基于非参数GARCH模型的一种波动率估计方法

案例13

基于非参数GARCH模型的一种波动率估计方法

一、文献及研究综述

波动率（volatility）是资产收益不确定性的衡量，它经常用来衡量资产的风险。一般来说，波动率越大，意味着风险越高。由于波动率在投资分析，期权定价等方面的重要性，近20年来一直是金融领域的一个研究热点，出现许多描述金融市场波动率的模型，最为典型的是Bollerslev（1986）提出的广义自回归条件异方差模型（GARCH模型），而在实证中得到广泛应用的是其中的GARCH(1,1)模型，即条件方差不但依赖与滞后一期的扰动项的平方，而且也依赖于自身的滞后一期值，三者之间存在一种线形关系。针对三者之间的线形关系是否合适即能否用一种更有效的函数关系来描述的问题，人们进行了一些有意义的探索。Engel和Gonzalez-Rivera(1991)采用半参数方法对条件方差进行建模，对扰动项的滞后值采取非参数形式，对条件方差自身的滞后值采用线形形式，两位的研究思路为人们以后的研究工作拓宽了思路。Peter Buhlmann和Alexander J.MeNeil（2002）对三者之间的函数关系用一种非参数形式来描述，给出了一种全新的估计波动率的循环算法，并对这一全新的算法的可行性和有效性给出了证明，得出非参数形式的GARCH(1,1)对波动率的估计效果要强与参数形式的GARCH(1,1)。Antonio Cosma和Fausto Galli（2005）利用Peter Buhlmann和Alexander J.MeNeil所提出的估计波动率的算法，对非参数形式的ACD模型（Autoregressive Conditional Duration Model）的久期(duration)进行估计，也得出用该估计算法的非参数形式比参数形式的ACD模型的估计效果优越。

本文采用非参数方法中的非参数可加模型，对条件方差采用非参数可加模型GARCH(1,1)形式进行建模，即对条件方差的滞后值和扰动项的滞后值分别采用不同的函数形式进行建模。估计方法是基于Peter Buhlmann和Alexander J.MeNeil(2002)对非参数GARCH估计时的算法思想，采取模拟数据和真实收益率数据分别同参数形式的GARCH(1,1)采用极大似然估计结果进行比较。文章下面的结构是：第二部分是有关方法的描述。第三部分是模拟实验。第四部分是实证部分。第五部分是本文结束语。

二、方法描述

㈠ Bollerslev（1986）提出的标准的GARCH(1,1)形式：

?t?ht?zt

V(?t?t?1)?ht??0??1??t2?1??1?ht?1 （1） 其中，?t?1是时间的信息集，包含了?t?1及其以前的信息，?t是扰动项，ht是条件方差，zt是白噪声。为确保有条件的方差非负，?1和?1必须非负，且满足

?1??1?1才保证序列是宽平稳的。

传统的估计波动率的参数方法是对式（1）中的各个系数通过极大似然估计得到，本文对波动率的参数法估计亦采用此方法。 ㈡本文的非参数可加GARCH(1,1)模型形式： ?t?ht?z 对式(2)进行如下推导：

t ht?c?f(ht?1)?g(?t?1) （2）

?t2?(c?f(ht?1)?g(?t?1))?zt2?c?f(ht?1)?g(?t?1)?Vt

Vt?(c?f(ht?1)?g(?t?1))?(zt2?1)

因为：E(Vt)?0，cov[Vs,Vt]?0,当s?t，E(?t2?t?1)?c?f(ht?1)?g(?t?1)， 这样就可以利用非参数方法对?t2关于?t?1和ht?1进行非参数回归。对可加模型的非参数回归方法不同与一般的非参数形式的回归，因为在可加模型中含有常数项，还要同时估计两个函数，在一定程度上给估计工作增添了难度，这里本文采用Hastie和Tibshirani(1990)对广义可加模型估计时采用的Backfitting算法。核函数采用高斯核，窗宽的选择方法是交错鉴定法（Cross-validation）,采用局部多项式回归(Local Polynomial Regression)。

