上海市杨浦区2013届高三上学期学业质量调研数学文试题--含答案

杨浦区2012学年第一学期高三年级学业质量调研

数学试卷(文) 2013.1.

考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．

2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结

果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1. 若函数()x x f 3=的反函数为()x f 1-，则()=-11f ．

2．若复数i i z -=

1 (i 为虚数单位) ，则=z . 3．抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为 .

4. 若线性方程组的增广矩阵为???

? ??211321，则该线性方程组的解是 ．

5．若直线l :012=--x y ，则该直线l 的倾斜角是 .

6. 若7)(a x +的二项展开式中，5x 的系数为7，则实数=a ．

7. 若圆椎的母线cm 10=l ,母线与旋转轴的夹角0

30=α,则该圆椎的侧面积为

2cm .

8. 设数列}{n a (n ∈*N )是等差数列.若2a 和2012a 是方程03842=+-x x 的两根，则数列}{n a 的前2013 项的和=2013S ______________．

9. 若直线l 过点()1,1-，且与圆22

1x y +=相切，则直线l 的方程为 ． 10.将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为b 和c ，

则2≤b 且3≥c 的概率是____ ___ .

11.若函数1)23(log )(+-=x a x f (1,0≠>a a )的图像过定点P ,点Q 在曲线

022=--y x 上运动,则线段PQ 中点M 轨迹方程是 ．

12．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，

其中4AE =米，6CD =米. 为了合理利用这块钢板,将在五边 A M E

P D C B N F

形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上.

则矩形BNPM 面积的最大值为____ 平方米 .

13．设ABC ?的内角C B A 、、的对边长分别为c b a 、、，且 c A b B a 5

3cos cos =- ，则B A c ot tan 的值是___________．

14．已知函数()()?

??≤-->+=.0,2,0,1log 22x x x x x x f 若函数()()m x f x g -=有3个零点， 则实数m 的取值范围是___________．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的

相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

15． “3=a ”是“函数22)(2

+-=ax x x f 在区间[)+∞,3内单调递增”的………（ ） )(A 充分非必要条件． )(B 必要非充分条件．

)(C 充要条件． )(D 既非充分又非必要条件．

16．若无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为23-

a ，且a S n n =∞→lim ， (n ∈*N )，则复数i

a z +=1在复平面上对应的点位于 ………（ ）

)(A 第一象限． )(B 第二象限． )(C 第三象限． )(D 第四象限．

)(A ． )(B )(C ． )(D 18. 已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列（n ∈*N ）. 对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”. 现有定义在(0,)+∞上的如下函

数：①1()f x x

=， ②2()f x x =， ③()e x f x =， ④()f x =“保比差数列函数”的所有序号为 ………（ ）

)(A ①②． )(B ③④． )(C ①②④． )(D ②③④ ．

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内

写出必要的步骤 .

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．

如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，4==BC AP ，?=∠30ABC ,

E D 、分别是AP BC 、的中点，

（1）求三棱锥ABC P -的体积；

（2）若异面直线AB 与ED 所成角的大小为θ，求θtan 的值.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．

(文) 已知函数π

()cos()4

f x x =-， （1

）若()10

f α=，求sin 2α的值； （2）设()()2

g x f x f x π?

?=?+

???，求()g x 在区间ππ,63??-????上的最大值和最小值.

P A B C D

E

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．

已知椭圆:C 22

221(0)x y a b a b

+=>>的两个焦点分别是()0,11-F 、()0,12F ，且焦距是椭圆C 上一点P 到两焦点21F F 、距离的等差中项.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设经过点2F 的直线交椭圆C 于N M 、两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点

),0(0y Q ，求0y 的取值范围.

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知函数)0(121)(>-=x x x

x f 的值域为集合A ，

（1）若全集R U =，求A C U ；

（2）对任意??? ??

∈21,0x ，不等式()0≥+a x f 恒成立，求实数a 的范围；

（3）设P 是函数()x f 的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为A 、

B ，求PB PA ?的值．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

设数列{}n x 满足0>n x 且1≠n x （n ∈*N ）,前n 项和为n S ．已知点),(111S x P ,

),(222S x P ,()n n n S x P ,,???都在直线b kx y +=上(其中常数k b 、且0≠k ,1≠k ， 0≠b ),又

n n x y 2

1log =．

（1）求证：数列{}n x 是等比数列；

（2）若n y n 318-=，求实数k ，b 的值；

（3）如果存在t 、∈s n *N ，t s ≠使得点()s y t ,和点()t y s ,都在直线12+=x y 上．问

是否存在正整数M ，当M n >时，1>n x 恒成立？若存在，求出M 的最小值，若不存在，请说明理由．

杨浦区2012学年度第一学期高三年级学业质量调研

2013.1.5

一．填空题:

1. 0；2．2；3．2；4. ???==11y x （向量表示也可）；5．2arctan ；6.

