线性代数习题集-重点解析

第一章 行 列 式

一、判断题

1．行列式如果有两列元素对应成比例，则行列式等于零. ( T ) ．

2132102. 124??121.( F )(简单的性质)

01234213434.( T )(运算值相等) 3. 121??420426. n阶行列式Dn中元素aij的代数余子式Aij为n?1阶行列式. ( T )

3121437. 245?328.( F )

836256a118. a21a31a12a22a32a13a11a23 r1?2r2 2a21?a11a33a31a122a22?a12a32a132a23?a13 ( F ) a339．如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必等于零. ( T )

10. 如果方程个数与未知数个数相等，且系数行列式不为零，则方程组一定有解. ( T ) 二、选择题（）

1．若a1ra25a32a4sa53是5阶行列式中带正号的一项，则r,s的值为（ B 因为是5阶所以r+s=5并且逆序数为偶）．

A.r?1,s?1 B.r?1,s?4

C.r?4,s?1 D.r?4,s?4

2.下列排列是偶排列的是（ 逆序数是偶数 ）

A. 4312 B. 51432 C. 45312 D. 654321

2?103.若行列式1x?2?0， 则x=( 有一列或行相同则为零 ).

3?12A.–2 B. 2 C. -1 D. 1

6.设行列式

a1a2b1b2=1，

a1a2c1c2=2，则

a1a2b1?c1b2?c2=（ D ）.

A．-3 B．-1 C．1 D．3

?ax1?2x2?3x3?8?7.设非齐次线性方程组?2ax1?2x2?3x3?10有唯一解(系数行列式不为0)，则a,b必须满

?x?x?bx?523?1足（ d ）.

A.a?0,b?0 B.a?2233,b?0 C.a?,b? D.a?0,b? 332228. 11253?12??1523?2503?22102是按（ B ）展开的.

0A．第2列 B．第2行 C．第1列 D．第1行

a119.设D?ai1a12ai2an2a1nain则下式中（ B 一种字母i 或j是之和，，有两种是和为零 ）annan1是正确的.

A.ai1Ai1?ai2Ai2?C.ai1A1i?ai2A2i?三、填空题

?ainAin?0 B.a1iA1j?a2iA2j??aniAnj?0

?aniAnj

?ainAni?D D.D?a1iA1j?a2iA2j?2． 四阶行列式中的一项a14a32a23a41应取的符号是___正____. 8.非零元素只有n?1行的n阶行列式的值等于____0_____.

a19. b1c110.

a2b2c2a3c1b3?8,则?2b1c3a1c2?2b2a2c3?2b3?_____16___.(因为1和3 行对调了) a3n阶行列式Dn中元素aij的代数余子式Aij与余子式Mij之间的关系是

Aij?___(?1)i?jMij_，Dn按第j列展开的Dn?__a1jA1j?a2jA2j??anjAnj

23(2)15

1?120423611? （步骤很重要）（再复杂的也这样转换） 2223 解 151?12042361c4?c221?????321251?12042360r4?r222?????310221?121423402 00r4?r123 ?????101?120423002?0? 00

ax?byay?bzaz?bxxyz(2)ay?bzaz?bxax?by?(a3?b3)yzx（;ab系数提出来--从左到az?bxax?byay?bzzxy右） 证明

ax?byay?bzaz?bx ay?bzaz?bxax?by

az?bxax?byay?bzxay?bzaz?bxyay?bzaz?bx ?ayaz?bxax?by?bzaz?bxax?by

zax?byay?bzxax?byay?bzxay?bzzyzaz?bx ?a2yaz?bxx?b2zxax?by

zax?byyxyay?bzxyzyzx ?a3yzx?b3zxy

zxyxyzxyzxyz ?a3yzx?b3yzx

zxyzxyxyz ?(a3?b3)yzx?

