概率（文）

概率（文） 一、知识与方法：

1、频数、频率与概率； 2、事件的分类：

（1）必然事件（在一定条件下必然发生的事件），P(A)?1，反之不然； （2）不可能事件（在一定条件下不可能发生的事件），P(A)?0，反之不然；

（3）随机事件：在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事件，0?P(A)?1。 3、古典概型的判断与计算：

（1）具有下述两个特点的模型就称为古典概型：① 试验中所有可能出现的基本事件_____

个；② 每个基本事件出现的可能性________。 （2）古典概型的计算方法：P(A)?m。理解这里m,n的意义，常用列举法确定m,n的n值。其中具体的列举方法可以是画树形图或列表等。 4、几何概型的判断与计算：

（1）具有下述两个特点的模型就称为几何概型：①实验中所有可能出现的基本事件____个；

② 每个基本事件出现的可能性________。

（2）几何概型的计算方法：P(A)?_____________。一般地，如果问题（随机试验）所涉及的是一个单变量，就转化为长度比或角度比；如果涉及双变量的，就可以设这两个变量为x,y，利用平面直角坐标系研究（x,y）组成的点集、转化为面积比解决问题。 5、互斥事件：事件A,B不可能同时发生。此时事件A，B有一个发生，称为和事件（A?B），计算公式是：P(A?B)?P(A)?P(B)。

6、对立事件：事件A,B不可能同时发生，但事件A,B中必然有一个发生。此时B?A，由P(A)?P(B)?P(A?B)?1；得P(A)?1?P(A)，这是间接法求概率的根据。 注意：（1）求一个事件发生的概率，关键是分清事件的类型（是古典概型还是几何概型）。

在求解过程中常用列举法、等价转化思想和分类或分步来处理；

（2）概率问题的解题规范：① 先设事件A表示“?”，② 列举、列式计算；③ 作答。 二、例题： 例1．射手甲在一次射击中射中十环、九环、八环、七环及七环以下的概率分别为0.24,0.28，

0.22,0.26，在这一次射击中

（1）求射中十环或九环的概率； （2）求射中的环数不足九环的概率； （3）如果射中七环与射中七环以下的概率相等，求至少射中七环的概率。

例2．在一次游戏中，甲、乙分别从装有标号为1，2，3，?，10的小球（球的大小与形状

相同）的盒子中各摸一个球，先摸者记下号码后放回。 （1） 求他们摸出的球的号码之和为7的概率； （2） 求他们摸出的球的号码之和大于7的概率；

（3） 如果规定，谁摸到的球的号码大，谁就是获胜者，求甲是获胜者的概率；

（4） 如果规定，他们摸到的球的号码的和为偶数时，甲获胜，否则乙获胜，问这样的规

定公平吗？

三、练习题：

1．学生准备到郊外野营，向商店定购帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要能准时收到帐篷就不会淋雨，则学生被淋雨的概率是_______。 2．在数轴上的区间[0,3]上任取一点，则此点的坐标不小于1的概率是________。 3．在圆心角为90的弧AOB中，以圆心O为起点作射线OC交弧于点C，则使得?AOC 和

??BOC都不小于30?的概率是___________。

4．从1,2,?,9中任取两个数，其中：① 恰有一个偶数和恰有一个奇数；② 至少有一个奇数和两个都是奇数；③ 至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个是偶数。在上述每两个事件中，是对立事件的是：

A ① B ② 、④ C ③ D ①、③

5．掷两枚硬币，两枚硬币全部正面向上的概率是_____；一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是_________。

6．从甲、乙、丙三人中任选两人当代表，甲被选中的概率是_____________。

7．在矩形ABCD内有一个圆与矩形的两条边相切，若AB?4,BC?2，在图形中随机撒下一颗黄豆，则黄豆落入圆内的概率是________。 8．．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数

为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为 A 7.68 B 16.32 C 17.32 D 8.68

9．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a、

b??1,2,3,4,5,6?，若a?b?1，就称甲乙两人“心有

灵犀”.则他们“心有灵犀”的概率为 A

1274 B C D 991892210．在区间?0,1?上任取两个数a、b，方程x?ax?b?0有两个实数根的概率为 1113 B C D 8424211．已知n?(0,1)，则方程x?x?n?0有实根的概率为

1113A B C D

2344 A

12．已知直线y?mx?2m和曲线y?4?x2有两个不同的交点，设它们围成的平面区域

??y?0}，向区域?上随机投一点A，点A落在为M，又平面区域?：{(x,y)|?2??y?4?x

??2，则实数m?_____。 2?113．设a??1,2,3?，b??2,4,6?，则函数y?logb是增函数的概率为_______.

ax14．已知函数f(x)??x2?ax?b，若a、b都是从区间[0,4]上任取的一个数，则f(1)?0

区域M内的概率为P(M)，若P(M)?成立的概率是_______。

15．假定鸟卵孵化后雏鸟为雌与为雄的概率相同，如果三枚鸟卵全部成功孵化，求三只雏鸟

中恰有两只雌鸟的概率。

16．甲、乙两人同时各抛一个质地均匀的骰子

（1）求两个骰子点数相同的概率； （2）求两个骰子点数的和是6的概率

（3）求至少有一个骰子点数为2的概率；（4）求两个骰子点数至少有一个5或6的概率； （5）记两个骰子点数分别为a、b，求复数a?bi的实部大于虚部的概率；

（6）记两个骰子点数分别为a、b，求方程x?ax?b?0有实数根的概率；

（7）记两个骰子点数分别为a、b，求直线ax?by?5?0与圆x?y?1相切的概率；

222（8）记两个骰子点数分别为a、b，将a、b、5的值分别作为三条线段的长，求这三条线

段能围成等腰三角形的概率．

17．在箱子中有十张卡片，分别写有1~10的这个整数，从箱子中任取一张卡片，记下它的数字x，然后放回箱子，再从箱子中任取一张卡片，记下它的数字y，

（1）求x?y是10的倍数的概率；（2）求xy是3的倍数的概率。

18．把一个表面涂满颜色的正方体分割成1000大小和形状都相同的小正方体，从这些小正

方体中随机抽取一个，

（1）求抽到只有一个面涂有颜色的小正方体的概率； （2）求抽到至少有一个面涂有颜色的小正方体的概率。 答案：例2．用列举法：（1）三、练习题

3799 ；（2） ；（3）；（4）公平

1002050111179 ；2．；5．，； 8~11：ADB C ；12 ．1； 13．；14 ． 4342932315．；

815551916．（1） ；（2）；（4） ；（5）；（6）；

691236361．

（7）∵直线ax?by?5?0与圆x2?y2?1相切的充要条件是

5a?b22?1，即

a2?b2?25，由于a、b?{1,2,3,4,5,6}，故a?3，b?4；或a?4，b?3．

设事件A表示：“直线ax?by?5?0与圆x2?y2?1相切”，

21?。 3618（8）∵三角形的一边长为5，

∴ 当a?1时，b?5；当a?2时，b?5；当a?3时，b?3，或b?5； 当a?4时，b?4，或b?5；当a?5时，b?1、2、3、4、5、6； 当a?6时，b?5，或b?6。

故满足条件的不同情况共有1?1?2?2?6?2?14种，设事件B表示“a、b、5的值

147?．分别作为三条线段的长，这三条线段能围成等腰三角形”，则其概率为P(B)? 361815117．（1）；（2）。

10100则其概率为P(A)?

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