高二数学选修2-1第三章空间向量与立体几 - 知识点+习题+答案

空间向量与立体几何

1、空间向量的概念：

?1?在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．

?2?向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指

的方向表示向量的方向．

，记作??． ?3?向量??的大小称为向量的模（或长度）

?4?模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量． ?5?与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作?a． ?6?方向相同且模相等的向量称为相等向量．

2、空间向量的加法和减法：

?1?求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵

循平行四边形法则．即：在空间以同一点?为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形

??C?，则以?起点的对角线?C就是a与b的

和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行

四边形法则．

?2?求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵

循三角形法则．即：在空间任取一点?，作

???a，???b，则???a?b．

3、实数?与空间向量a的乘积?a是一个向量，称为向量的数乘运算．当??0时，?a与a方向相同；当??0时，?a与a方向相反；当??0时，?a为零向量，记为0．?a的长度是a的长度的?倍．

4、设?，?为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．

分配律：?a?b??a??b；结合律：???a??????a．

5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．

6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，bb?0，a//b的充要条

1

????件是存在实数?，使a??b．

7、平行于同一个平面的向量称为共面向量． 8、向量共面定理：空间一点?位于平面??C内的充要条件是存在有序实数对x，

y，使???x???y?C；或对空间任一定点?，有??????x???y?C；或

若四点?，?，?，C共面，则???x???y???z?C?x?y?z?1?．

???9、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点?，作?则???a，???b，

称为向量a，b的夹角，记作?a,b?．两个向量夹角的取值范围是：?a,b???0,??． 10、对于两个非零向量a和b，若?a,b???2，则向量a，b互相垂直，记作a?b．

?称为a，记作a?b．即b的数量积，

osab,?11、已知两个非零向量a和b，则abca?b?abcosab?,?．零向量与任何向量的数量积为0．

12、a?b等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcos?a,b?的乘积． 13、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有?1?e?a?a?e?acos?a,e?；

?aba与b同向2?，a?a?a，a?a?a； ?2?a?b?a?b?0；?3?a?b???aba与b反向???????4?cos?a,b??a?bab；?5?a?b?ab．

14、向量数乘积的运算律：?1?a?b?b?a；?2???a??b??a?b?a??b；

?????3??a?b??c?a?c?b?c．

15、若i，j，k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p，存在有序实数组?x,y,z?，使得p?xi?yj?zk，称xi，yj，zk为向量p在i，j，k上的分量．

16、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组?x,y,z?，使得p?xa?yb?zc．

17、若三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是

2

?pp?xa?yb?zc,x,y,z?R?．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，

?a,b,c?称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量．空间任意三个不共面的向

量都可以构成空间的一个基底．

18、设e1，e2，e3为有公共起点?的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以e1，e2，e3的公共起点?为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系?xyz．则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点?重合，得到向量???p．存在有序实数组?x,y,z?，使得p?xe1?ye2?ze3．把x，y，z称作向量p在单位正交基底

e1，e2，e3下的坐标，记作p??x,y,z?．此时，向量p的坐标是点?在空间直角坐标系?xyz中的坐标?x,y,z?．

19、设a??x1,y1,z1?，b??x2,y2,z2?，则?1?a?b??x1?x2,y1?y2,z1?z2?．

?2?a?b??x1?x2,y1?y2,z1?z2?． ?3??a???x1,?y1,?z1?． ?4?a?b?x1x2?y1y2?z1z2．

?5?若a、b为非零向量，则a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?z1z2?0． ?6?若b?0，则a//b?a??b?x1??x2,y1??y2,z1??z2． ?7?a?a?a?x12?y12?z12．

?8?cos?a,b??a?bab?x1x2?y1y2?z1z2x?y?z?x?y?z212121222222．

则d???????x???x2,y2,z2?，?9???x1,y1,z1?，

?12x???zz?1?y?2?2y122?2?．

20、在空间中，取一定点?作为基点，那么空间中任意一点?的位置可以用向量

??来表示．向量??称为点?的位置向量．

21、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点?以及一个定方向确定．点

?是直线l上一点，向量a表示直线l的方向向量，则对于直线l上的任意一点?，有???ta，这样点?和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直

3

线l上的任意一点． 22、空间中平面?的位置可以由?内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点?，它们的方向向量分别为a，b．?为平面?上任意一点，存在有序实数对?x,y?，使得???xa?yb，这样点?与向量a，b就确定了平面?的位置． 23、直线l垂直?，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面?的法向量． 24、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则a//b?a//b?

a??b???R?，a?b?a?b?a?b?0．

25、若直线a的方向向量为a，平面?的法向量为n，且a??，则a//??a//? ?a?n?a?n?0，a???a???a//n?a??n．

26、若空间不重合的两个平面?，?的法向量分别为a，b，则?//??a//b?

