2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质一学案新人教B版
更新时间:2023-11-26 06:38:01 阅读量: 教育文库 文档下载
2.2.2 椭圆的几何性质(一)
学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程,并利用曲线的方程研究它的性质、图形.
知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标
x2y2
思考1 观察椭圆2+2=1(a>b>0)的形状(如图),你能从图中看出它的范围吗?它具有怎
ab样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?
思考2 在画椭圆图形时,怎样才能画的更准确些?
梳理 椭圆的简单几何性质
标准方程 焦点在x轴上 __________(a>b>0) 焦点在y轴上 ________(a>b>0) 图形 焦点坐标 对称性 关于x轴、y轴轴对称,关于坐标原点中心对称
顶点坐标 范围 长轴、短轴
A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) |x|≤____,|y|≤____ A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0) |x|≤____,|y|≤____ 长轴A1A2长为____,短轴B1B2长为____ 知识点二 椭圆的离心率 思考 如何刻画椭圆的扁圆程度?
梳理 (1)椭圆的焦距与长轴长的比e=______称为椭圆的离心率.
x2y2
(2)对于2+2=1,b越小,对应的椭圆越______,反之,e越接近于0,c就越接近于0,
ab从而b越接近于a,这时椭圆越接近于圆,于是,当且仅当a=b时,c=0,两焦点重合,图形变成圆,方程变为x+y=a.(如图)
2
2
2
类型一 由椭圆方程研究其简单几何性质
例1 求椭圆9x+16y=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 引申探究
本例中若把椭圆方程改为“9x+16y=1”,求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
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2
2
反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式,然后根据方程判断出椭圆
的焦点在哪个坐标轴上,再利用a,b,c之间的关系和定义,求椭圆的基本量. 跟踪训练1 求椭圆9x+y=81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
类型二 椭圆几何性质的简单应用
命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程
例2 如图所示,已知椭圆的中心在原点,它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1,B2的连线互相垂直,且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为10-5,求这个椭圆的方程.
2
2
反思与感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出a,b,c所应满足的关系式,进而求出
a,b,在求解时,需注意椭圆的焦点位置.
跟踪训练2 根据下列条件,求中心在原点,对称轴在坐标轴上的椭圆方程: (1)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6);
(2)焦点在x轴上,一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直,且半焦距为6.
命题角度2 对称性问题
例3 讨论方程xy+xy+xy=1所表示的曲线关于x轴,y轴,原点的对称性.
反思与感悟 研究曲线关于x轴,y轴,原点的对称性,只需用“-y”代替方程中的“y”,用“-x”代替方程中的“x”,或同时代替,若方程不变,则得到相应的对称性. 跟踪训练3 曲线x-2y+1=0的对称轴为( ) A.x轴 C.直线y=x 命题角度3 最值问题
例4 椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e=33
,已知点P(0,)到椭圆上的22
B.y轴 D.无法确定
23
22
3
点的最远距离是7,求这个椭圆的方程.
反思与感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种
(1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义,并能借助相应曲线的定义及对称知识求解;
(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立起目标函数,再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等.
跟踪训练4 已知点F1,F2是椭圆x+2y=2的左,右焦点,点P是该椭圆上的一个动点,→→
那么|PF1+PF2|的最小值是( ) A.0 B.1 C.2 D.22 类型三 椭圆离心率的求解
2
2
x2y2
例5 已知椭圆2+2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,斜率为k的直线l过左焦点F1
ab且与椭圆的交点为A,B,与y轴的交点为C,且B为线段CF1的中点,若|k|≤离心率e的取值范围.
反思与感悟 求e的取值范围有以下几个步骤: (1)切入点:已知|k|≤
14
,求e的取值范围,需建立关于e的不等式.(2)思考点:①e2
14
,求椭圆2
与k有什么关系?②建立e与k的等量关系式;③利用B在椭圆上且为CF1的中点,构建关于e与k的等式;④如何求e的范围?先用e表示k,再利用|k|≤14
,求e的取值范围.(3)2
解题流程:先写出l的方程,求出B点的坐标,由点B在椭圆上,建立e与k的关系式,再求e的范围.
x2y2
跟踪训练5 已知点P(m,4)是椭圆2+2=1(a>b>0)上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,
ab3
若△PF1F2的内切圆的半径为,则此椭圆的离心率为________.
2
1.已知椭圆的方程为2x+3y=m(m>0),则此椭圆的离心率为( ) 1321A. B. C. D. 3322
2.与椭圆9x+4y=36有相同焦点,且短轴长为2的椭圆的标准方程是( ) A.+=1 24C.+y=1 6
2
2
2
2
x2y2x2
B.x+=1
6D.+=1 85
2
y2
2
x2y2
3.若椭圆的对称轴为坐标轴,且长轴长为10,有一个焦点坐标是(3,0),则此椭圆的标准方程为________.
4.已知点(m,n)在椭圆8x+3y=24上,则2m+4的取值范围是________________. 5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为________.
1.可以应用椭圆的定义和方程,把几何问题转化为代数问题,再结合代数知识解题.而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密,因此,涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理.
2.椭圆的定义式:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|),在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体灵活应用.
3.利用正弦、余弦定理处理△PF1F2的有关问题.
4.椭圆上的点到一焦点的最大距离为a+c,最小距离为a-c.
提醒:完成作业 第二章 2.2.2(一)
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