然而在实际应用中，波动率序列是不能被观测的隐含变量，怎样更好的逼近真实值的问题将在下面的估计算法中得到解决。

㈢估计算法：

本文的估计算法是基于Peter Buhlmann和Alexander J.MeNeil(2002)对非参数GARCH估计时提出的算法思想，具体思如下： 假设我们有一样本{?t:1?t?n}具有GARCH效应： {ht,0;1?t?n}，设m=1;

Step 2: 对?关于?t?1和ht?1,m?1做非参数回归，采用广义可加模型的Backfitting循环算法分别得到函数f的估计fm，g的估计gm和c的估计cm； 于h1,m的值可用h1,m?1代替；

Step 4: m的值加1然后返回setp 2;

最后，假设我们循环了M次，为提高该算法的稳定性，将这M次估计出的

^^Step 1:首先采用极大似然估计进行参数估计得到波动率{ht}的估计

2t^^^^Step 3: 通过ht,m?cm?fm(ht?1,m?1)?gm(?t?1,m?1)计算出ht,m?1的估计值ht,m，对

^^^^^^^^波动率取平均值，即ht,*?(1/M)?ht,m，然后运算最后一次非参数回归：对?t2关于?t?1和ht?1,*的非参数回归得到f，g，c的最终估计分别为f，g，c，然后用函数的最终估计形式求出波动率的最终估计值，npht?ht?c?f(ht?1,*)?g(?t?1)。

对于该算法能否向真实值逼近的问题，Peter Buhlmann和Alexander J.MeNeil(2002)给出了证明，同时还指出经过少量的循环估计效果就会得到显著提高。

三、随机模拟实验

本文之所以采用随机模拟方法是因为对于给定的序列其真实的波动率是不可观测的，而借助计算机模拟手段可以控制程序在数据产生过程中输出真实的波动率序列，便于用参数法（极大似然估计）和非参数法估计出的波动率分别与真实波动率比较，评判两种方法的估计效果。

为了能更好地模拟金融市场上收益率等序列，捕捉到杠杆效应，本文按以下路径产生样本点：

?t?1?ht?z t ht?0.1?(0.?1??t1{1?^^^^^^m?1^^^^M^?0}?0.??t451{??2?t1?0}?)h? t11?0.5按此路径产生550个样本点，考虑到波动率初始值赋值的影响，舍弃前50个数据保留500个样本点，此过程在SAS9.0中实现。产生{?t}后，分别利用极大似然估计和前文提到的非参数可加模型对{?t}的波动率{ht}进行估计，得到各自的波动率估计序列eh和nph.。主要计算过程是在SAS9.0和matlab7.0中实现。 为了直观清楚地观察两种方法对波动率的估计效果，在数据产生过程中从中间随机截取了50个样本点的真实波动率。图1是标准GARCH(1,1)采用极大似然估计估计的波动率估计值与真实的波动率的比较图。图2是非参数可加GARCH采用前文叙述的估计算法估计的波动率估计值与真实值的比较图。从图中可看出，非参数GARCH(1,1)的估计出的波动率与真实值的逼近程度要高于标准GARCH（1，1）模型。

eh&h1.6hehnph&h1.6hnph1.41.41.21.2110.80.80.60.60.40.40.2051015202530354045500.205101520253035404550

图1（eh&h） 图2(nph&h)

更进一步对两种方法的估计效果进行量化描述，对非参数估计算法中的每一次循环结果采用均方误MSE和平均绝对误MAE两个指标来衡量:

^^1n^MSE(h,m)?(ht,m?ht)2 ?n?^^1rt?rn?1^MAE(h,m)??ht,m?ht

n?rt?r?1表1给出了经过每一次循环的MSE和MAE，其中m=0时是参数法的极大似然估计过程，m=*是估计算法的最后一次对波动率的均值做非参数回归过程，即非参数法估计的最终结果。

m 0 MSE 0.03686762 0.03498946 0.03139301 0.02977863 0.02874629 0.02885415 表1

MAE 0.9897068 0.9808837 0.9637792 0.9404951 0.9328416 0.9366972 1 2 3 4 *

本文共进行了5次循环，从表一中明显看出，利用本文的非参数可加GARCH模型对波动率序列的估计效果(m=*)要优于标准的GARCH模型(m=0),其中估计的MSE和MAE分别下降了21.74%和5.36%。