zxya22b (3)2cd2

(a?1)2(b?1)2(c?1)2(d?1)2(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(a?3)2(b?3)22?0;（展开列列想减） (c?3)(d?3)2 证明

a22b 2cd2(a?1)2(b?1)2(c?1)2(d?1)2(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(a?3)2(b?3)2(c?c? c?c? c?c得) (c?3)2433221(d?3)2a22b ?c2d2a22b ?c2d2

2a?12b?12c?12d?12a?12b?12c?12d?12a?32b?32c?32d?322222a?52b?5(c?c? c?c得) 2c?543322d?522?0? 22六.用克拉默法则解方程（先求系数矩阵D的值，再求D1,D2...... ）

?x1?x2?x3?x4?5?1?5x1?6x2?x?2x?x?4x??2?x?5x?6x?0?1234123?1. ?； 2.?x2?5x3?6x4?02x?3x?x?5x??2?234?1?x3?5x4?6x5?0???3x1?x2?2x3?11x4?0??

.

x4?5x5?1?(1??)x1?2x2?4x3?0?七. 问?取何值时? 齐次线性方程组?2x1?(3??)x2?x3?0有非零解(系数行列式必为

?x?x?(1??)x?03?12零)？

第二章 矩 阵

一、判断题

1.若A是2?3矩阵，B是3?2矩阵，则AB是2?2矩阵. ( T ) 2.若AB?O,且A?O,则B?O.( F )

?10??12??12??10?X?3. ?的解X?????. ( F 逆矩阵在左边则T) ???2534?????34??25?4.若A是n阶对称矩阵，则A也是n阶对称矩阵. ( T )

2?15. n阶矩阵A为零矩阵的充分必要条件是A?0. ( F ) 6. 若A,B为同阶可逆矩阵，则(kA)?1?kA?1. ( F )

?420??420?????7. ?6912??6?232?. ( F )

?1?10??1?10?????8. n阶矩阵A为逆矩阵的充分必要条件是

A?0. ( T )

9.设A,B为同阶方阵，则 A?B?A?B. ( F )

?A?1?AO?10.设 A,B为n阶可逆矩阵，则 ????OB???O二、选择题

?1O? .( T ) ?1?B?1. 若A,B为n阶矩阵，则下式中（ D ）是正确的.

A.(A?B)(A?B)?A2?B2 B.A(B?C)?O,且A?O，必有B=C. B.(A+B)2?A2+2AB+B2 D.AB?AB 2.若As?n,Bn?l，则下列运算有意义的是（ A ）.

A.BTAT B.BA C.A+B D.A+BT

3.若Am?n,Bs?t，做乘积AB则必须满足（ C ）.

A.m=t B.m=s C.n=s D.n=t

5.设2阶矩阵A???ab?*?，则A?（ A ）

?cd?b??d?c??? D．??ba?? ?a?????d?b???dc???d????A．? B． C．??ca??b?a??c??????33?6. 矩阵???10??的逆矩阵是（ C ）

???0?0?1??0?3??A．??33?? B．??13?? C．?1?????31???1?? ? D．?13?1???10??

???

-1?37?7. 设2阶方阵A可逆，且A=??1?2?，则A=（ 因为6-7=-1 ）.

???27??27??2?7??37?A．??1?3? B．?13? C．??13? D．?12?

????????8. n阶矩阵A行列式为

A,则kA的行列式为（ B ）.

等价。T

7．设向量组I：?k1,?k2,,?ks 是向量组II：?1,?2,,?ks是向量组II：?1,?2,,?p的部分组，如果向量组I线

性相关，则向量组II也线性相关。T 8．设向量组I：?k1,?k2,,?p的部分组，如果向量组I线性

无关，则向量组II也线性无关。F

?,?s,?1,?2 线性无关，则向量组 ?1,9．如果向量组?1,10．如果向量组?1,?2,,?s 也线性无关。T

,?m 线性无关，则该向量组的任何部分组必线性无关。T

11．设向量组?1,?2,?3线性无关,于是向量组?1??2,?2??3,?3??1也线性无关。T 12．设n维向量组?1,?2,?,?s线性相关,于是?,?1,?2,?,?s也线性相关,其中?为一n维向量。T

