高中数学 学案53曲线与方程

学案53 曲线与方程

导学目标： 了解曲线的方程与方程的曲线的对应法则．

自主梳理

1．曲线的方程与方程的曲线

如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程．曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．

2．求曲线方程的一般方法(五步法)

求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：

(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}； (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0； (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；

(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．求曲线方程的常用方法：

(1)直接法；(2)定义法；(3)代入法；(4)参数法． 自我检测

1．已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程为______________．

2．一动圆与圆O：x2＋y2＝1外切，而与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，那么动圆的圆心P的轨迹是__________________________________________________________________．

3．已知A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是______________________．

→→

4．若M、N为两个定点且MN＝6，动点P满足PM·PN＝0，则P点的轨迹方程为________．

22

5．(2011·江西改编)若曲线C1：x＋y－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是__________________．

探究点一 直接法求轨迹方程

例1 动点P与两定点A(a,0)，B(－a,0)连线的斜率的乘积为k，试求点P的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．

→→

变式迁移1 已知两点M(－2,0)、N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN||MP|＋→→MN·NP＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为______________．

探究点二 定义法求轨迹方程

例2 已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且O1O2＝4.动圆M与圆O1

内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种

曲线．

aa

－，0 ，C 0 ，且满足条变式迁移2 在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B 2 2 1

件sin C－sin BA，则动点A的轨迹方程为____________________________________．

2

探究点三 相关点法(代入法)求轨迹方程

例3 如图所示，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N. 求线段QN的中点P的轨迹方程．

变式迁移3 已知长为12的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P

→→

是AB上一点，且AP＝.求点P的轨迹C的方程．

2

分类讨论思想

例 (14分) 过定点A(a，b)任作互相垂直的两直线l1与l2，且l1与x轴交于点M，l2

与y轴交于点N，如图所示，求线段MN的中点P的轨迹方程．

多角度审题 要求点P坐标，必须先求M、N两点，这样就要求直线l1、l2，又l1、l2

过定点且垂直，只要l1的斜率存在，设一参数k1即可求出P点坐标，再消去k1即得点P轨迹方程．

【答题模板】

解 (1)当l1不平行于y轴时，设l1的斜率为k1，则k1≠0.因为l1⊥l2，

1

所以l2， [2分]

k1

l1的方程为y－b＝k1(x－a)， ①[4分]

1

l2的方程为y－b(x－a)， ②[6分]

k1

b

在①中令y＝0，得M点的横坐标为x1＝a， [8分]

k1a

在②中令x＝0，得N点的纵坐标为y1＝b＋ [10分]

k1ab

x＝－，22k1

设MN中点P的坐标为(x，y)，则有

bay＝＋22k1a

消去k1，得2ax＋2by－a2－b2＝0 (x≠)． ③[12分]

2ab(2)当l1平行于y轴时，MN中点为 2，2，其坐标满足方程③. 综合(1)(2)知所求MN中点P的轨迹方程为2ax＋2by－a2－b2＝0. [14分] 【突破思维障碍】

引进l1的斜率k1作参数，写出l1、l2的直线方程，求出M、N的坐标，求出点P的坐标，得参数方程，消参化为普通方程，本题还要注意直线l1的斜率是否存在．

【易错点剖析】

ab当AM⊥x轴时，AM的斜率不存在，此时MN中点为 2，2，易错点是把斜率不存在的

ab情况忽略，因而丢掉点 22.

1．求轨迹方程的常用方法：(1)直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点，列式，代换，化简，证明五个步骤，但最后的证明可以省略．(2)定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．(3)代入法：动点所满足的条件不易表达或求出，但形成轨迹的动点P(x，y)却随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法．(4)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．

2．本节易错点：(1)容易忽略直线斜率不存在的情况；(2)利用定义求曲线方程时，应考虑是否符合曲线的定义．

(满分：90分)

一、填空题(每小题6分，共48分)

1．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，则动点M的轨迹是_________________________________________________________________．

2．已知A、B是两个定点，且AB＝3，CB－CA＝2，则点C的轨迹方程为______________．

→→

3．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，AC＝2CB，则点C的轨迹方程为____________．

4．(2011·淮安模拟)如图，圆O：x＋y＝16，A(－2，0)，B(2,0)为两个定点．直线l是圆O的一条切线，若经过A、B两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是________．

x2y2

5．P是椭圆＋＝1上的动点，作PD⊥y轴，D为垂足，则PD中点的轨迹方程为

169

____________．

6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PA＝2PB，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于______．

7．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长CD＝3，则顶点A的轨迹方程为______________．

y→→

0， ，C(x，y)，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程为8．平面上有三点A(－2，y)，B 2

__________．

二、解答题(共42分)

9．(14分)已知抛物线y2＝4px (p>0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程．

10．(14分)(2009·宁夏、海南)已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.

