力法与位移法的比较及综合应用

力法与位移法的比较及综合应用

【摘要】超静定结构内力分析的基本方法有力法和位移法。本文从基本未知 量、基本

体系、典型方程及计算过程等方面对这两种方法进行比较和总结，介绍了 力法与位移法的联合应用及混合应用。根据结构的具体情况，综合应用力法或位 移法，常能方便快捷地进行超静定结构的内力分析。

【关键词】力法 位移法 混合应用 联合应用

引言

结构内力分析分为两大类:一类是静定结构,另一类是超静定结构。超静定结构的内力 分析只凭静力平衡方程是不能完全确定的，还必须同时考虑变形条件。力法和位移法是结 构力学中超静定结构内力分析的基本方法,这两种方法之间既有区别又有联系。为了加深 对力法和位移法的理解并能灵活运用,本文先对力法和位移法进行比较,再用实例介绍两种 方法的联合应用与混合应用。

1力法与位移法的比较

1.1基本未知量

力法:是以多余未知力为基本未知量,基本未知量的数目等于结构的超静定次数。

位移法:是以独立的结点位移(结点角位移与独立结点线位移)为基本未知量,基本未知 量的数目与超静定的次数无关。

例如：图1中〔a〕图为三次超静定结构： (b)图使用力法,基本未知量为3个 (c)图使用位移法,基本未知量为1个

1.2基本体系

力法:从原结构中去掉多余约束而代之以多余未知力所构成的静定结构作为基本体系。 位移法:在原结构各刚性结点上附加刚臂，在有独立结点线位移的方向附加链杆,形成 一系列单跨超静定梁作为基本体系。 1.3典型方程与计算过程

力法和位移法的典型方程是相似的：

1

上述典型方程中的X1、X2、X3……X?和Z1、Z2、Z3……Zn分别代表多余未知力

和结点未知位移。方程右边为零,分别体现变形协调条件与力的平衡条件。

(2) 典型方程中，在基本未知量前面都存在系数。力法中勾为柔度系数，它表示第个 单位多余未知力在；处所引起的相应位移，当i=j 时,恒为正值，当i≠j时,根据位移互 等定理有。位移法中rij为刚度系数,代表由于第j个单位位移在i处引起的相应反 力或反力偶，当i = j时，rij恒为正值；当时,根据反力互等定理有rij=rji此外,两者 的典型方程中都存在自由项△ip和Rip分别代表由荷载在i处引起位移和力或力偶。

(3) 方程中系数建立后,从基本方程就可解出基本未知量。力法和位移法的典型方程的 计算过程都是先直接求出基本未知量，然后计算内力。 1.4变形协调条件与平衡条件

两种方法的分析过程中都同时考虑了平衡条件和变形协调条件，只是先后次序有所不 同。在力法中，基本体系在荷载与多余未知力共同作用下处于平衡状态,实质上就是先满足 了平衡条件，然后在建立力法方程时又满足了变形协调条件；而在位移法中，确定基本未知 量时,认为汇交于刚结点处的各杆端转角相等及受弯杆两端间距不变，实际上已先满足了变 形协调条件，然后在建立位移法方程时’又满足了平衡条件。

(1)

2力法与位移法的综合应用

具体结构应该具体分析,灵活地选用力法和位移法,力求使未知量的数目较少、求解简 洁。一般地说，力法适用于多余约束少而结点较多的刚架,位移法适用于多余约束多而结点 位移少的刚架。此外，某些问题可将力法和位移法综合应用,包括两者的混合应用和联合应。

2.1力法与位移法的混合应用

某些结构在进行内力分析时，单纯的使用力法或是位移法，分析过程都比较复杂，这时 可考虑将两种方法混合使用，即在结点位移多而多余约束少的结构局部撤去多余约束,在结点位移少而多余约束多的结构局部的结点附加约束。这样，基本未知量中既有多余约束力， 又有结点位移，力和位移分区混合。下面以实例来说明两者的混合应用。

例:试作图2〔a〕结构的M图。

2

图2

此结构若用一般力法求解,有四个基本未知量,用一般位移法求解,有三个基本未知量。 其结构特点是上部结点位移多,外部约束少，下部结点位移少，外部约束多；因此对结构上部 撤去多约束E，对下部的结点B附加转懂约束，这样基本体系如图〔b〕所示，基本未知量的数目只有两个，既有多余约束力（E处水平反力X1),又有结点位移(B结点转角Z2)。 基本方程为: 先作该结构的MP和

