第六章 土的压缩性和地基沉降计算

第六章 土的压缩性和地基沉降计算

本章学习要点： 本章讨论荷载作用下土体的变形，这是土力学重要问题之一，学习本章时，重点要理解地基计算的基本原理，掌握估算基础沉降的分层总和法、《规范》推荐法和弹性力学公式，学会地基最终沉降量的计算方法。

学习饱和土渗透固结理论，掌握物理模型、数学模型以及求解方法；掌握固结度的计算，并能解决有关沉降——时间的工程问题。 第一节 概述 客观地分析：地基土层承受上部建筑物的荷载，必然会产生变形，从而引起建筑物基础沉降，当场地土质坚实时，地基的沉降较小，对工程正常使用没有影响；但若地基为软弱土层且厚薄不均，或上部结构荷载轻重变化悬殊时，地基将发生严重的沉降和不均匀沉降，其结果将使建筑物发生各类事故，影响建筑物的正常使用与安全。 地基土产生压缩的原因： 1．外因： （1） 建筑物荷载作用，这是普遍存在的因素；

（2）地下水位大幅度下降，相当于施加大面积荷载； （3）施工影响，基槽持力层土的结构扰动； （4）振动影响，产生震沉；

（5）温度变化影响，如冬季冰冻，春季融化； （6）浸水下沉，如黄土湿陷，填土下沉。 2．内因：

（1）固相矿物本身压缩，极小，物理学上有意义，对建筑工程来说没有意义的；

（2）土中液相水的压缩，在一般建筑工程荷载（100~600）Kpa作用下，很小，可不计； （3）土中孔隙的压缩，土中水与气体受压后从孔隙中挤出，使土的孔隙减小。

上述诸多因素中，建筑物荷载作用是外因的主要因素，通过土中孔隙的压缩这一内因发生实际效果。 第二节 土的压缩性

见土质学第二章第三节。 第三节 地基沉降量计算

一、无侧向变形条件下的压缩量公式

关于土体压缩量的计算方法，目前在工程中广泛采用的是计算基础沉降的分层总和法。 分层总和法都是以无侧向变形条件下的压缩量公式为基础，它们的基本假设是： 1．土的压缩完全是由于孔隙体积减少导致骨架变形的结果，而土粒本身的压缩可不计； 2．土体仅产生竖向压缩，而无侧向变形； 3．在土层高度范围内，压力是均匀分布的。

如图所示（见教材P127图4-15），在压力P1作用下压缩已经稳定时，相应的孔隙比为e1，试样高度为H，设固体土粒的体积为Vs，则孔隙体积为e1Vs，总体积V1＝（1＋e1）Vs；

在压力P2＝P1＋△P作用下压缩已经稳定时，试样高度为H’，相应的孔隙比为e2，仍设固体土粒体积为Vs，则孔隙体积为e2Vs，总体积V2＝（1＋e2）Vs ，压缩量S＝H－H’。

压力增量P的作用所引起的单位体积土体的体积变化为：

v1?v2(1?e1)vs?(1?e2)vse1?e2 （1） ??v11?e1)vs1?e1因无侧向变形，面积A保持不变，所以单位体积土体的体积变化为：

v1?v2HA?H'AH?H'S??? （2） v1HAHH令两式相等，即可得无侧向变形条件下的压缩量计算公式为：

S?e1?e2??eH?H1?e11?e1 （3）

将a?e1?e2?e代入（3）得： ??p2?p1?ps?a?pH （4） 1?e1或S＝Mv?pH （5）

其中，Mv=a/(1+e1)为体积压缩系数，表示土体在单位压力增量作用下单位体积变化。 所以Es＝1/Mv ，则上式（5）还可写成

s?