四，实证部分

1，数据：采用2000年1月4号至2003年12月31号共3年的上证A指数收益率数据，共716个数据，序列图见图3。之所以采用这段数据是要把股市波动较为剧烈的2001年包括进去，以便比较两种方法对该波动较大的序列的估计效果。 2，方法：采用方法与模拟实验部分相同，对收益率序列的标准GARCH(1,1)模型采用极大似然估计，非参数可加GARCH(1,1)模型的估计算法是第二部分详细叙述的算法。图4和图5分别是标准GARCH(1,1)和非参数可加GARCH(1,1)估计出的收益率的波动序列图。

对两种方法估计效果进行量化评价时，不能象模拟实验部分一样用估计的波动率直接跟真实的波动率比较，因为此时的收益率序列的真实波动率是不能被观测到的。为此本文采用Peter Buhlmann和Alexander J.MeNeil的量化指标L2:

1n2^2L2??(?t?ht) nnt?1^1n221因为有E(L2)??E(?t?ht)??E(ht?ht)2,由第二部分式(2)可知，

n^t?1nt?12?t?ht?V,t所以当ht?ht，即波动率的估计值逼近真实值时，L2的值也应逼近其最小值。L2的大小一定程度上可以测量波动率的估计值与真实值的逼近程度，L2越小，逼近程度越高，反之越低。表2给出了标准GARCH模型与非参数可加GARCH模型各自的L2值。利用本文的非参数可加GARCH模型得到的L2值比标准GARCH降低了5.18%。

上证A的收益率序列图（2000.01.03--2002.12.31)0.1r0.080.060.040.020-0.02-0.04-0.06-0.080100200300400500600700800

图3

3x 10-3极大似然估计出的收益率的波动序列eheh2.521.510.500100200300400500600700800

图4

2.5x 10-3非参数可加模型估计的波动率序列图nphnph21.510.500100200300400500600700800

图5 L2 标准GARCH 4.37396E-07 非参数可加GARCH 4.1483E-05 降低百分比 5.18% 表2

五，结束语

采用非参数形式的GARCH模型对波动率进行建模时，不必象标准的GARCH模型那样需对条件方差和其自身滞后值及随机扰动项之间的函数关系进行假定，而是对它们之间的函数关系进行合理的非参数估计，具有更大的灵活性。在本文建立非参数可加GARCH后所采用的估计算法，是以极大似然估计出的波动率为初始估计值进行的，当然这其中不乏疑问，比如极大似然估计时出现的误差可能会影响到以后的估计结果，这有待以后进一步探讨。但从上面的模拟部分和实证部分的结果可以看出，本文的非参数可加形式的GARCH模型在估计波动率时能得到比标准GARCH模型更好的估计效果，不失为可考虑的一种方法。

（根据浙江工商大学许冰、任军峰同名论文编写）

3x 10-3极大似然估计出的收益率的波动序列eheh2.521.510.500100200300400500600700800

图4

2.5x 10-3非参数可加模型估计的波动率序列图nphnph21.510.500100200300400500600700800

图5 L2 标准GARCH 4.37396E-07 非参数可加GARCH 4.1483E-05 降低百分比 5.18% 表2

五，结束语

采用非参数形式的GARCH模型对波动率进行建模时，不必象标准的GARCH模型那样需对条件方差和其自身滞后值及随机扰动项之间的函数关系进行假定，而是对它们之间的函数关系进行合理的非参数估计，具有更大的灵活性。在本文建立非参数可加GARCH后所采用的估计算法，是以极大似然估计出的波动率为初始估计值进行的，当然这其中不乏疑问，比如极大似然估计时出现的误差可能会影响到以后的估计结果，这有待以后进一步探讨。但从上面的模拟部分和实证部分的结果可以看出，本文的非参数可加形式的GARCH模型在估计波动率时能得到比标准GARCH模型更好的估计效果，不失为可考虑的一种方法。

（根据浙江工商大学许冰、任军峰同名论文编写）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5mw2.html