2011年广州市高二教研资料空间向量与立体几何B卷 高中数学 高考

选修2-1第三章 《空间向量与立体几何》训练卷B卷

供稿人 吴坚（广大附中）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．已知a?(x,4,3),b?(3,2,y),且a//b,则xy?（ ）

A. －4

B. 9

C. －9

D.

????a?(0,?1,1)b?(1,2,?1)2．已知、，则a与b的夹角为 （ ）

A． 30 B ． 60 C． 90 D． 150

3．已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外的一点，在下列条件中能说明M与A，B，C

四点共面的是（ ）

????64 911111OA?OB?OC B. OM?OA?OB?OC 22233C. OM?OA?OB?OC D. OM?2OA?OB?OC

A. OM?

????????????????????4．已知OA?(1,2,3)，OB?(2,1,2)，OP?(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QA?QB取得最小

值时，点Q的坐标为 （ ）

131123448447（A）(,,) （B）(,,) （C）(,,) （D）(,,)

243234333333????3????1????2????5．点P是棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1内一点，且满足AP?AB?AD?AA1，则

423点P到棱AB的距离为 （ ）

A．

1353 B． C．

464 D．

145 126．如图，空间四边形OABC中，OA?a,OB?b,OC?c，点M在OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则MN等于（ ） D

121221A．a?b?c B．a?b?c

332232C．

211111a?b?c D．?a?b?c

3222227．已知PA，PB，PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC与平面PAB所成的

角的余弦值为（ ）

1363 B. C. D.

23328．正四棱锥S?ABCD的高SO?2，底边长AB?2，则异面直线BD和SC之间的距离（ ）

A．

A．

15 5B．

5255 C ． D． 5510

9．已知ABC?A1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．点C1到平面AB1D的距离（ ） A．

2a 4B．

232a C．a 84D．

2a2

10. 如图，正方体ABCD?A1B1C1D1，则下列四个命题： ①P在直线BC1上运动时，三棱锥A?D1PC的体积不变；

②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变； ③P在直线BC1上运动时，二面角P?AD1?C的大小不变；

④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线

其中真命题的编号是（ ）

A．①③④ B．③④ C．①③ D．①②③

二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）

11.已知点A(1，?2，11)、B(4，2，3)，C(6，?1，4)，则?ABC的形状是 ．

????12. 设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若OG ????????????=xOA+yOB+zOC，则（x，y，z）为 .

????13.已知向量a?(1,1,0),b?(1,0,2)，a在b方向上的射影是____________.

14．若a?(2,1,?1)，b?(?2,1,3)，则与a,b均垂直的单位向量的坐标为__________________ ．

15．正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，E为PC中点，则直线AC与平面BDE所成的角为________ 16. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，?ACD?90?，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成

60°角，则B、D之间的距离是 。

三、解答题（本大题共5题，共70分）

17. （本小题14分）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1?4，点D是

AB的中点.

（1）求证：AC?BC1； （2）求证：AC1∥平面CDB1;

（3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.

18.（本小题14分） 如图4，正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E在棱CD上。 （1）求证：EB1?AD1；

（2）若E是CD中点，求EB1与平面AD1E所成的角的正弦值； （3）设M在BB1上，且

D1A1B1DACC1BM2?，是否存在点E， MB13EB（图4）

使平面AD1E⊥平面AME，若存在，指出点E的位置，

若不存在，请说明理由。

19.（本小题14分）如图4，在直角梯形ABCD中，?ABC??DAB?90°．?CAB?30°，

BC?1，把?DAC沿对角线AC折起后如图5所示 (点D记为点P)．点P在平面ABC上的正投影E落在线段AB上，连接PB．

(1) 求直线PC与平面PAB所成的角的大小；

(2) 求二面角P?AC?B的大小的余弦值．

20.（本小题14分）如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB?AC?A1B?2． （1）求证：AC11?平面ABA1B1 （2）求棱AA1与BC所成的角的大小；

（3）在线段B1C1上确定一点P，使AP?14，并求出二面角P?AB?A1的平面角的余弦值．

C

B A

C1

B1

A1

21.（本小题14分）如图，AA1、BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是

AA1、CB1的中点，DE?面CBB1．

（1）证明：DE//面ABC；

（2）求四棱锥C?ABB1A1与圆柱OO1的体积比； （3）若BB1?BC，求CA1与面BB1C所成角的正弦值

A1O1 B1 D E A C O B

参考答案

一、选择题：BDCCA DDCAA

二、填空题：11.直角三角形；12. (,,)；13. 15. .45°；16. 三、解答题

1114445333333；14. (,-,)或者(-,,-)；

33353332或2

17. 解法一：（Ⅰ）?直三棱柱ABC?A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5， ?AC?BC，

