概率论与数理统计 第7章参数估计习题及答案

第7章 参数估计 ----点估计

一、填空题

1、设总体X服从二项分布B(N,p)，0?P?1，X1,X2?Xn是其一个样本，那么矩估

?? 计量pX . N2、 设 总 体X~B(1,p)， 其 中 未 知 参 数 0?p?1 , X1,X2,Xn 是 X的样本，

n1nX1?Xi则 p的 矩 估 计 为_?Xi_， 样本 的 似 然 函 数 为_?pi(1?p)__。

ni?1i?13、 设 X1,X2,,Xn是 来 自 总 体 X~N(?,?2)的 样 本， 则 有 关 于 ?及 ?2,Xn;?,?2)?_?i?1n的 似 然 函 数L(X1,X2

e2??1?12?2(Xi??)2__。

二、计算题

1、设总体X具有分布密度f(x;?)?(??1)x,0?x?1，其中???1是未知参数，

?X1,X2,?Xn为一个样本，试求参数?的矩估计和极大似然估计.

解：因E(X)??10x(α?1)xadx??(α?1)xα?1dx?01α?1a?21α?1 x|0?α?2α?2??1α令E(X)?X?

??2α因似然函数L(x1,x2,??2X?1为?的矩估计 ?α1?Xxn)?

xn;?)?(??1)n(x1x2nn?lnLn?lnL?nln(α?1)?α?lnXi，由???lnXi?0得，

?αα?1i?1i?1???(1??的极大似量估计量为αn?lnXi?1n)

i??e??x,x?02、设总体X服从指数分布 f(x)?? ，X1,X2,?Xn是来自X的样本，（1）

0,其他?

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求未知参数?的矩估计；（2）求?的极大似然估计.

解：（1）由于E(X)?1? ，令

1?n?X?????1??1 ，故?的矩估计为?XX（2）似然函数L(x1,x2,,xn)??elnL?nln????xii?1n?xii?1n

dlnLnn???xi?0???d??i?11。 X3、设总体X~N?0,?2?，X1,X2,故?的极大似然估计仍为然估计；

[解] (1)似然函数L?nxi2n

?xi?1ni,Xn为取自X的一组简单随机样本，求?2的极大似

n2?2??i?1?21e2???2??2????e?2?2i?1nxi2

nxi2nn2于是lnL??ln2??ln??? 222i?12?dlnLn1n2??2??xi， d?22?2?4i?1?1n2dlnL22

令?0，得?的极大似然估计：???Xi.

ni?1d?24、设总体X服从泊松分布P(?), X1,X2,,Xn为取自X的一组简单随机样本, （1）求

未知参数?的矩估计；（2）求?的极大似然估计.

??X，此为?的矩估计。 解：（1）令E(X)???X?? （2）似然函数L(x1,x2,,xn)???xii?1ne?n?i?x!i?1n

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lnL??xiln??n???lnxi!i?1i?1nnxixi?dlnL??i?1?n?0???i?1?xd??n

nn故?的极大似然估计仍为X。

第七章 参数估计 ----点估计的评价标准

一、填空题

1、 设X1,X2,X3是取自总体

X的一个样本，则下面三个均值估计量

?1?X1??155X33111131?2?X1?X2??3?X1?X2?X3都是总体X2?X3,u,u10234123412?2 最有效. 均值的无偏估计，则 ?2、 设X1,X2,?Xn是取自总体N(0,?)的样本，则可以作为?2的无偏估计量是( A ).

21n2A、?Xi

ni?11n2B、?Xi

n?1i?11nC、?Xi

ni?11nD、?Xi

n?1i?1二、计算题

1n(Xi??)21、设X1,X2,?Xn为从一总体中抽出的一组样本，总体均值?已知，用?n?1i?1去估计总体方差?，它是否是?的无偏估计，应如何修改，才能成为无偏估计.

221n1nn2(Xi??)]?E(Xi??)2? 解：因E[?2??2 ??n?1i?1n?1i?1n?11n?(Xi??)2不是?2的无偏估计 ?n?1i?11n22但?(Xi??)是?的无偏估计 ni?12、设X1,X2,?Xn是来自总体N(?,?)的一个样本，若使C?偏估计，求常数C的值。 解：

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2?(Xi?1n?1i?1?Xi)2为?2的无

E[C??(Xi?1?Xi)]?C?[E(Xi?1?Xi)2]2i?1i?1n?1n?1?C?[EXi2?1?EXi2?2EXi?1EXi]i?1n?1?C?[?2??2??2??2?2?2]i?1n?1

?2(n?1)C?2??2?C?12(n?1)第七章 参数估计 ----区间估计

一、选择题

21、设总体X~N(?,?)，?未知，设总体均值?的置信度1??的置信区间长度l，那

2么l与a的关系为( A ).

A、a增大，l减小 C、a增大，l不变

2

B、a增大，l增大 D、a与l关系不确定

22、设总体X~N(?,?)，且?已知，现在以置信度1~?估计总体均值?，下列做法中

一定能使估计更精确的是( C ).

A、提高置信度1??，增加样本容量 C、降低置信度1??，增加样本容量

B、提高置信度1??，减少样本容量 D、降低置信度1??，减少样本容量

二、计算题

1、设总体X~N(?,0.9)，当样本容量n?9时，测得X?5，求未知参数?的置信度为

0.95的置信区间.

