行程问题 - 环形路（教师版）

一问数学 让每个学生接受最优质的课外教育 行程问题——环形路（教师版）

一、【本讲知识点】

在环行道路上的行程问题本质上讲是追及问题或相遇问题。当二人（或物）同向运动就是追及问题，追及距离是二人初始距离及环形道路之长的倍数之和；当二人（或物）反向运动时就是相遇问题，相遇距离是二人从出发到相遇所行路程和。

二、【本讲经典例题】

【铺垫】如下图，两名运动员在沿湖周长为2250米的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发，多少分钟后甲第1次追上乙？若两人同时同地反向出发，多少分钟后甲、乙第1次相遇？

分析与解答：2250÷（250-200）=2250÷50=45（分钟），即45分钟后甲第1次追上乙； 2250÷（250+200）=2250÷450=5（分钟），即5分钟后甲、乙第1次相遇. 【例1】如下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙。如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？

（1） （2）

分析与解答：

根据图（1）用追及问题公式求出环形跑道的长，因从同一点出发，距离差=跑道长。（250-200）×45=2250（米）。

同理，在环形跑道上，若反向而行，从同一点出发两人相遇所经过的路程和=跑道长。如图（2），2250÷（250+200）=5（分钟）即经过5分钟两人相遇。

【随堂练习1】如下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发，54分钟后甲追上乙。如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？

一问教育

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一问数学 让每个学生接受最优质的课外教育 分析与解答：具体分析见例题。 环形跑道周长：（250-200）×54=2700（米），

两人相遇时间：2700÷（250+200）=2700÷450=6（分钟）， 即经过6分钟后两人相遇。

【拓展】甲、乙两运动员在周长为400米环形跑道上同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟80米，甲的平均速度是乙的1.25倍，甲在乙前面100米处。问几分钟后，甲第一次追上乙？ 分析与解答：具体分析过程略。15分钟。

【铺垫】下图是一个圆形中央花园，A、B是直径的两端，小军在A点，小勇在B点，同时出发相向而行。他俩第1次相遇时，小军走了50米，当他们第2次相遇时，小军走了多少米？

分析与解答：第1次相遇，俩人合起来走了半周长，从1次相遇开

始到第2次相遇两人共走了一周长，两次共走了一周半。所以，小军从开始到第2次相遇走了50米的3倍，即走了50×3=150（米）。

【例2】如下图，是一个圆形中央花园，A、B是直径的两端，小军在A点，小勇在B点，同时出发相向而行。他俩第1次在C点相遇，C点离A点有50米；第二次在D点相遇，D离B有30米。问这个花园一周长多少米？

分析与解答：第1次相遇，俩人合起来走了半周长，从C点开始第2次在D点相遇两人共走了一周长，两次共走了一周半。小军从A→C→D走了50米的3倍，即走了50×3=150（米）。去掉BD之间的距离，就是半个圆周的长，所以一周的长度为（150-30）×2=240（米）。 【随堂练习2】如下图，A、B是圆直径的两端点，亮亮在点A，明明在点B，相向而行。他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D点第二次相遇，D点离B点80米。求圆的周长。

分析与解答：具体分析过程见例题。440米。

【拓展】如下图，在一圆形跑道上。小明从A点，小强从B点同时出发，相向行走。6分钟后，小明与小强相遇，再过4分钟，小明到达B点，又再过8分钟，小明与小强再次相遇。问：小明环行一周要多长时间？

分析与解答：这是一个相遇问题，因为两人6分钟相遇，且再过4

分钟小明到达B点，所以，小明走4分钟的路程相当于小强走6分钟的路程。从第一次相遇到再相遇小明走了4+8=12分钟，当然小强也走了12分钟，但他走的路程只相当于小明

一问教育

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一问数学 让每个学生接受最优质的课外教育 走8分钟的路程，再次相遇，一定是两人合走了一圈，因此小明走一圈需12+8=20分钟。 【铺垫】如下图三个环形跑道相切排列，每个环形跑道周长均为210厘米。甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字型循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字型循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度都是每分钟17.5厘米。问：甲、乙两只爬虫多少分钟后第一次相遇？

分析与解答：由题意可知，甲、乙爬虫第一次相遇走的距离是一周半，即210+210÷2=315厘米。所以第一次相遇所用时间为315÷（17.5+17.5）=9（分钟）。