如图2(c)、(d)、（e)所示，其中Mp图考虑DE段作用有均

图

布荷载时，由于B处增加了附加约束（刚臂），故只有上部BDE段存在弯距; 数和起的求

，r22，R2P和

同理也是如此;图中由于BDE部分是悬臂部分,所以只有下部存在弯距。基本方程中系

可以从弯距图中求出，系数r21表示由于单位荷载X1 = 1所引

附加约束 处的反力偶，出，

可从图中

表示由于单位转角Z2=l所引

起的多余约束力方向的位移， 可从图2(e)中观察求出。故得：

由作出M图如图2(f)所示。

2.2力法与位移法联合应用

某些问题单纯地使用力法或位移法都比较复杂，两者混合应用时也不方便，这时可考虑 将两者联合应用。力法和位移法联合应用时,基本未知量仍是部分多余约束力或部分结点 位移，但不混用。应用时两种形式，即力法思路形式和位移法思路形式。下面仍以上例来说 明两者的联合应用。

(1)力法思路形式求解：

取上述Xi为力法基本未知量，基本体系如图3(b)所示，与一般力法不同的是这个体系为超静定结构,基本方程为：

3

图3

求和所用的和Mp图用位移法求解，结果如图3(c)、(d)所示，上部BDE段弯距可直接求出，下部BA，BC杆的杆端弯距可由B结点力矩平衡，根据杆件的相对线刚度分配得到杆端弯距。则有：

代入基本方程解得：

由

作出图M图如图3(e)所示。

(2)位移法思路形式求解：

取上述Z2为位移法基本未知量，基本体系如图4(b)所示。其中BDE部分为子结构， AB和BC杆为单杆,基本方程为：

求r22和R2P只办所用的 和MP图可用力法求得。及和MP如图4(c)、（d)所示，MP图中由于B点附加刚臂的存在，所以只需求出上部BDE段的弯距，B端相当于固定端，可由力法求出BDE的弯距，而图中当B结点发生单位转角时，下部

4

AB、BC杆件的杆端弯 距可由转角位移方程直接得出，上部BDE段可根据力法（由于支座位移引起的一次超静定 结构的内力计算)求出。则有：

r22=4.44 R2p = 55.71

代入基本方程求得:Z2= -12.55。由M=Mp + Z2作出M图如图4（e)。此外，在对称结构计算中将两种方法联合应用也可以简化计算。如图5（a)所示对称刚 架，可将一般荷载分解为对称与反对称两组分量如图5(b)、（c)示。在对称荷载作用下用位 移法计算半刚架，只有一个基本未知量;在反对称荷载作用下用力法计算半刚架，也只有一 个基本未知量。分别计算后将两组内力叠加可得最后内力。

比较力法与位移法的混合应用与联合应用(合称综合应用），都可以使内力分析得到简 化,但也有所区别。混合应用时,基本未知量有两类：即力法的多余未知力和位移法的结点 位移;而联合应用时，基本未知量的性质单一,或是不完全多余未知力，或是不完全结点位 移。如果原结构可以划分为多个子结构,并且各子结构内力及各种系数都能用力寧或位移 法简单求解，选择混合应用方法比较方便;如果原结构中存在单个多余约束力或者i个结点 角位移，使用某一方法(力法或位移法)并可以配合使用另一种方法(位移法或力法)求解出 相应系数时,宜选择联合应用方法。

通过力法与位移法的混合应用与联合应用,对于超静定结构的内力分析在传统的力法 和位移法的基础上可以引申开去，可以先求解其中的一部分未知量，然后再求解其余未知 量;对于基本体系的选择可以是静定结构，也可是超静定结构。两者混合应用时,基本体系 是超静定结构,但其中的子结构为静定结构。两者联合应用时,基本体系都可能是超静定结 构。

综上所述，进行超静定结构的内力分析时，无论是单纯地应用力法或位移法，或是两者 的混合应用与联合应用，只要选择合适合理的基本未知量，并能简洁计算出基本未知量，就 可以达到方便快捷分析内力的目的。

参考文献

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5n0d.html