又ABC?A1B1C1是直三棱柱，所以，CC1?AC ………………………2分

AC?面BCC1B1，BC1?面BC1 ?AC?BC1；…….4分

（Ⅱ）设CB1与C1B和交点为E，连结DE，

?D是AB的中点，E是BC1的中点，?DE//AC1…….7分

?DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，?AC1//平面CDB1；…9分

（Ⅲ）?DE//AC1，??CED为AC1与B1C所成的角…11分， z C1B11515在?CED中，ED?AC1?，CD?AB?， 22221CE?CB1?22，

2CE2?ED2?CD2822 ?cos?CED???52?EC?ED52?22?2A1ECDABy x 22………………………..14分 ?异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为5解法二： ?直三棱柱ABC?A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

?AC?BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，?AC?BC1；….3分

?AC，BC，C1C两两垂直。………………………………………………4分

C1C分别为x轴，如图，以C为坐标原点，直线AC，BC，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，

5A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)，D(,2,0)…6分

2?????????（Ⅰ）?AC?(?3,0,0)，BC1?(0,?4,4)，?AC?BC1?0，?AC?BC1……8分

（Ⅱ）设CB1与C1B和交点为E，连结E(0,2,2)。

?????????????1?????3?DE?(?,0,2)，AC1?(?3,0,4)?DE?AC1，?DE//AC1

22

?DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，?AC1//平面CDB1………………..11分

?????????（Ⅲ）?AC1?(?3,0,4)，CB1?(0,4,4)

cos?AC1,CB1??AC1?CB1AC1?CB1?22 522………………………………14分 5?异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为

18.解以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x轴,y轴,z轴建立O-xyz，设正方体的棱长为1个单位，则D(0,0,0)，A(1,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),C(0,10)

（1）设E(0,?,0)，则B1E?(?1,??1,?1)，AD1?(?1,0,1)，所以AD1?B1E?1?1?0 所以EB1?AD1

11设平面AD1E的法向量为n?(x,y,z) E(0,,0)，B1E?(?1,?,?1)，

（2）若点E为CD中点，则22??x?z?0???n?AE?0得，令ｘ＝１，解得ｚ＝１，ｙ＝２，所以n?(1,2,1)，设所求角为?，?1??x?y?0??n?AD1?0?2?则sin??B1E?nB1En?3362?6 3（３）设E(0,?,0)，同理可求平面AD1E的法向量为n?(1,2,1)，依题意M(1,1,)，同法可求平?51面ＡＭＥ的法向量为m?(?2?,?2,5)，当n?m时，则有平面AD1E⊥平面AME，得

?2??11?5?0，解得??或2，依题意??2舍去，所以??，即点Ｅ为ＣＤ中点，所以存?222在

19. (1) 解:在图4中,

∵?ABC??DAB?90,?CAB?30,BC?1, ∴AB???BC1BC1??3, AC???2, ?DAC?60?. ??1tan30sin30323 ∵AD?CD,∴△DAC为等边三角形.∴AD?CD?AC?2. …2分 在图5中, ∵点E为点P在平面ABC上的正投影,

∴PE?平面ABC.∵BC?平面ABC, ∴PE?BC.∵?CBA?90, BC?AB. ∵PE?AB?E,PE?平面PAB, AB?平面PAB, ∴BC?平面PAB.

∴?CPB为直线PC与平面PAB所成的角. …5分 在Rt△CBP中, BC?1,PC?DC?2, ∴sin?CPB???DCAPBBC1?. ∵0???CPB?90?, PC2?∴?CPB?30.∴直线PC与平面PAB所成的角为30. …7分 (2) 解:取AC的中点F, 连接PF,EF.

AFC∵ PA?PC,∴ PF?AC.∵PE?平面ABC,AC?平面ABC, ∴PE?AC.∵PF?PE?P,PF?平面PEF, PE?平面PEF, ∴AC?平面PEF.∵EF?平面PEF,∴EF?AC.

∴?PFE为二面角P?AC?B的平面角. …9分 在Rt△EFA中,AF?EB图 51AC?1,?FAE?30?, 232322,AE?EF?AF?. 33PA2?AF2?22?12?3.

∴EF?AF?tan30??在Rt△PFA中,PF?3EF1在Rt△PEF中，cos?PFE??3?.