【例3】如下图三个环形跑道相切排列，每个环形跑道周长均为210厘米。甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字型循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字型循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度都是每分钟17.5厘米。问：甲、乙两爬虫多少分钟后第二次相遇？

分析与解答：

解法一：由“铺垫”知，甲、乙两爬虫第一

次相遇用9分钟。又知甲、乙两爬虫从第一次相遇到第二次相遇又走了一个圆周。所以第一次相遇到第二次再相遇所用时间为：210÷（17.5+17.5）=210÷35=6（分钟）。即甲、乙两爬虫用15（9+6=15）分钟后第二次相遇。

解法二：因为甲、乙两爬虫的速度一样，所以，甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲、乙爬虫分别爬了

55周，即210×=262.5厘米。262.5÷17.5=15（分钟），即甲、乙两爬虫15分44钟后第二次相遇。

注：这种解法用到了小数和分数的乘除法知识，超出了五年级学生的认知水平。

【随堂练习3】如下图，三个环形跑道相切排列。甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字型循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字型循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度都是每分钟20厘米，甲、乙两只爬虫爬行20分钟后第二次相遇，问每个环形跑道的周长为多少厘米？

分析与解答：甲、乙两爬虫第二次相遇总爬行的距离为：（20+20）×20=800（厘米） 由题意及图可知：甲、乙两爬虫第二次相遇时，共爬行的距离为5个半周长。 所以每个环形跑道的周长为：800÷5×2=320（厘米）。

【拓展】如下图，三个环行跑道相切排列，每个环行跑道周长均为210厘米。甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字型循环运动，

一问教育

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一问数学 让每个学生接受最优质的课外教育 乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字型循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别是每分钟20、15厘米。问甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米？

分析与解答：具体分析过程略。300厘米。

【铺垫】有一条长500米的环形跑道，小军从跑道上某一点出发逆时针跑步，他总共跑了5525米。问：小军是在离起点多少米处停下来的？ 分析与解答：因为5525÷500=11…25（米），所以5525米相当于11圈余25米，即小军是在离起点25米处停下来的。

【例4】甲、乙从360米的环行跑道上的同一地点同向跑步。甲每分钟跑305米，乙每分钟跑275米。两人起跑后，第一次相遇在离起点多少米处？

分析与解答：甲第一次追上乙需用时间360÷（305-275）=360÷30=12（分）， 第一次相遇甲跑的路程305×12=3660（米）， 3660米相当于10圈60米（3660÷360=10…60），所以第一次相遇在离起点60米处。

【随堂练习4】甲、乙从1740米的环行跑道上的同一地点反向跑步。甲每分钟跑300米，乙每分钟跑280米。两人同时起跑后，第一次相遇在离起点多少米处？

分析与解答：甲、乙第一次相遇用时间1740÷（300+280）=1740÷580=3（分钟），相遇时乙跑的路程280×3=840（米）。（注：椭圆上两点间的距离是短弧的长）所以第一次相遇离起点840米。

【拓展】如下图，沿着长为70米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米。当乙第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上？

分析与解答：由题意可知，这是乙追甲的追及问题。因此甲在乙前方70×3=210米。乙第一次追上甲时用时间：210÷（72-65）=210÷7=30（分钟）。乙追上甲时形的路程：72×30=2160（米）。2160=（4×7+2）×70+60（米），即，乙走了4圈后又跑了两条边BC、CD，在AD距D点60米处追上甲。故，乙第一次追上甲时是在AD边上。

【铺垫】甲、乙两名运动员的速度和是800米/分，速度差是100米/分，且已知甲运动员比乙运动员跑得快，问甲、乙两名运动员的速度各是多少？ 分析与解答：甲运动员的速度：（800+100）÷2=450米/分，

乙运动员的速度：（800-100）÷2=350米/分。

【例5】有一条长500米的环行跑道。甲、乙两人同时从跑道上某一点出发，反向而跑，1分钟后相遇；如果两人同向而跑，则10分钟后相遇。已知甲跑的比乙快。问甲、乙两人每分钟各跑多少米？

分析与解答：甲、乙的速度和为500÷1=500米/分。甲、乙的速度差为500÷10=50米/分，所以甲的速度为（500+50）÷2=275米/分，乙的速度为500-275=225米/分。

