2019年广东省龙川县第一中学高三第一次月考考试数学理及答案

高考数学精品复习资料

2019.5

龙川一中14-15年高三上第一次

月考试卷(数学理)

考试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知点A )4,1,3(--，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（ ）

A. )4,1,3(--

B.)4,1,3(---

C. )4,1,3(--

D. )4,1,3(

2．已知椭圆22

13649

x y +=上的一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则P 点到另一个焦点的距离（ ）

A . 3

B . 4 C. 9 D . 11

3．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是 ( )

A ．＝(1,0,0)，＝(－2,0,0)

B ．＝(1,3,5)，＝(1,0,1)

C ．＝(0,2,1)，＝(－1,0，－1)

D ．＝(1，－1,3)，＝(0,3,1)

4.曲线221259x y +=与曲线22

1259x y k k

+=--(9)k <的（ ） A. 长轴长相等 B. 焦距相等 C. 离心率相等 D. 短轴长相等

5.给出下列命题：①对空间任意两个向量,a b （b ≠0），则a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使得b a λ=; ②若0a b ?=，则00a b ==或; ③若,,OA OB OC 不能构成空间的一个基底，则O,A,B,C 四点共面; ④对于非零向量,,，则)()(?=?一定成立. 正确命题的个数为（ ）

A ．1 B.2 C. 3 D. 4

6．正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是11,BB CC 的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦为（ ）

A ．25

B ．15-

C ．15

D ．25

- 7．过椭圆22

221x y a b

+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为（ ）

A ．2

B

C ．12

D ．13

8．若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2

221(a>0)a

x y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP ?的取值范围为 ( )

A ．)+∞

B ．[3)++∞

C ．7[-,)4+∞

D ．7[,)4

+∞

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9.(,4,3),(3,2,)a x b z ==若a ∥b ，则x z ?= 10.若抛物线2

2y px =的焦点与双曲线22

163x y -=的右焦点重合，则p 的值为 ． 11.已知双曲线2

2

1y x a -=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直，则a =_________ 12．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。

若AB 的中点为（2，2），则直线l 的方程为_____________.

13. 已知()()1,1,,2,,a t t t b t t =--=，则b a -的最小值是______________

14.已知两点A )2,1(-、B )2,4(--及下列四条曲线：①423x y +=； ②223x y +=；

③2223x y +=；④2223x y -= 其中存在点P ，使PA PB =的曲线有 （填上所有正确的序号）

P

A

B

C

D

E

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 15．(本小题满分12分）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 的中点。 （1）化简：A 2

1

211--

; (2)设E 是棱DD 1上的点，且13

2

DD DE =

,若1AA z y x ++=,试求实数z y x ,,的值。

16. (本小题满分12分）设点A 、B 的坐标分别为)0,5(-，（5,0）.直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是4

9

-，求点M 的轨迹方程。

17. (本小题满分14分）

如图：底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ， //EC PD ，且2PD EC =， （1）求证：BE//平面PDA ；

（2）若N 为线段PB 的中点，求证：EN ⊥平面PDB ；

18. (本小题满分14分）

已知抛物线C ：2

2(0)y px p =>过点A )2,1(-

（I ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；

（II ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l

的距离等于

5

？若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由.

G F D E C

B A 19（本小题满分14分）

已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =∠BAD =2

π，AB=BC=2AD=4，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF ∥BC ，AE = x ，G 是BC 的中点。沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图) .

(1) 当x=2时，求证：BD ⊥EG ；

(2) 若以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值；

(3) 当 f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C 的余弦值.