(1)求椭圆C的方程；

OP

(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，λ，求点M

OM

2

2

的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

11．(14分)在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0，－3)和F2(0，3)为焦点、离

3

心率为C，动点P在C上，C在点P处的切线

2

→→→

与x轴，y轴的交点分别为A，B，且OM＝OA＋OB.求：

(1)点M的轨迹方程；

→

(2)|OM|的最小值．

学案53 曲线与方程

答案

自我检测

2

x2

1．8x－2y－1＝0 2.双曲线的右支 3.y1(y≤－1)

48

4．x2＋y2＝9

33

5．(，0)∪(0)

33

2

解析 C1：(x－1)＋y＝1，

C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．

当m＝0时，C2：y＝0，此时C1与C2显然只有两个交点；

当m≠0时，要满足题意，需圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝m(x＋1)有两交点，当圆与直

3

线相切时，m＝

3

22

即直线处于两切线之间时满足题意，

33则－<m<0或0<m

<.

33

33

综上知－<m<0或0<m<.

33

课堂活动区

例1 解题导引 ①在判断含参数的方程所表示的曲线类型时，不能仅仅根据方程的外表草率地作出判断；

②由于已知条件中，直线PA、PB的斜率存在，因此轨迹曲线应除去A、B两点；

x2y2

③一般地，方程＋＝1所表示的曲线有以下几种情况：

AB

1° A>B>0，表示焦点在x轴上的椭圆； 2° A＝B>0，表示圆； 3° 0<A<B，表示焦点在y轴上的椭圆； 4° A>0>B，表示焦点在x轴上的双曲线； 5° A<0<B，表示焦点在y轴上的双曲线； 6° A，B<0，无轨迹．

yy

解 设点P(x，y)，则kAP＝，kBP＝.

x－ax＋a

yy

由题意得·＝k，即kx2－y2＝ka2.

x－ax＋a

∴点P的轨迹方程为kx2－y2＝ka2 (x≠±a)．(*)

(1)当k＝0时，(*)式即y＝0，点P的轨迹是直线AB(除去A、B两点)．

x2y2

(2)当k≠0时，(*)式即2－2＝1，

aka

①若k>0，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除去A、B两点)．

x2y2

②若k<0，(*)式可化为2＋＝1.

a －ka2

1° 当－1<k<0时，点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(除去A、B两点)； 2° 当k＝－1时，(*)式即x2＋y2＝a2，点P的轨迹是以原点为圆心，|a|为半径的圆(除去A、B两点)；

3° 当k<－1时，点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(除去A、B两点)． 变式迁移1 y2＝－8x

→→

解析 由题意：MN＝(4,0)，MP＝(x＋2，y)， →

NP＝(x－2，y)， →→→→∵|MN||MP|＋MN·NP＝0，

∴42＋02· x＋2 2＋y2＋(x－2)·4＋y·0＝0， 移项两边平方，化简得y2＝－8x.

例2 解题导引 (1)由于动点M到两定点O1、O2的距离的差为常数，故应考虑是否符合双曲线的定义，是双曲线的一支还是两支，能否确定实轴长和虚轴长等，以便直接写出其方程，而不需再将几何等式借助坐标转化；

(2)求动点的轨迹或轨迹方程时需注意：“轨迹”和“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．

解

如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系． 由O1O2＝4，

得O1(－2,0)、O2(2,0)． 设动圆M的半径为r，则

由动圆M与圆O1内切，有MO1＝r－1； 由动圆M与圆O2外切，有MO2＝r＋2. ∴MO2－MO1＝3<4.

∴点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．

37∴ac＝2，∴b2＝c2－a2＝.

24

224x4y

∴点M的轨迹方程为1 (x<0)．

972216x16ya

变式迁移2 ＝1 (x>)

a3a4

1

解析 ∵sin C－sin BA，由正弦定理得到

2

11

AB－AC＝＝a(定值)．

22

a

∴A点轨迹是以B，C为焦点的双曲线右支，其中实半轴长为，焦距为BC＝a.

4

2 2316x216y2a ∴虚半轴长为 －＝，由双曲线标准方程得为－＝1(x>)． 2 4 4a3a4

例3 解题导引 相关点法也叫坐标转移(代入)法，是求轨迹方程常用的方法．其题目特征是：点A的运动与点B的运动相关，且点B的运动有规律(有方程)，只需将A的坐标转移到B的坐标中，整理即可得点A的轨迹方程．

解 设动点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x1，y1)，则点N的坐标为(2x－x1,2y－y1)． ∵N在直线x＋y＝2上， ∴2x－x1＋2y－y1＝2. ① 又∵PQ垂直于直线x＋y＝2， y－y1∴＝1，即x－y＋y1－x1＝0. ② x－x1

联立①②解得 13

y＝ 2＋2y－1.

1

31

x1＝x＋y－1，

22

又点Q在双曲线x2－y2＝1上， 2∴x1－y21＝1.④

③代入④，得动点P的轨迹方程是 2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.

变式迁移3 解 设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，

2→→

AP＝，

2→→

又AP＝(x－x0，y)，PB＝(－x，y0－y)，

22

所以x－x0＝－，y＝(y0－y)

222

得x0＝ 1x，y0＝(1＋y.