一问教育

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一问数学 让每个学生接受最优质的课外教育 【随堂练习5】有一条沿湖的环行跑道长1120米。甲、乙两人同时从跑道上某一点出发，如果同向而跑，25分钟相遇；如果两人反向而跑则2分钟后相遇。又已知乙比甲跑得快。问甲、乙每分钟各跑多少米？

分析与解答：甲、乙两人的速度差1120÷28=40米/分，甲、乙两人的速度和1120÷2=560米/分.又因为乙比甲跑得快，

所以，甲的速度：（560-40）÷2=260米/分；乙的速度：（560+40）÷2=300米/分. 【拓展】一个圆的周长90厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点同时爬行，若反向而爬，10分钟后相遇；若同向而爬，90分钟后相遇。又已知甲爬虫比乙爬虫爬得快。问甲、乙两爬虫每秒钟各爬多少米？

分析与解答：具体分析过程见例题。甲爬虫5厘米/秒，乙爬虫4厘米/秒。

【铺垫】小明从A点出发，沿400米环行跑道行走，每分钟走80米，问小明第二次出现在A点时用多少分钟？（不算起始时在A点）

分析与解答：小明第一次出现在A点用时间：400÷80=5（分钟），

所以第二次出现在A点用时间：5×2=10（分钟），

【例6】甲、乙两人同时从A点反向出发，沿400米环行跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，这两人至少用多少分钟再在A点相遇？

分析与解答：甲第一次出现在A点用时间400÷80=5（分钟），以后每隔5分钟就会出现在A点一次；乙第一次出现在A点用时间400÷50=8（分钟），以后每隔8分钟就会出现在A点一次。如下表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 10 15 220 25 第六次 30 第七次 第八次 35 40 甲出现5 在A点时间（分） 乙出现8 在A点时间（分） 16 24 3 40 48 56 64 由上表可知，当40分钟时，甲、乙同时第一次出现在A点。 注：此题也可用最小公倍数的知识解答。 【随堂练习6】有一条长480米的环行跑道，甲、乙两人同时从跑道上的A点同向出发行走，甲每分钟走60米，乙每分钟走80米。这两人至少用多少分钟再在A点相遇？ 分析与解答：具体分析过程见例题。

甲回到A点用的时间：480÷60=8（分钟）； 乙回到A点用的时间：480÷80=6（分钟）。

8和6的最小公倍数是24.故，这两个人至少24分钟用再在A点相遇。

【拓展】有甲、乙、丙三个人，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米，丙每分钟走70米。如果三个人同时同向从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟后，三个人又可以相聚？

分析与解答：设X分钟后，三人又可以相聚。由题意知，甲、乙相聚时，他们行走的路程差恰好是300米的整数倍，即

（120－100）×X=300n（n是正整数） 类似的有 （120－70）×X=300m（m是正整数） （100－70）×X=300p（p是正整数） 解得，X=15n；，X=6m；，X=10p；要想三人再次相聚，X必是15、6、10的公倍数，取他们

一问教育

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一问数学 让每个学生接受最优质的课外教育 的最小公倍数

〔15、10、6〕=30 即，30分钟后三人再次相聚。

【铺垫】小红在400米长的环行跑道上跑了一圈，已知她前一半时间每秒跑4米，后一半时间每秒跑6米，那么小红跑一圈需要多长时间？ 分析与解答：

小红跑一圈所用时间的一半是400÷（4+6）=40（秒），所以小红跑一圈需要40×2=80（秒）。 【例7】小明在360米长的环行跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么小明后一半路程用了多长时间？ 分析与解答：小明前一半时间：360÷（5+4）=40（秒），

小明前一半时间跑的路程：5×40=200（米），

小明后一半时间跑的路程：4×40=160（米）。

所以小明后一半路程的180米（360÷2=180）中，前20米（180-160=20）的速度是5米/秒，剩余的160米路程的速度是4米/秒。

故小明后一半路程用的时间为20÷5+160÷4=4+40=44（秒）。

【随堂练习7】一条环行跑道长30千米，一辆汽车沿着该跑道跑了一圈。已知该汽车前一半时间每分钟跑2千米；后一半时间每分钟跑1千米，那么该汽车前一半路程用了多少分钟？ 分析与解答：该汽车前一半时间30÷（2+1）=10（分钟），