20（本小题满分14分） 设),(),,(2211y x B y x A 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

x a y 上的两点，已知向量),,(),,(2211a

y b x a y b x ==且0=?，椭圆的离心率,23=e 短轴长为2，O 为坐标原点。 （1）求椭圆的方程；

（2）若直线AB 的斜率存在且直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；

（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

龙川一中20xx ——20xx 学年度第一次月考试卷

高三级（理科）数学科试卷（参考）答案

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

二、填空题 本大题共6小题，每小题5分，共30分。）

9． 9 10. 6 11. 4

12. y=x 13. 14.①②③ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，

15．(本小题满分12分） （1）11A O (AB+AD)2

-=1A O AO -=1A A ----------------------------------------------6分 (2) EO=AO AE -

=

112(AB+AD)AD AA 23

-- ------------------------------------------------8分 =1112AB AD AA 223

-- --------------------------------------------------10分 ∴12x = 12y =- 23z =- --------------------------------------------------12分 16. (本小题满分12分）

设点M 的坐标为(,)x y ，---------------------------------------------------2分

因为点A 的坐标是(5,0)-，

所以，直线AM 的斜率5

AM y k x =+（x ≠-5）； --------------------------------------5分 同理直线BM 的斜率5

BM y k x =-（x ≠5）. -------------------------------------------8分 由已知有4559y y x x ?=-+-（x ≠±5），--------------------------------------------11分

N

E

D

C

B

A P

F

x

化简，得M 的轨迹方程为

22

110025

9

x y += （x ≠±5）. ----------------------------------12分 17．(本小题满分14分） 解：（1）证明：∵//EC PD ，PD ?平面PDA ，EC ?平面PDA

∴EC//平面PDA ,

同理可得BC//平面PDA --------------------------------------------------------------------3分

∵EC ?平面EBC,BC ?平面EBC 且EC BC C = ∴平面BEC //平面PDA ------------------------------------------------------------------5分 又∵BE ?平面EBC ∴BE//平面PDA-----------------------------------------------6分 （2）证法1：连结AC 与BD 交于点F, 连结NF ， ---------------------------------7分 ∵F 为BD 的中点，

∴//NF PD 且1

2NF PD =,---------------------8分

又//EC PD 且1

2

EC PD =

∴//NF EC 且NF EC =------------------------------9分

∴四边形NFCE 为平行四边形----------------------10分 ∴//NE FC --------------------------------------11分 ∵

DB AC ⊥,PD ⊥平面ABCD ,

AC ?面ABCD ∴AC PD ⊥， --------------------------------------------12分 又PD BD D =

∴AC ⊥面PBD ---------------------------------------------------13分 ∴NE ⊥面PDB ----------------------------------------------14分

[证法2：如图以点D 为坐标原点，

以AD 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如图示：

设底面ABCD 边长为1，PD a =--------------------------------------------------7分 则(1,1,0),(0,1,0),(0,0,),B C P a

(0,1,)2a E ,11(,,)222a

N --------------------------------9分

∴11

(,,0)22

EN =-,(1,1,)PB a =-,(1,1,0)DB =--------10分

∵11

110022

EN PB a ?=?-?-?=,

11

1100022

EN DB ?=?-?+?=----------------------11∴DB EN PB EN ⊥⊥,

∵B DB PB PDB,,=??且面DB PB

∴PDB NE 面⊥- --------------------------------------------14分

18. (本小题满分14分）

解：（I ）抛物线过点A （1 , -2），∴4=12?p

∴2=p ---------------------------------------------3分

∴抛物线C 的标准方程为x y 42=,其准线方程是1-=x -------------------------------6分 （II ）假设存在满足题意的直线l ，其方程为t x y +-=2-------------------------------7分 ①???=+-=x

y t x y 422得0222=-+t y y 。---------------------------------------------9分 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以084≥+=?t 解得21-

≥t ---------------------------------------------10分 又因为直线OA 与l 的距离55=d 可得555

=t -------------------------------12分 ∴1±=t ，其中1-=t 舍去---------------------------------------------13分

存在满足题意的直线l ，其方程为012=-+y x ---------------------------------------14分

19．（本小题满分14分）

解:（1）（法一）∵平面AEFD ⊥平面EBCF ,AE ⊥EF,∴AE ⊥面EBCF ,AE ⊥EF,AE ⊥BE,又BE ⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xy z 。………………………………… 1分