2

22

因为AB＝1＋2，即x20＋y0＝(12)，

所以 1＋x 2＋[(1＋2)y]2＝(1＋2)2，

2 2x

化简得＋y2＝1.

2

③

x22

∴点P的轨迹方程为＋y＝1.

2

课后练习区

1．以F1、O为焦点的椭圆 2．双曲线的一支

解析 A、B是两个定点，CB－CA＝2<AB，所以点C轨迹为双曲线的一支．

22y3．x＋＝1 4

解析 设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9， ① →→

又AC＝2CB，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，

a＝3x， 即 3 ②

b＝， 2

22y代入①式整理可得x＋1. 4

4．椭圆 解析

设抛物线的焦点为F，因为A、B在抛物线上，

所以由抛物线的定义知，A、B到F的距离AF、BF分别等于A、B到准线l的距离AM、BN(如图所示)，

于是AF＋BF＝AM＋BN.

过O作OR⊥l，由于l是圆O的一条切线，所以四边形AMNB是直角梯形，OR是中位线，

故有AF＋BF＝AM＋BN ＝2OR＝8>4＝AB.

根据椭圆的定义知，焦点F的轨迹是一个椭圆． x2y2

5.1 49

x2y2

解析 设PD中点为M(x，y)，则P点坐标为(2x，y)，代入方程1，

169

22xy

即得＋1.

496．4π

解析 设P(x，y)，由题知有：(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0， 配方得(x－2)2＋y2＝4，可知圆的面积为4π. 7．(x－10)2＋y2＝36 (y≠0) 解析 方法一 直接法．

xy设A(x，y)，y≠0，则D 2，2，

y2 ∴CD＝ 25 ＋43.

化简得(x－10)2＋y2＝36， ∵A、B、C三点构成三角形， ∴A不能落在x轴上，即y≠0. 方法二

定义法．如图所示，

设A(x，y)，D为AB的中点，过A作AE∥CD交x轴于E， 则E(10,0)．

∵CD＝3，∴AE＝6， ∴A到E的距离为常数6.

∴A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆， 即(x－10)2＋y2＝36.

又A、B、C不共线，故A点纵坐标y≠0. 故A点轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36 (y≠0)． 8．y2＝8x

9．解 设M(x，y)，直线AB斜率存在时， 设直线AB的方程为y＝kx＋b.

由OM⊥AB得kx

y

设A、B两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)， 由y2＝4px及y＝kx＋b消去y，

得k2x2＋x(2kb－4p)＋b2

＝0，所以xb21x2＝k

.

消去x，得ky2

－4py＋4pb＝0，

所以yy4pb

12k

(6分)

由OA⊥OB，得y1y2＝－x1x2，

4pbb2

所以kk

，b＝－4kp.

故y＝kx＋b＝k(x－4p)． (10分)

用k＝－x

y

得x2＋y2

－4px＝0 (x≠0)． (12分) AB斜率不存在时，经验证也符合上式． 故M的轨迹方程为

x2＋y2－4px＝0 (x≠0)． (14分)

10．解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，由已知得 a－c＝1， a＋c＝7，又∵b2＝a2－c2，∴b＝，

x2y2

所以椭圆C167

1. (4分)

(2)设M(x，y)，其中x∈[－4,4]，

由已知OP29x2＋OMλ2及点P在椭圆C上可得11216 x＋y2

＝λ， 整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112， 其中x∈[－4,4]． (5分)

①当λ＝3

4

时，化简得9y2＝112，

所以点M的轨迹方程为y＝47

3

－4≤x≤4)．

轨迹是两条平行于x轴的线段．(7分)

解得 a＝4， c＝3，

3x2y2

②当λ≠时，方程变形为＋1，

4112112

16λ－916λ

其中x∈[－4,4]．

3

当0<λ<点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足－4≤x≤4的部分．

43

当<λ<1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足－4≤x≤4的部分； 4

当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点，长轴在x轴上的椭圆． 11．解 (1)椭圆的方程可写为y2x

2ab1，其中a>b>0，

a2

－b2

＝32由 33得 a＝4

2y22，所以曲线C的方程为x＋ a2

b＝141(0<x<1,0<y<2)．y＝1－x(0<x<1)，y′＝－2x

1－x. 设P(x0，y0)，因为P在C上，有0<x0<1，

y0＝21－x|x＝x4x0，y′0y，

0得切线AB的方程为y＝－4x0

y0

x－x0)＋y0.

(6分)

设A(x,0)和B(0，y)，由切线方程得x＝14

xy＝0y0

.

由OM→＝OA→＋OB→

得点M的坐标为(x，y)，

由xC的方程，得点M的轨迹方程为14

0，y0满足x＋y

＝1(x>1，y>2)．

(2)|OM→

|2＝x2＋y2，y2＝441－14x－1

x所以|OM→

|2＝x2－1＋4x－15≥4＋5＝9，

当且仅当x2－1＝4

x－1

，即x3时，上式取等号．

故|→

OM|的最小值为3. (14分)

(14分)

(3分) (10分)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5n9j.html