分）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60m，从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．

（1）求两建筑物两底部之间的水平距离BD的长度； （2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．

AECBD第24题图

10、(2013 娄底)(7分)2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立

即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．(精确到0.1米，参考数据

：

)

19

11．（7分）（2014?常德）如图，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆．已知A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为160米，400米，1000米，钢缆AB，BC分别与水平线AA2，BB2所成的夹角为30°，45°，求钢缆AB和BC的总长度．（结果精确到1米）

12、下图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为．为了方

便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为，若新坡角下

需留3米的人行道，问离原坡角10米的建筑物是否需要拆除？

(参考数据：

≈1.414，

≈1.732 )

13、（2012年陕西）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐

C处位于北偏东65?方向，

然后，他从凉亭A处沿湖岸向正东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45?方向（点A、B、C在同一水平面上）．请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）． （参考数据：sin25??0.4226，cos25??0.9063，tan25??0.4663，sin65??0.9063， cos65??0.4226，tan65??2.1445）

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14、（2010陕西） 再一次测量活动中，同学们要测量某公园的码头A与他正东方向的亭子B之间的距离，如图他们选择了与码头A、亭子B在同一水平面上的点P在点P处测得码头A位于点P北偏西方向30°方向，亭子B位于点P北偏东43°方向；又测得P与码头A之间的距离为200米，请你运用以上数据求出A与B的距离。

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15、.（2014年江苏南京）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．21·cn·jy·com

（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）

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