静电学计算题

静电学计算题

127、一个半径为R的均匀带电圆弧，弧心角为??60°,电荷线密度为?,求环心O处的电场强度和电势．

建立以O点为原点的平面坐标系，取电荷元dq??Rd?，则dE??Rd?

4??0R2其中：Ey??0，dEx??d?cos?，Ex?6??d?cos???

??4??R4??0R4??R600?U??6??6?Rd?? ?4??0R12?0128、将一无限长带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为?，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强．

取电量元dq??Rd?，其电场强度元为

?Rd? 4??0R2

dE?5??d??d??2建立如图所示的坐标系，因为Ey?0 dEx??cos? ，故 Ex????4cos??4??0R4??0R4??0R4

129、带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为? = ?0sin?，式中?0为一常数，?为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度和电势．

解：dE??0sin?d? ?dl?4??0R4??0R2dEx?dEcos? 考虑到电荷分布的对称性 Ex?0

2?dEy?dEsin? Ey?dEsin???0sin??d??0 方向沿y轴负向

??04??0R8?0R130、真空中两条无限长直的相互平行的均匀带电线, 相距为r、电荷线密度均为λ。建立适当的坐标系,求（1）两线构成的平面上任一点的电场强度；（2）单位长度带电线所受的电场力。

设场点距带电线x远，则在两线内电场强度为：E =

r-2xλ i ；

2πε0x(r-x)在两线外电场强度为：E =

r?2xλ i ）

2πε0x(r?x)λ2单位长度带电线所受的电场力F ＝ （说明力的方向）

2πε0r131、一无限长直均匀带电线，单位长度的带电量为?,求在带电线同侧与该带电线距离分别为R1，R2的两点A、B之间的电势差。（A、B与带电线共面）。

解：因为场强分布E?R2?dr?Rλ，所以

U??Edr???ln2

R12??r2??0R12πε0r0132、面积为S的平行板电容器，两板间距为d，求：（1）插入厚度为d/3，相对介电常数为 r的电介质，其电容量变为原来的多少倍？（2）插入厚度为d/3的导电板，其电容量又变为原来的多少倍？

解：（1）真空电容器C??0S，内部场强E?Q，电介质内部场强E?Q

012d?0S?0?rS插入电介质两极电势差U?Q?2d?Q?d 则C?Q?3?0?rS?3?rC

0?0S3?0?rS3U2d?r?d1?2?r（2）插入厚度为

d的导电板，可看成是两个电容的串联，则C1?C2?3?0S，得C?C1C23dC1?C2?3?0S3

?C02d2133、三平行金属板A、B、和C，面积都是200cm2，AB相距4.0mm，AC相距2.0mm，B、C两板都接地，如图所示。若A板带正电3.0×10-7C，略去边缘效应，求B板和C板上感应电荷。若以地的电势为零，求A板电势。

解: 如题图示，令A板左侧面电荷面密度为?1，右侧面电荷面密度为?2

(1)∵UAC?UAB，即∴EACdAC?EABdAB；∴?1?EAC?dAB?2，且?1+?2?qA

?2EABdACS

得?2?qA2q2, ?1?A。而 qC???1S??qA??2?10?7C。qB???2S??1?10?7C 3S33S(2)UA?EACdAC??1dAC?2.3?103V

?0134、计算如图所示长和宽均远大于间距的平行板电容器的电容.

134与132题重复，建议更改为下题

134、图示一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差U维持恒定的条件下，内球半径a为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小．

解：E?Q

4πε0r2 U??baE?dr??4πε0UabQQb?aUabQ? 所以 dr??E?2a4πεr2b?a4πεab(b?a)r00b要使内球表面附近的电场强度最小 （r?a），必须满足 a?

dE?0 dab4U 此时 E? 2b135、图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为?，球壳内表面半径为R1，外表面半径为R2．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势．解：空腔内任一点的场强E1??(r3?R13)4??0r2?0 r?R1

带电球壳上的一点 E?243?(r3?R13) ?3?0r2R1?r?R2

带电球壳外部空间 E?3则空腔内任一点的电势U?3??(R2?R13)434??0rR223?(R2?R13) ?3?0r2r?R2

3333?R2?(r?R)??(R?R) ?121E?dr?E?dr?R12?R23??R13?r2dr??R23?r2dr?2?(R22?R12)000136、一电量为q的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径分别为R1、R2．求球壳内外和球壳上场强和电势的分布，并画出E(r)和V(r)曲线.