33±；7. π50 8. 2013；9.1=x 或1=y ； 10. 92

；11.

x x y 222-= 12． 48；13．1-；14．)1,0(

二、选择题:

15．)(A ；16．)(D ；17．)(B ；18. )(C ．

三、解答题

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．

(1)由已知得，,32,2==AB AC ………2分 所以 ，体积33831==?--PA S V ABC ABC P ………5分

(2)取AC 中点F ，连接EF DF ,，则DF AB //，

所以EDF ∠就是异面直线AB 与ED 所成的角θ. ………7分 由已知，52,32,2=====PC AB AD EA AC ，

EF DF EF AB ⊥∴⊥, . ………10分

在EFD Rt ?中，5,3==

EF DF ，

所以，

315

tan =

θ. ………12分

(其他解法，可参照给分) 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．

解：（1

）因为

π()cos()410f αα=-=

， 则

(cos sin )2

10αα+=， 所以 7

cos sin 5αα+=

. ………3分 平方得，22

sin 2sin cos cos αααα++=49

25， ………5分

所以

24

sin 225α=

. ………7分

（2）因为

()π()2g x f x f x ?

?=?+ ???=ππcos()cos()

44x x -?+

=sin )sin )

22x x x x +?- ………9分

=221

(cos sin )

2x x -

=1

cos 22x

. ………11分 当

ππ,63x ??∈-????时，π2π2,33x ??

∈-????. ………12分 所以，当0x =时，()g x 的最大值为1

2； ………13分

当

π3x =

时，()g x 的最小值为1

4-

. ………14分

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．

（1）解：设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得 1c =. ………1分 由题意得 a c 24=，2=a 2223b a c =-=. ………4分

故椭圆C 的方程为 22

143x y +=. ………6分

（2）解：当MN x ⊥轴时，显然00y =. ………7分

当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠.

由 22(1),3412,y k x x y =-??+=?消去y 整理得

0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k . ………9分 设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为33(,)Q x y ，

则

2

122834k x x k +=+. ………10分 所以

212324234x x k x k +==+，3323(1)34k y k x k -=-=+. 线段MN 的垂直平分线方程为

)434(143322

2k k x k k k y +--=++. 在上述方程中令0=x ，得k k k k y 4314320+=+=

. ………12分

当0k <

时，34k k +≤-0k >

时，34k k +≥

所以00y ≤<

，或0012y <≤. ………13分 综上，0y

的取值范围是[,]1212-. ………14分

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

(1)由已知得，0>x ，则222)(≥+=x x x f ………1分 当且仅当x x 2=时，即2=x 等号成立，

[)∞+=∴,22M ………3分 所以，()

22,∞-=M C U ………4分 (2)由题得

??? ??+-≥x x a 2 ………5分 函数

??? ??+-=x x y 2在??? ??∈21,0x 的最大值为29- ………9分 29

-≥∴a ………10分

(3)设???? ??+0002,x x x P ，则直线PA 的方程为()

0002x x x x y --=???? ??+-， 即0022x x x y +

+-=， ………11分 由??

???++-==0022x x x y x y 得)1,1(0000x x x x A ++ ………13分 又???? ??+002,0x x B ， ………14分 所以)1,1(

00x x -=，)0,(0x -=，故1)(100-=-=?x x ………16分

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

（1）因为点1,+n n P P 都在直线b kx y +=上，

所以k x x S S n n n n =--++11，得n n kx x k =-+1)1(， ………2分 其中0111≠-=k x ． ………3分

因为常数0≠k ，且1≠k ，所以

11-=+k k x x n n 为非零常数． 所以数列{}n x 是等比数列． ………4分

（2）由n n x y 21log =，得6821-=??? ??=n y n n x ， ………7分 所以81=-k k ，得

78=k ． ………8分 由n P 在直线上，得b kx S n n +=， ………9分

令1=n 得

7871785

111--=-=-=x x S b ． ………10分 （3）由n

n x y 2

1log =知1>n x 恒成立等价于0

n *N ，t s ≠使得点()s y t ,和点()t y s ,都在直线12+=x y 上． 由12+=t y s 与12+=s y t 做差得：)(2s t y y t s -=-． ………12分

易证{}n y 是等差数列，设其公差为d ，则有d

t s y y t s )(-=-，因为t s ≠， 所以02<-=d ，又由2)(2++=+s t y y t s ，

而4)(22)2)(1()2)(1(111++-=--++--+=+t s y t y s y y y t s

得2)(24)(221++=++-s t t s y 得 01)(21>-+=t s y

即：数列是首项为正，公差为负的等差数列，所以一定存在一个最小自然数M ， ………16分

使，???<≥+001M M y y , 即???<-+-+≥--+-+0)2(1)(20)2)(1(1)(2M t s M t s 解得2121++≤<-+t s M t s

因为*∈N M ，所以t s M +=，

即存在自然数M ，其最小值为t s +，使得当M n > 时，1>n x 恒成立． ………18分 （其它解法可参考给分）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5lje.html