解：?的置信区间为(X?Z?22?n,X?Z?2?n)

Z0.05?1.96

2??0.05 n?9 ??0.9 X?5

?的置信区间为(4.412,5.588)。

22、设总体X~N(?,?),已知???0,要使总体均值?的置信水平为1??的置信区间的长度

不大于L，问需要抽取多大容量的样本。

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解：?的置信区间为(X?Z??2?0n,X?Z?2?0n)，

2Z??2?0n224Z??0?L?n?L22

23、某车间生产自行车中所用小钢球，从长期生产实践中得知钢球直径X~N(?,?)，现从某批产品里随机抽取6件，测得它们的直径(单位：mm)为：

14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1，置信度1???0.95(即??0.05) (1)若??0.06，求?的置信区间 2(3)求方差?，均方差?的置信区间.

解：(1)?22(2)若?未知，求?的置信区间

2已知，则

?的置信区间为(X?Z??2?n,X?Z?2?n)，

n?5,??0.05,Z??1.96

2代入则得?的置信区间(14.75,15.15)

2(2)?未知，则?的置信区间为(X?t?2SS,X?t??)，n?5,??0.05 nn2查表得t0.05?2.5706，代入得?的置信区间为(14.71,15.19)

2(3)

(n?1)S2?2~?2(n?1)

(n?1)S2(n?1)S2?的置信区间(2,2)

??(n?1)??(n?1)221?2??0.05,n?5 代入得?2的置信区间为：(0.0199,0.3069)。

均方差?的置信区间为(0.0199,0.3069)?(0.1411,0.2627)

4、 设从正态总体X中采用了n = 31个相互独立的观察值 , 算得样本均值 X?58.61及样

本方差 S2?(5.8)2, 求总体X的均值和方差的90%的置信区间

解：1???0.9,???0.05,1??0.95,n?31,s?5.8, t0.05(30)?1.6973 22

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??的 90%的置信区间为 :

(X?t?(n?1)2s)?(56.84,60.38) n2?0.05(30)?43.772?0.95(30)?18.49 ，S2 = 33.64

?2的 （1-a）%的置信区间为 :

?(n?1)s2(n?1)s2??2? ,2???(n?1)?1??(n?1)??22?30?33.6430?33.8??2?23.1??2?54.6

43.7718.49即

??的 90%的 置 信 区 间 为 : (23.1 , 54.6)

2

5、 设 某 种 灯 泡 的 寿 命 X服 从 正 态 分 布 N(? , ?2 ) , ? , ?2未 知 , 现 从

中 任 取 5个灯 泡 进 行 寿 命 测 试 (单 位 : 1000小 时 ), 得 :

10.5 , 11.0 , 11.2 , 12.5 , 12.8 ,

求 方 差 及 均 方 差 的 90%的 置 信 区 间 .

151522解：x??xi?11.6,S??(xi?x)?0.995

5i?14i?1

1???0.9,?2?0.05,1??2?0.95,n?1?4

22x0.05(4)?9.488,x0.95(4)?0.711

4?0.9954?0.995?0.419,?5.598

9.4880.711? ?及 ? 的 90%的 置 信 区 间 为 (0.419 , 5.598)

2

及 (0.419,5.598)?(0.647,2.366)

6、 二正态总体N(?1 , ?12) , N(?2 , ?22)的参数均未知 ,依次取容量为 n1=10 , n2=11的二独

22立样本 ,测得样本均值分别为x1?1.2,x2?2.8，样本方差分别为 S1?0.34,S2?0.29,

(1) 求二总体均值差?1??2的90%的置信区间。（2）求二总体方差比90%的置信区间。

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??的 90%的置信区间为 :

(X?t?(n?1)2s)?(56.84,60.38) n2?0.05(30)?43.772?0.95(30)?18.49 ，S2 = 33.64

?2的 （1-a）%的置信区间为 :

?(n?1)s2(n?1)s2??2? ,2???(n?1)?1??(n?1)??22?30?33.6430?33.8??2?23.1??2?54.6

43.7718.49即

??的 90%的 置 信 区 间 为 : (23.1 , 54.6)

2

5、 设 某 种 灯 泡 的 寿 命 X服 从 正 态 分 布 N(? , ?2 ) , ? , ?2未 知 , 现 从

中 任 取 5个灯 泡 进 行 寿 命 测 试 (单 位 : 1000小 时 ), 得 :

10.5 , 11.0 , 11.2 , 12.5 , 12.8 ,

求 方 差 及 均 方 差 的 90%的 置 信 区 间 .

151522解：x??xi?11.6,S??(xi?x)?0.995

5i?14i?1

1???0.9,?2?0.05,1??2?0.95,n?1?4

22x0.05(4)?9.488,x0.95(4)?0.711

4?0.9954?0.995?0.419,?5.598

9.4880.711? ?及 ? 的 90%的 置 信 区 间 为 (0.419 , 5.598)

2

及 (0.419,5.598)?(0.647,2.366)

6、 二正态总体N(?1 , ?12) , N(?2 , ?22)的参数均未知 ,依次取容量为 n1=10 , n2=11的二独

22立样本 ,测得样本均值分别为x1?1.2,x2?2.8，样本方差分别为 S1?0.34,S2?0.29,

(1) 求二总体均值差?1??2的90%的置信区间。（2）求二总体方差比90%的置信区间。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5lft.html