a??b，????a?b?a?b?0．

27、设异面直线a，b的夹角为?，方向向量为a，b，其夹角为?，则有

cos??cos??a?bab．

28、设直线l的方向向量为l，平面?的法向量为n，l与?所成的角为?，l与n的夹角为?，则有sin??cos??l?nln．

29、设n1，n2是二面角??l??的两个面?，?的法向量，则向量n1，n2的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角??l??的平面角为?，则cos??n1?n2n1n2．

30、点?与点?之间的距离可以转化为两点对应向量??的模??计算． 31、在直线l上找一点?，过定点?且垂直于直线l的向量为n，则定点?到直线

l的距离为d???cos???,n?????nn．

32、点?是平面?外一点，?是平面?内的一定点，n为平面?的一个法向量，则点?到平面?的距离为d???cos???,n?????nn．

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空间向量与立体几何练习题1

一、选择题（每小题5分，共50分）

A1D1=b，1.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点.若A1B1=a，

A1A=c，则下列向量中与B1M相等的向量是

A.－

1111a+b+c B.a+b+c 2222121212C.a－b+c D.－a－b+c

2.下列等式中，使点M与点A、B、C一定共面的是

111A.OM?3OA?2OB?OC B.OM?OA?OB?OC

235C.OM?OA?OB?OC?0 D.MA?MB?MC?0

3.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，则EF?DC等于

1133A. B.? C. D.? 4444124.若a?(1,?,2)，b?(2,?1,1)，a与b的夹角为600，则?的值为 A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.1

5.设OA?(1,1,?2)，OB?(3,2,8)，OC?(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为 A.

53135353 B. C. D.

42246.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是

①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥

A．①② B．①③ C．①④ D．②④

7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是

5

1111?[b?(c?a)]??a?b?c 2222（2）由于AB?AD?1,PA?2,?a?b?1,c?2

由于AB?AD,?PAB??PAD?600,?a?b?0,a?c?b?c?2?1?cos600?1

由于BM??BM21(?a?b?c), 2?1113(?a?b?c)2?[a2?b2?c2?2(?a?b?a?c?b?c)]?[12?12?22?2(0?1?1)]?4442?BM?66. ，?BM的长为2216.解：（1）如图

2841?1?(cm2)．（2）所求多面体体积V?V长方体?V正三棱锥?4?4?6????2?2??2? 33?2?D? （3）证明：在长方体ABCD?A?B?C?D?中，

G F 连结AD?，则AD?∥BC?． A? 因为E，G分别为AA?，A?D?中点， 所以AD?∥EG， E D 从而EG∥BC?．又BC??平面EFG，

A 所以BC?∥面EFG．

17.证明：（1）∵E,F分别是AB，BD的中点，

∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，

∵AD?面ACD，EF?面ACD，∴直线EF∥面ACD；

（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，

∵CB=CD，F是ＢＤ的中点，∴CF⊥BD 又EF∩CF=F, ∴BD⊥面EFC， ∵BD?面BCD，∴面EFC?面BCD.

C? B? C B 18.解：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D?xyz． 则DA?(1，0，0)，CC??(0，01，)．连结BD，B?D?．

11

在平面BB?D?D中，延长DP交B?D?于H． 设DH?(m，m，DA??60， 1)(m?0)，由已知?DH，DH?，可得2m?2m2?1． 由DADH?DADHcos?DA，?22?21?解得m?，所以DH???2，2，?． 2??22?0??0?1?1222（1）因为cos?DH，， CC????21?2z D? A? D A x C? H P B? C B y 所以?DH，CC???45，即DP与CC?所成的角为45． （2）平面AA?D?D的一个法向量是DC?(01，，0)．

22?0??1?1?0122因为cos?DH，DC???， 21?2所以?DH，DC??60，可得DP与平面AA?D?D所成的角为30．

19.解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的

12正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.∴VP?ABCD?SABCD?PC?

33(2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE

证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC

∵PC⊥底面ABCD 且BD?平面ABCD∴BD⊥PC

又ACPC?C∴BD⊥平面PAC

∵不论点E在何位置，都有AE?平面PAC ∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE

(3)解法1：在平面DAE内过点D作DG⊥AE于G，连结BG

∵CD=CB,EC=EC，∴Rt?ECD≌Rt?ECB，∴ED=EB ∵AD=AB，∴△EDA≌△EBA，∴BG⊥EA ∴?DGB为二面角D－EA－B的平面角 ∵BC⊥DE，AD∥BC，∴AD⊥DE

2在Rｔ△ADE中DG?AD?DE==BG

AE3DG2?BG2?BD21在△DGB中，由余弦定理得cos?DGB???