则A （0，0，2），B （2，0，0），G （2，2，0），D （0，2，2），E （0，0，0）

BD =（－2，2，2），EG =（2，2，0）……………………………………………3分 BD EG ?=（－2，2，2）·（2，2，0）＝0，∴BD EG ⊥………………………4分 （法二）作DH ⊥EF 于H ，连BH ，GH ，……………1分 F E D C B A

y F D

E A H

由平面AEFD ⊥平面EBCF 知：DH ⊥平面EBCF ，

而EG ?平面EBCF ，故EG ⊥DH 。

又四边形BGHE 为正方形，∴EG ⊥BH ，

BH ?DH ＝H ，故EG ⊥平面DBH ，………………… 3分

而BD ?平面DBH ，∴ EG ⊥BD 。………………… 4分

（或者直接利用三垂线定理得出结果）

（2）∵AD ∥面BFC ，

所以 ()f x =V A-BFC ＝AE S BFC ??3

1＝13·12·4·(4-x)·x 2288(2)333

x =--+≤………………………………………………………………7分 即2x =时()f x 有最大值为83

。…………………………………………………8分 （3）（法一）设平面DBF 的法向量为1(,,)n x y z =，

∵AE=2, B （2，0，0），D （0，2，2），

F （0，3，0）,∴(2,3,0),BF =-BD =（－2，2，2）,…………………………9分

则 1100

n BD n BF ??=???=??，

即(,,)(2,2,2)0(,,)(2,3,0)0x y z x y z ?-=???-=?，2220230

x y z x y -++=??-+=?

取x ＝3，则y ＝2，z ＝1，∴1(3,2,1)n =

面BCF 的一个法向量为2(0,0,1)n =……………12分

则cos<12,n n >=12121414

||||n n n n ?

= …………………………………………13分 由于所求二面角D-BF-C 的平面角为钝角，

所以此二面角的余弦值为－14

……………………………14分 （法二）作DH ⊥EF 于H ，作HM ⊥BF ，连DM 。 由三垂线定理知 BF ⊥DM ，∴∠DMH 是二面角D-BF-C 的平面角的补角。…………9分 由△HMF ∽△

EBF ，知

HM HF ＝BE BF

，而HF=1，BE=2，

BF ∴HM 2

又DH ＝2，

∴在Rt △HMD 中，tan ∠

DMH=-DH HM

因∠DMH 为锐角，∴cos ∠DMH

＝

14， ………………………………13分 而∠DMH 是二面角D-BF-C 的平面角的补角，

故二面角D-BF-C

。 ………………………………14分 20.解：（1）,22=b 则1=b ， ………………………………1分 ∵2

3==a c e ，解得3,2==c a ………………………………3分 椭圆的方程为14

22

=+x y …………………….（4分） （2）设AB 的方程为3+=kx y 由0132)4(14

32222

=-++??????=++=kx x k x y kx y ，①

则1224x x k -+=

+，12214

x x k -?=+………………………………6分 由已知得，

121212122210(4

x x y y m n x x kx kx b a =?=+=++

22413()444

k k +=?-+++

解得k = ………………………………8分

经验证，k =0?>，符合题意，

因此k = ………………………………9分

（3）根据题意，当直线AB 的斜率不存在，即12x x =，12y y =-时，

由0m n ?=得22

1104y x -=，即22114y x =，

有11(,)A x y 在椭圆上，所以22

11

14y x +=，

所以12

x =

，1y = 所以11211112122

AOB s x y y x y ?=-=?=………………………………10分 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 由2

214

y kx m y x =+???+=??222(4)240k x kmx m ?+++-=， 则12224

mk x x k -+=+，212244m x x k -=+………………………………12分 又0m n ?=，即12121()()04

x x kx m kx m +++=，则2224m k -=，……………13分

121122AOB s m x x m ?=?-=

22212m m ==， AOB ∴?的面积为定值1………………………………14分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5mne.html