当r

V1??R1q4??0rrdr??2?q2??0r2R2?q4??0(11q1 ?)?rR14??0R2当R1

当r> R2时：E3?q4??0r2，V3?q4??0r

137、半径为R1的导体球，被一与其同心的导体球壳包围着，其内外半径分别为R2、R3，使内球带电量q，球壳带电量Q，试求：1）电势分布的表示式；2）用导体连接球和球壳后的电势分布；3）外球壳接地后的电势分布。

137与142题重复，建议更改为

138、如图所示，在半经分别为R1和R2的两个同心球面上，分别均匀地分布着电荷Q和-Q,求两球面间的电势差。

E? U?Q(1?1)

4??0R1R24??0rQ2139、一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ。求：球心O处的电场强度。

?ds?将半球面看做无数带电圆环组成，每个圆环对场点产生dE,则E?cos??x?4??oR22?0??20sin?cos?d??? 4?0140、半径为R的球体内，分布着电荷体密度?=kr，式中r是径向距离，k是常量。求空间的场强分布。

3运用高斯定理，得r?R E?kr2 r?R E?kR

3?0r3?0141、在半径为R1的金属球之外包有一层均匀介质层（见图），外半径为R2。设电介质的相对电容率为?r，金属球的电荷量为Q。求：(1) 介质层内、外的场强分布；(2) 介质层内、外的电势分布；(3) 金属球的电势。

??解: 利用有介质时的高斯定理D?S?dS??q

??Qr?(1) 介质内(R1?r?R2)场强：D?,E内?34πr?Qr4π?0?rr3;

?介质外(r?R2)场强： D??Qr?Qr,E外?4πr34π?0r3(2)介质外(r?R2)电势U??E?d??外r?r?Q，介质内(R14π?0r?r?R2)电势

U???r?????E内?dr??E外?drr?Q1??111Q?(?r) (?)?R24π?0?rrR24π?0R24π?0?rrq (3)金属球的电势

R2?R2????U??E内?dr??E外?dr??RR12Qdr4π?0?rr2R??Q1?r?1 Qdr ?(?)R24π?r24π??RR0r120?142、半径为R1的导体球，被一与其同心的导体球壳包围着，其内外半径分别为R2、R3，使内球带电量q，球壳带电量Q，试求：电势分布的表示式；用导体连接球和球壳后的电势分布；外球壳接地后的电势分布。

143、有两个无限长同心金属圆筒，内圆筒A的半径为R1，外圆筒B的半径为R2，在内圆筒上每单位长度有正电荷?，在外圆筒单位长度上有等量的负电荷，试求两圆筒间的电势差UAB和电容C。

解：两金属圆筒间场强分布E?λ，则UAB?2πε0r?R2R1R??dr?ln2 2??0r2??0R1C?RQ?2??0ln1 UR2

稳恒磁场计算题

144.稳恒磁学计算题144、如下图所示，AB、CD为长直导线BC为圆心在O点的一段圆弧形导线，其半径为R．若通以

电流I，求O点的磁感应强度．144如下图所示，ABCD为长导线，BC段为圆心在O点的

一段圆弧形导线，其半径为R．若通以电流I，求（1）O点的磁感应强度．（2）若在O点放置一充分小平面单匝闭合线圈，面积为S,通以I/2的电流，计算该线圈所受的安培力和最大安培力矩。 解：将载流导线分成三段，标号如图。则 （1）B1?0（1分）

1?0I?0I?，向外（2分）

122R24R B2?

B3??0I4?3R/2(sin?3?0I?，向外。（2分） ?sin)?2412?R

图3-4

B?B1?B2?B3?

?0I(23??)（3分） 24?R

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