2DG?BG2∴?DGB=

2?2?，∴二面角D－AE－B的大小为. 33z解法2：以点C为坐标原点，CD所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示：

P 12 ExD则D(1,0,0),A(1,1,0),B(0,1,0),E(0,0,1),从而

DE?(?1,0,1),DA?(0,1,0),BA?(1,0,0),BE?(0,?1,1) 设平面ADE和平面ABE的法向量分别为

m?(a,b,c),n?(a',b',c')

由法向量的性质可得：?a?c?0,b?0，a'?0,?b'?c'?0 令c?1,c'??1，则a?1,b'??1，∴m?(1,0,1),n?(0,?1,?1) 设二面角D－AE－B的平面角为?，则cos??m?n??1

|m|?|n|2∴??2?2?，∴二面角D－AE－B的大小为. 3320.（1）证明：由四边形ABCD为菱形，?ABC?60，可得△ABC为正三角形． 因为E为BC的中点，所以AE?BC．

又BC∥AD，因此AE?AD．

因为PA?平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA?AE． 而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PAAD?A，

所以AE?平面PAD．又PD?平面PAD， 所以AE?PD．

（2）解：设AB?2，H为PD上任意一点，连接AH，EH． 由（1）知AE?平面PAD，

则?EHA为EH与平面PAD所成的角． 在Rt△EAH中，AE?3， 所以当AH最短时，?EHA最大， 即当AH?PD时，?EHA最大． 此时tan?EHA?AE36??， AHAH2因此AH?2．又AD?2，所以?ADH?45，

所以PA?2．

解法一：因为PA?平面ABCD，PA?平面PAC， 所以平面PAC?平面ABCD．

过E作EO?AC于O，则EO?平面PAC，

过O作OS?AF于S，连接ES，则?ESO为二面角E?AF?C的平面角，

13

在Rt△AOE中，EO?AEsin30?33，AO?AEcos30?，

22又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO?AOsin45?32， 4又SE?EO2?SO2?323930，在Rt△ESO中，cos?ESO?SO?4?15， ??484SE5304即所求二面角的余弦值为

15． 5解法二：由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，所以

A(0，0，，0)B(3，?10)，，C(310)，，，D(0，2，0)，

P z ?31?P(0，0，，2)E(3，0，，0)F?，1??2，?， 2???31?0，，0)AF??，1?所以AE?(3，． ?2，?2??A B

F y D E x C 设平面AEF的一法向量为m?(x1，y1，z1)，

?3x1?0，?mAE?0，??则?因此?3 1x1?y1?z1?0．???mAF?0，?222，?1)， 取z1??1，则m?(0，因为BD?AC，BD?PA，PA故BD为平面AFC的一法向量．

AC?A，所以BD?平面AFC，

BD??又BD?(?3，3，0)，所以cos?m，mBDmBD?2?315?． 55?12因为二面角E?AF?C为锐角，所以所求二面角的余弦值为

空间向量与立体几何2

15． 514

一、选择题（每小题5分，共60分） 1．下列各组向量中不平行的是（ ）

????A．a?(1,2,?2),b?(?2,?4,4) B．c?(1,0,0),d?(?3,0,0)

????C．e?(2,3,0),f?(0,0,0) D．g?(?2,3,5),h?(16,24,40) 2．已知点A(?3,1,?4)，则点A关于x轴对称的点的坐标为（ ） A．(?3,?1,4) B．(?3,?1,?4) C．(3,1,4) D．(3,?1,?4)

???8?3．若向量a?(1,?,2),b?(2,?1,2)，且a与b的夹角余弦为，则?等于（ ）

922A．2 B．?2 C．?2或 D．2或?

55554．若A(1,?2,1)，B(4,2,3)，C(6,?1,4)，则△ABC的形状是（ ）

A．不等边锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三

角形

?5．若A(x,5?x,2x?1)，B(1,x?2,2?x)，当AB取最小值时，x的值等于（ ） A．19 B．?8819 C． D．

71476．空间四边形OABC中，OB?OC，?AOB??AOC?值是（ ）

112A． B． C．－ D．0

222?3，则cos的

7．设m、n表示直线，?、?表示平面，则下列命题中不正确的是（ ）． ．．．A．m??,m??，则?//? B．m//?,????n，则m//n C．m??,m//?, 则??? D．m//n,m??, 则 n??

8．在棱长均为2的正四面体A?BCD中，若以三角形ABC为视角正面的三视图中，其左视图的面积是（ ）． A．3 B．2622 C．2 D．

3B D C A 9、如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD 在原正方体中的位置关系是（ ） A．平行 B．相交且垂直

A C

D

B

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