13．若向量组?1,?2,?,?n线性相关,则?1一定可由?2,?,?n线性表示。F 14．设向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)可互相线性表示,则秩(Ⅰ)= 秩(Ⅱ)。T 15．设向量组?1,?2,?,?s线性相关,则该向量组中一定含有零向量。F

16．若?是AX?0的解,若?是AX?b(b?0)的解，则???是AX?b的解。T 17．包含零向量的向量组是线性相关的。T

18．若?1,?2是AX?b(b?0)的解，则?1??2也是AX?b的解。F 四、计算与证明

1??22??14?????1?2?，B?(b1,b2)??03?，验证a1，a2，a3是R3的1．设A?(a1,a2,a3)??2??42???122?????一个基，并求 b1, b2在这个基中的坐标。(先求行列式的值不等于0，再求秩=3---》线性无关。即证是基。2：设x列方程求解x。）

?2?1?11?11?21?2．设矩阵A??4?62?2??36?97

2??4?，求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属4??9?于最大无关组的列向量用该最大无关组线性表示。（先化成阶梯型行列式--》非零行的非零首元素的那一列即为一个最大无关组2；线性表示时需要化成最简式。） 3．已知向量组

?0??1???1??1??3??????????? A：a1??1?,a2??1?；B：b1??0?,b2??2?,b3??2?，

?1??0??1??1???1???????????证明A组与B组等价。 （秩相等就可以）

8．求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组：

?1??4??1??1??9???2?????????????2?12100?4?,a??? (2) a???,a???,a???3?。 (1) a1???,a2??1?1?2??5?3??4???1??10?3?2?????????????3?6448??????7???????9．利用初等行变换求矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量用最大无关组线性表示：

?1??0?2??110．设向量组

1201221??15?1? ?3?13?04?1?

?a??2??1??2??????????3?,?b?,?2?,?3? ?1??3??1??1?????????的秩为2? 求 a,b。

14．求下列齐次线性方程组的基础解系：

?x1?8x2?10x3?2x4?0?2x1?3x2?2x3?x4?0??(1) ?2x1?4x2?5x3?x4?0 (2) ?3x1?5x2?4x3?2x4?0

?3x?8x?6x?2x?0?8x?7x?6x?3x?0234234?1?1

15．设n阶矩阵A满足A?A? E为n阶单位矩阵, 证明R?A??R?A?E??n。

2

16．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系：

?5?x1?x2?x1?5x2?2x3?3x4?11??(1) ?2x1?x2?x3?2x4?1 (2) ?5x1?3x2?6x3?x4??1

?5x?3x?2x?2x?3?2x?4x?2x?x??6234234?1?1

第五章 相似矩阵及二次型（本章看书）

一、判断题

1.线性无关的向量组必是正交向量组.( F)

2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.( T ) 3.正交矩阵一定是可逆矩阵.( T )

4.若n阶矩阵A与B相似,则A与B不一定等价.( F )

5.若n阶矩阵A有n不同的特征值，则A相似于对角矩阵.( T ) 6.实对称矩阵一定可以相似对角化.( T ) 7. 相似矩阵的行列式必相同.(T )

8.若n阶矩阵A和B相似，则它们一定有相同的特征值.( T )

9．n阶实对称矩阵A的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.(T ) 10. 若A是正定矩阵，则A的特征值全为正.( T ) 二、单项选择题

?001???1. 设A??010?,则A的特征值是( A ).

?100???A) -1,1,1 (B) 0,1,1 (C) -1,1,2 (D) 1,1,2

2. 若x1,x2分别是方阵A的两个不同的特征值对应的特征向量,则k1x1?k2x2也是A的特征向量的充分条件是( D ).

(A) k1?0且k2?0 (B) k1?0且k2?0 (C) k1k2?0 (D) k1?0且k2?0 3. 若n阶方阵A,B的特征值相同,则( B ).

