2018年辽宁师范大学数学学院数学系602数学分析考研冲刺狂背五套题
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2018年辽宁师范大学数学学院数学系602数学分析考研冲刺狂背五套题(一) (2)
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2018年辽宁师范大学数学学院数学系602数学分析考研冲刺狂背五套题(一)
说明:本套狂背五套题按照考研侧重点和出题难度,严格筛选提取了历年考试高频核心试题及重点题型,更突出针对性和实战性,适用于考研冲刺最后狂背。
——————————————————————————————————————————
一、证明题
1. 证明:设方程F (x ,y )=0所确定的隐函数y=f (x )具有二阶导数,则当
时,有
【答案】由题设条件可得
故
所以
2. 设
在[0,1]上连续,求证:
【答案】分两种情况讨论.
(1)如果f (X )在[0,1]上不变号,则
即要证的不等式成立.
如果f (x )在[0,1]上变号,则存在,使得
又因为f (x )在[0,1]上连续,存在
使得
f
故有
(用微积分基本定理)
即要证的不等式成立.
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3. 设f (x )定义在[a ,b]上
在x 0处有左、右导数;令
又设
证明:存在子列
,使
【答案】令则而
由致密性定理,有收敛子列
使
令q=l —p ,则
4. 设f (x )在[0,1]上连续,在(0,1)内可导.
求证:
,使得
【答案】令
,则F (0)=0,且
?
由此推出
下面分两种情况讨论: 第一种情况,..根据罗尔定理,有
*
使得,
即得
,从而本题得证.
第二种情况
.
则
与F (1)异号,
于是根据连续函数的中间值定理可知,使得
现在对F (x )在
上用罗尔定理,有
使得,
即得
.从而本题也得证.
5. 设函数
定义在[0,1]上,证明它在(0,1)上满足下述方程:
【答案】令
则
所以其中c 为常数,又
所以
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6. 证明:若为递增数列,为递减数列,且
则
与
都存在且相等.
【答案】由可知,
数列是有界数列,设正数
M ,使得对一切
n ,
又因为
为递减数列
,所以于是,数列有上界,因而数列
也有上界.设正数是
的一个上界.由
可得
综上所述,都是单调有界的,所以
都存在.再由
得
二、解答题
7
. 设
’试求f 在[0,1]上的上积分和下积分;并由此判断f 在[0,1]上是否可积. 【答案】对于的任意分割T ,在间
上,
,所以有
故
对于下和s ,由于,所以s=0.
由于,所以由定理知f
(x )在
[0,1]上不
可积. 8.
己知
试讨论函数f (x ,y )在原点(0,0)处是否连续?
【答案】首先证明 ①
令
代入①的左端得
故①成立. 又因为
根据迫敛性可知,
所以函数f (x ,y )在原点(0,0)处连续.
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