PF33∴二面角P?AC?B的大小的余弦值为方法二: 解:在图4中,

∵?ABC??DAB?90,?CAB?30,BC?1, ∴AB???1. …14分 3BC1BC1???3?DAC?60, , . AC???2??1tan30sin30323D ∵AD?CD,

C

∴△DAC为等边三角形. ∴AD?CD?AC?2. …2分 在图5中, ∵点E为点P在平面ABC上的射影,

∴PE?平面ABC.∵BC?平面ABC,

∴PE?BC.∵?CBA?90, 图4 ∴BC?AB.∵PE?AB?E,PE?平面PAB, AB?平面PAB, ∴BC?平面PAB. …5分 连接EC,在Rt△PEA和Rt△PEC中,PA?PC?2,PE?PE, ∴Rt△PEA?Rt△PEC.∴EA?EC. ∴?ECA??EAC?30.∴?CEB?60. 在Rt△CBE中，EB????zPBC13??. ?tan6033yAC∴AE?AB?EB?23. 3PA2?AE2?EBx图5在Rt△PEA中，PE?26. …7分 3以点E为原点,EB所在直线为x轴,与BC平行的直线为y轴,EP所在直线为z轴,建立空 间直角坐标系E?xyz,则E?0,0,0?,A???23??3??3?,0,0B,0,0C,1,0,,, ???????????3???3??3??26?P??0,0,3??. ????????????????326?????26?AC?3,1,0EP?0,0,PC?,1,?BC?0,1,0∴,??,??????,?3?. 33????????????????????????????1BC?PC?(1)∵cosBC,PC??????????, ∴BC,PC?30.

BCPC2?? ∴ 直线PC与平面PAB所成的角为30. …10分 (2) 设平面PAC的法向量为n??x,y,z?,

?

?????3x?y?0,?n?AC?0,?? 由???? 得?3 ?26x?y?z?0.???n?PC?0.3?3 令x?1, 得y??3,z??2. 2?2??1,?3,? ∴n????为平面PAC的一个法向量. 2???????26? ∵EP??0,0,为平面ABC的一个法向量, ???3??????????1n?EP ∴cosn,EP???????.

3nEP ∵二面角P?AC?B的平面角为锐角, ∴二面角P?AC?B的平面角的余弦值为

1. …14分 3

20解：(1) 证明：略 …………………………5分 （2）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，

?????????????22?，BC?B1C1??2，?2，0?． 00?，B?0，，20?，A1?0，，22?，B1?0，，42?，AA1??0，，则C?2，，?????????????????AA1?BC?41cos?AA1，BC???????????，因为异面直线之间的夹角范围是(0,] ??28?82AA1?BC故AA1与棱BC所成的角是

?． ……9分 3??????????2?，0?，则P?2?，4?2?，2?． （3）设B1P??B1C1??2?，于是AP?4?2??4?2???4?14???213（??舍去）， 223，2?． ……10分 则P为棱B1C1的中点，其坐标为P?1，??????????x?3y?2z?0?n1?AP?0设平面P?AB?A1的法向量为n1??x,y,z?，则??????, 即 ??2y?0???n1?AB?0??0，1? ……12分 令z?1 故n1???2，?????????????n1?n2225而平面ABA1的法向量n2=（1,0,0），则cosn1,n2??? ??????55n1n2

故二面角P?AB?A1的平面角的余弦值是25． …………14分 521. 解：（1）证明：连结EO，OA.

?E,O分别为B1C,BC的中点，

∴EO//BB1.…………………………………2分 又DA//BB1，且DA?EO?1BB1. 2∴四边形AOED是平行四边形，

即DE//OA,DE?面ABC. ………………3分 ∴DE//面ABC. ………………………4分 （2）由题DE?面CBB1，且由（1）知DE//OA.

∴AO?面CBB1，∴ AO?BC，

∴AC?AB. …………………………………………………………………………6分 因BC是底面圆O的直径，得CA?AB，且AA1?CA，

∴CA?面AA1B1B，即CA为四棱锥的高．………………………………………7分 设圆柱高为h，底半径为r，则V柱??rh，V锥?∴V锥：V柱?212h(2r)?(2r)?hr2 332. …………………………………………………………………9分 3?（3）解一：由(1)(2)可知，可分别以AB,AC,AA1为坐标轴建立空间直角标系，如图

设BB1?BC?2，则A1(0,0,2)，C(0,2,0)，

O(2222,,0)， ,,0)，从而AO?(2222z CA1?(0,?2,2)，由题，AO是面CBB1

的法向量，设所求的角为?.…………………12分

A1????????????????|AO?CA1|6?则sin??|cos?AO,CA1?|?????????. 6|AO||CA1|………………………………14分

解二：作过C的母线CC1，连结B1C1，则

O1 B1 D E A B1C1是上底面圆O1的直径，连结A1O1，得 A1O1//AO，又AO?面CBB1C1，

∴A1O1?面CBB1C1，连结CO1， 则?A1CO1为CA1与面BB1C所成的角， 设BB1?BC?2，则

y C O x B A1O1 B1 C1 A1C?22?(2)2?6，A1O1?1.……12分

在Rt?A1O1C中，

D E A

sin?A1CO1?A1O16?．………………14分 A1C6

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