人教A版高中数学必修2课时提升作业（十五） 2.3.3

新教材适用·高中必修数学

课时提升作业(十五)

直线与平面垂直的性质

(25分钟 60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是 ( ) A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或平行 【解析】选B.由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面,所以它们平行. 2.(2015·枣庄高一检测)△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC, m⊥AC,则直线l,m的位置关系是 ( ) A.相交 B.平行 C.异面 D.不确定

【解析】选B.因为直线l⊥AB,l⊥AC,AB∩AC=A,所以l⊥α,同理直线m⊥α.由线面垂直的性质定理可得l∥m.

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于 ( ) A.AC B.BD C.A1D D.A1A

【解析】选B.如图所示,连接AC,BD,因为BD⊥AC,A1C1∥AC,所以BD⊥A1C1,因为BD⊥A1A,所以BD⊥平面ACC1A1,因为CE?平面ACC1A1,所以BD⊥CE.

4.PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B的任一点,则下列关

系不正确的是 ( )

A.PA⊥BC B.PA⊥AB C.AC⊥PB D.BC⊥平面PAC

【解析】选C.PA⊥平面ABC,得PA⊥BC,PA⊥AB,A,B正确;又BC⊥AC,所以BC⊥平面PAC,D正确.所以选C.

5.(2015·濮阳高一检测)若l,m,n表示不重合的直线,α表示平面,则下列说法中正确的个数为 ( )

①l∥m,m∥n,l⊥α?n⊥α;②l∥m,m⊥α,n⊥α?l∥n;③m⊥α,n?α?m⊥n. A.1 B.2 C.3 D.0

【解析】选C.①正确,因为l∥m,m∥n,所以l∥n.又l⊥α,所以n⊥α;②正确,因为l∥m,m⊥α,所以l⊥α.又n⊥α,所以l∥n;③正确,由线面垂直的定义可知其正确.故正确的有3个.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面,若PC⊥BD,平行四边形ABCD一定是 .

【解析】由题意知,BD⊥平面PAC,所以BD⊥AC,又四边形ABCD是平行四边形,所以ABCD一定是菱形. 答案:菱形

7.已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,如图所示,且AF=DE,AD=6,则EF= .

【解析】因为AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,所以AF∥DE,又AF=DE,所以四边形AFED是平行四边形,所以EF=AD=6. 答案:6

【举一反三】地面上有两根相距a米的旗杆,它们的高分别是b米和c米(b>c),则它们上端的距离为 .

【解析】由线面垂直的性质定理可知:两根旗杆所在直线互相平行.如图所示,它们上端的距离d=

(米).

答案:

米

8.(2015·南阳高一检测)已知直线m?平面α,直线n?平面α,m∩n=M,直线a⊥m,a⊥n,直线b⊥m,b⊥n,则直线a,b的位置关系是 .

【解析】因为直线a⊥m,a⊥n,直线m?平面α,直线n?平面α,m∩n=M,所以a⊥α,同理可证直线b⊥α.所以a∥b. 答案:a∥b

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.(2015·石家庄高一检测)如图,PA⊥正方形ABCD所在平面,经过A且垂直于PC的平面分别交PB,PC, PD于E,F,G,求证:AE⊥PB.

【解题指南】欲证AE⊥PB,可将问题转化为证明AE⊥平面PBC. 【证明】因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC. 又四边形ABCD是正方形,所以AB⊥BC. 因为AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB. 因为AE?平面PAB,所以BC⊥AE. 由PC⊥平面AEFG,得PC⊥AE, 因为PC∩BC=C,所以AE⊥平面PBC. 因为PB?平面PBC,所以AE⊥PB. 10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.求证:

(1)B1D⊥平面A1C1B.

(2)B1D与平面A1C1B的交点设为O,则点O是△A1C1B的垂心. 【证明】(1)连接B1D1,则A1C1⊥B1D1. 又有DD1⊥A1C1,B1D1∩DD1=D1,

所以A1C1⊥平面B1DD1,B1D?平面B1DD1,从而A1C1⊥B1D.同理可证:A1B⊥B1D. 又因为A1C1∩A1B=A1,所以B1D⊥平面A1C1B.

(2)连接BO,A1O,C1O.

由BB1⊥A1C1,B1O⊥A1C1,BB1∩B1O=B1,得到A1C1⊥平面BB1O. 所以A1C1⊥BO.

同理,A1B⊥C1O,BC1⊥A1O. 故点O是△A1C1B的垂心.

【补偿训练】如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.

(1)求证:AE⊥平面BCE.

(2)设M在线段AB上,且满足AM=2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.

【解析】(1)因为AD⊥平面ABE,AD∥BC,所以BC⊥平面ABE,则AE⊥BC,又因为BF⊥平面ACE,则AE⊥BF,又BC∩BF=B,所以AE⊥平面BCE.

(2)在三角形ABE中过M点作MG∥AE交BE于点G,在三角形BEC中,过G点作GN∥BC交EC于点N,连接MN,

由比例关系易得CN=CE,

因为MG∥AE,MG?平面ADE,AE?平面ADE, 所以MG∥平面ADE, 同理,GN∥平面ADE,

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