(A) A?B (B) |A|?|B| (C) A与B相似 (D) A与B合同 4. 设A为n阶可逆矩阵, ?是A的特征值,则A的特征根之一是( B ). (A) ??1*

|A|n (B) ??1|A| (C) ?|A| (D) ?|A|n

5. 矩阵A的属于不同特征值的特征向量（ B ）.

(A)线性相关 (B)线性无关 (C)两两相交 (D)其和仍是特征向量 6. |A|?|B|是n阶矩阵A与B相似的( C ).

(A)充要条件 (B)充分而非必要条件 (C)必要而非充分条件 (D)既不充分也不必要条件 7. 若n阶方阵A与某对角阵相似,则( C ).

(A) r(A)?n (B) A有n个不同的特征值 (C) A有n个线性无关的特征向量 (D) A必为对称阵 8.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是（ D ）.

(A) A?0 (B)存在阶阵C，使A?CTC (C)负惯性指数为零 (D)各阶顺序主子式为正 9．设A为n阶方阵，则下列结论正确的是（ C ）. (A)A必与一对角阵合同

(B)若A的所有顺序主子式为正，则A正定 (C)若A与正定阵B合同，则A正定

(D) 若A与一对角阵相似，则A必与一对角阵合同 10．设A为正定矩阵，则下列结论不正确的是（ C ）. (A)A可逆 (B)A正定 (C)A的所有元素为正 (D)任给X?(x1,x2,二、填空题

1. n阶零矩阵的全部特征值为____0___.

2. 若A?A，则A的全部特征值为___0或1____.

23. 设三阶矩阵A的特征值分别为-1,0,2,则行列式A?A?E? 7 ?1,xn)T?0,均有XTAX?0

24. 特征值全为1的正交阵必是 单位 阵. 5. 若A???2231??12?,B????，A与B相似，则x? -17 ，y= -12

yx34????26.二次型f(x1,x2,x3,)?x1x2?2x2x3?x3的秩为 3（给出二次写出对应的矩阵） . 2227.若f(x1,x2,x3)?2x1?x2?x3?2x1x2?tx2x3正定，则t的取值范围是 ?2?t?2 （特征值全为正）

?110???8.设A??1a0?是正定矩阵，则a满足条件 a》1 .

?00a2???

9．二次型f(x1,x2)?x1x2的负惯性指数是____1______. 10．二次型(x1,x2)??12??13??x1?的矩阵为 ?? . ??x??22??12??2?三、计算与证明题

;

5? 求下列矩阵的特征值和特征向量:（主对角线-x。用行列式求出x即是特征值 特征向量就是k倍的基础解系）

?0?123??2?12?(1)?5?33?; (2)?213?; (3)?0?0?336???10?2??1?????

001001001?0?. 0?0??25? 判别下列二次型的正定性?（各阶竹子式为正则正定，奇数阶主子式为负，偶数主子式为正则 负定）

(1) f??2x1?6x2?4x3?2x1x2?2x1x3? （平方的系数在主对角线x1的平方对应

2

2

2

a11，x2的平方对应a22。x1x2系数的1/2同时对应a12和a21的值 以此类推的x1x3--》a13和a31 x2x3 ……）

(2) f?x12?3x22?9x32?19x42?2x1x2?4x1x3?2x1x4?6x2x4?12x3x4?

15? 已知p?(1? 1? ?1)T是矩阵A??5?2?12?a3?的一个特征向量? ??1b?2??? (1)求参数a? b及特征向量p所对应的特征值? 22? 用矩阵记号表示下列二次型:

(1) f?x2?4xy?4y2?2xz?z2?4yz? （同上） (2) f?x2?y2?7z2?2xy?4xz?4yz?

(3) f?x12?x22?x32?x42?2x1x2?4x1x3?2x1x4?6x2x3?4x2x4?

24. 设f?x1?x2?5x3?2ax1x2?2x1x3?4x2x3为正定二次型? 求a?

2

2

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5mma.html