该汽车前一半时间跑的路程2×10=20（千米）， 该汽车后一半时间跑的路程1×10=10（千米），

所以，该汽车前一半路程15千米（30÷2=15）所用的速度都是2千米/分。 故，该汽车前一半路程用的时间为15÷2=7.5（分）。 【拓展】绕湖一周30千米，小刘绕湖走了一周，已知他前一半的时间的速度是4千米/小时，后一半的时间的速度是6千米/小时，那么小张前一半路程用多少时间？ 分析与解答：具体分析见例题。3.5小时。

【铺垫】在周长为200米的圆形跑道上一条直径的两端，甲、乙两人分别以6米/秒、5米/秒的速度同时同向出发，沿跑道行进。问：6分钟内，甲能否追上乙两次？ 分析与解答：

甲第一次追乙时相距：200÷2=100（米）。

故，甲第一次追上乙用的时间：100÷（6-5）=100（秒）； 甲第二次追乙时相距：200米。

故，甲第二次追上乙用的时间：200÷（6-5）=200（秒）。

200+100=300秒=5分钟﹤6分钟。所以，6分钟内，甲能追上乙两次。

【例8】在周长为200米的圆形跑道一条直径的两端，甲、乙两人分别以6米/秒，5米/秒的速度同时同向出发，沿跑道行驶。问：16分钟内，甲追上乙多少次？ 分析与解答：

由“铺垫”知，甲第1次追上乙所用的时间是100秒。甲第二次追上乙所用的时间200÷（6-5）=200秒，且以后每隔200秒追上一次。

又，16分钟=960秒，除去甲第1次追上乙用去100秒，剩余的时间内甲又追上乙4次[（960-100）÷200=860÷200=4…60]。

故，16分钟内，甲追上乙5次。

【随堂练习8】在周长400米的圆形跑道一条直径的两端，李明与王军分别以4米/秒，5米/秒的速度同时同向出发前行。问20分钟内，两人相遇多少次？

一问教育

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一问数学 让每个学生接受最优质的课外教育 分析与解答：

第1次相遇用的时间：400÷2÷（5-4）=200秒；

第2次相遇用的时间：400÷（5-4）=400秒，且以后每隔400秒相遇一次。 又，20分钟=1200秒，（1200-200）÷400=2…200秒。 故，20分钟内两人相遇了2+1=3次。

【拓展】在400米环行跑道上，A、B两点相距100米。甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米。问30分钟内，甲追上乙多少次？ 分析与解答：甲第一次追上乙用的时间：100÷（5-4）=100（秒） 甲第二次追上乙用的时间：400÷（5-4）=400（秒）， 又，30分钟=1800秒，（1800-100）÷400=1700÷400=4（次）…100秒。 故，30分钟内，甲追上乙4+1=5（次）。

三、【本讲巩固练习】

1、甲、乙两人在一个环行跑道上散步。甲每分钟走20米，乙每分钟走25米。两人同时同地同向出发，90分钟后乙追上甲。假设两人同时同地反向走，经过多少分钟后两人相遇？ 分析与解答：具体分析过程见例1。 环行跑道周长：（25-20）×90=450（米），

甲、乙两人的相距时间：450÷（20+25）=450÷45=10（分钟）。

2、如下图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C点离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点60米，求这个圆的周长。

分析与解答：A点到D点的距离是80×3=240（米），B点到D点是60米，A点到B点（半周长）是240-60=180（米），圆的周长是180×2=360（米）。

3、王明、李硕从460米的环行跑道上同时同地同向出发跑步。王明每分钟跑300米，李硕每分钟跑320米。两人第一次相遇在离起点多少米处？ 分析与解答：具体分析过程见例4。

第一次相遇的时间：460÷（320-300）=23（分），相遇时王明行进的路程为300×23=6900（米）。6900÷460=15。即，两人第一次相遇在起点，故，两人第一次相遇在离起点0米处。 4、甲、乙从360米的环行跑道上的同一地点同向跑步。甲每分钟跑305米，乙每分钟跑275米。两人起跑后，第二次相遇在离起点多少米处？

分析与解答：具体分析过程见例题4。第二次相遇在离起点120米处。

一问教育

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