泛函分析小论文

泛函分析论文

泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学等分科中都有应用，是20世纪发展起来的一门新学科，其中泛函是函数概念的推广，对比函数是数与数之间的对应关系，我们发现泛函是函数和数之间的对应关系。在学习泛函分析前，我们先确定学习目标：理解和掌握“三大空间和三大定理”。学习中慢慢体味泛函分析的综合性及专业性。。

§1 度量空间

§1.1 定义：若X是一个非空集合，d:X?X值函数，对于?x,y?X，有

（1）d(x,y)?0当且仅当x（2）d(x,y)?d(y,x)；

（3）d(x,y)?d(x,z)?d(y,z)，

则称d为X上的度量，称(X,d)为度量空间。

【理解】度量空间就是：集合+距离；（满足非负性、对称性及三点不等式） 其实度量空间是在实变函数中接触的知识，但其在泛函分析学科中的重要性，我们可以通过度量空间的进一步例子来感受。

§1.2 度量空间的进一步例子

例：1、离散的度量空间(X,d)，设X是一个非空集合，?x,y?X，当

?R是满足下面条件的实

?y；

?1,当x?y。

d(x,y)???0,当x=y2、序列空间S ，d(x,y)?1|?i-?i|是度量空间 ?i21+|?i-?i|i=1?3、有界函数全体B(A) ，d(x,y)?sup|x(t)-y(t)|是度量空间

t?A4、连续函数C[a,b]，d(x,y)?max|x(t)-y(t)|是度量空间

a?t?b5、空间l，d(x,y)?[2?(y-x)]kki=1?122是度量空间

§1.3度量空间中的极限，稠密集，可分空间 §1.3.1极限：类似数学分析定义极限，如果

?x?X，使limd(x,)=0nxn???xn?是(X,d)中点列，如果

，则称点列?xn?是(X,d)中的收敛点列，x

是点列

?xn?的极限。

n同样的类似于R，度量空间中收敛点列的极限是唯一的。

§1.3.2稠密子集与可分空间:设X是度量空间，E和M是X中两个子集，令

M表示M的闭包，如果E?M,那么称集M在集E中稠密，当E=X时，称

M为X的一个稠密子集，如果X有一个可数的稠密子集，则称X是可分空间。 即

：

M在E中稠密?对?x?E,??xn??Mst xn?xn??

§1.3.3 例子

1、 n维欧氏空间R是可分空间；

2、 坐标为有理数的全体是R的可数稠密子集； 3、

nnl?是不可分空间。

§1.4 连续映射 §1.4.1定义：设

X?(X,d), Y?(Y,d)是两个度量空间，T是X到Y中映射，xo?X,如果对于任意给定的正数?，存在正数 ?> 0,使对?(Tx,Tx) < ?,X中一切满足 d(x,x) < ?的 x，有 doo则称T在xo连续。§1.4.2 证明映射连续性的方法 1、定义法

2、邻域法：对Txo的每一个?—邻域U,必有xo的某个?—邻域V使TV其中TV表示V在映射T作用下的像。

3、极限观点（定理一）：T连续 ?xn?xo, 则 Txn?Txo (n??)

?U,

4、定理二:度量空间X到Y中的映射T是X上连续映射 ? Y中任意开集M 的原像T?1M是X中的开集。

5、定理二（变式）：把“开集”改为“闭集”，定理二仍成立。 §1.4.3 例题

例1、 设X,Y,Z为三个度量空间，

f是X到Y中的连续映射，

g是Y到Z

的连续映射，证明复合映射(gf)(x)=g(f(x))是X到Z的连续映射。 证明：设G是Z中开集，因g是Y到Z的连续映射,

又因

g?1G是Y中开集，

f是X到Y中的连续映射，

-1f-1(g?1G)是X中的开集，

即(g?f)G是X中的开集，即(g?f)连续。

【分析】此题就是利用定理二来证明的。 §1.5 柯西点列和完备度量空间 §1.5.1 定义：设X如果对???0，??是X中点列，

?(X,d)是度量空间，xn?正整数N?N(?),使当n,m?N时，必有d(xn,xm)??，则称

?xn?是X中的柯西点列，如果度量空间(X,d)中每个点列都在(X,d)中收敛，那么称(X,d)是完备的度量空间。

§1.5.2 相关结论

1、Q全体按绝对值距离构成的空间不完备

2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列 3、柯西点列一定是有界点列

4、定理：完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件是M为X中的闭子空间。（即完备性关于闭子空间具有可遗传性） 【注意】开子空间不完备。 例：1、C[a,b]是完备度量空间； 2、l是完备度量空间； 3、R是完备的度量空间；

n24、实系数多项式全体P[a,b]，P[a,b]作为C[a,b]的子空间不是完备度量空间；

§1.6 度量空间的完备化

定理1 （度量空间的完备化定理）：设X?(X,d)是度量空间，那么一定存在一

完备度量空间X?(X,d)，使X与X的某个稠密子空间W等距同构，并且X在等距同构意义下是唯一的，即若(X,d)也是一万倍度量空间，且X与

???????X的某个稠密空间等距同构，则(X,d)与(X,d)等距同构。

（其中：若d( Tx, Ty) = d( x, y)，称X?(X,d)与(X,d)等距同构。） 定理1可以通过图形象表达 '???????X(xo) W稠密 ?) ?,d(x V稠(x,d) ?(X,d)是度量空间，那么存在唯一的完备空间X?(X,d)，

???定理1 ：设X?使X为X的稠密子空间。

§1.7压缩映射原理及其应用

§1.7.1定义：设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果??,0???1，

s.t?x,y?X，d(Tx,Ty)??d(x,y)，则称T是压缩映射。

§1.7.2定理1（压缩映射定理）设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，

那么T有且只有一个不动点（就是说，方程Tx?x，有且只有一个解）。 定理2（隐函数存在定理）设函数

f(x,y)在带状域a?x?b,???y??

y的偏导数fy'(x,y)。如果?常数m和

中处处连续，且处处有关于

M，满足0?m?fy'(x,y)?M,m?M，则方程f(x,y)?0在

区间

上[a,b]必有唯一的连续函数

y??(x)作为解：

f(x?,(x?))§1.8 线性空间

?0x,a [b§1.8.1定义：设X是一非空集合，在X中定义了元素的加法运算和实数（或

复数）与X中元素的乘法运算，满足下列条件：（一）关于加法：(1)交换律（2）结合律（3）有零元（4）有负元，（二）关于数乘：（1）分配律（2）结合律（3）?x?X，均有1x?线性空间。

例：1、R按自身定义的加法和数乘成线性空间

2、C[a,b]按自身定义的加法和数乘成线性空间 3、空间l

px，满足这样性质的集合X称为

n(p?0)按自身定义的加法和数乘成线性空间

§2 赋范线性空间

§2.1赋范线性空间和巴拿赫空间

§2.1.1定义：设X是实（或复）的线性空间，如果对?x?X，都有确定的一个实数，记为

x与之对应，并且满足：

（非负性） 1ox?0，且x?0等价于x?0；

2?x?|?|xxo其中?为任意实（复）数；

3ox?y?x?y,x,y?X，（三角不等式）

则称

为向量x的范数，称X按范数

x成为赋范线性空间。

注意：1、2、||x是x的连续函数

xn?x|| ?0 ? d(xn,x)?0 （诱导距离）§2.2重要结论：

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