?pH （6） Es

Es：压缩模量（Kpa）

根据广义胡克定律，当土体的应力与应变假设为线性关系时，x,y,z三个坐标方向应变可表示为：

?x??xE??E(?y??z)

?y??z??yE??E(?x??z)

?zE??E(?x??y)

在无侧向变形条件下，其侧向应变?x??y?0,?x??y,于是从上式的前两式可得：

?x??(?x??y)?0或

σx/σz=γ/(1-γ)= K0

或σx=σy= K0σz 其中：K0为侧压系数 无侧向变形的竖向应变由s??pH可以表示为： Es?z?s??z/Es H将?x??y代入?z??zE??E(?x??y)

2?21?1?2?K01???z??z 得?z?EE又?z?

?zEs

得土的压缩模量Es与变形模量E的关系：

2?2E?Es(1?)

1??2?2令 ??1?

1??则E??Es

因为??0.5，所以变形模量E总大于压缩模量Es。

压缩系数a?e1?e2e1?e2?e，压缩指数Cc?， ??p2?p1lgp2?lgp1?(lg?')压缩模量Es＝1/mr以及变形模量E都是用来表征土的压缩特性的指标。

二，基础的沉降计算

建筑物的沉降量，是指地基土压缩变形达固结稳定的最大沉降量，或称地基沉降量。

地基最终沉降量：是指地基土在建筑物荷载作用下，变形完全稳定时基底处的最大竖向位移。 地基沉降的原因：（1）建筑物的荷重产生的附加应力引起；（2）欠固结土的自重引起；（3）地下水位下降引起和施工中水的渗流引起。

基础沉降按其原因和次序分为：瞬时沉降Sd；主固结沉降Sc和次固结沉降Ss三部分组成。

瞬时沉降：是指加荷后立即发生的沉降，对饱和土地基，土中水尚未排出的条件下，沉降主要由土体侧向变形引起；这时土体不发生体积变化。

固结沉降：是指超静孔隙水压力逐渐消散，使土体积压缩而引起的渗透固结沉降，也称主固结沉降，它随时间而逐渐增长。

次固结沉降：是指超静孔隙水压力基本消散后，主要由土粒表面结合水膜发生蠕变等引起的，它将随时间极其缓慢地沉降。

因此：建筑物基础的总沉降量应为上述三部分之和，即

S＝Sd＋Sc＋Ss

计算地基最终沉降量的目的：（1）在于确定建筑物最大沉降量；（2）沉降差；（3）倾斜以及局部倾斜；（4）判断是否超过容许值，以便为建筑物设计值采取相应的措施提供依据，保证建筑物的安全。 （一）分层总和法计算基础的最终沉降量

目前在工程中广泛采用的方法是以无侧向变形条件下的压缩量计算基础的分层总和法。具体分为e-p曲线和e－lgp曲线为已知条件的总和法。

1．以e~p曲线为已知条件的分层总和法 计算步骤：

（1）选择沉降计算剖面，在每一个剖面上选择若干计算点。

1）根据建筑物基础的尺寸，判断在计算其底压力和地基中附加应力时是属于空间问题还是采用平面问题； 2）再按作用在基础上的荷载的性质（中心、偏心或倾斜等情况）求出基底压力的大小和分布； 3）然后结合地基中土层性状，选择沉降计算点的位置。

（2）将地基分层：在分层时天然土层的交界面和地下水位应为分层面，同时在同一类土层中分层的厚度不宜过大。分层厚度h小于0.4B；或h=2~4m。

对每一分层，可认为压力是均匀分布的。

（3）计算基础中心轴线上各分层界面上的自重应力和附加应力并按同一比例绘出自重应力和附加应力分布图。 应当注意：当基础有埋置深度D时，应采用基底尽压力；Pn＝P－rd去计算地基中的附加应力（从基底算起）。

（4）确定压缩层厚度：实践经验表明；当基础中心轴线上某点的附加应力与自重应力满足下式时，这时的深度称为压缩层的下限或沉降计算深度Zn；?z?0.2?cz 。

当Zn以下存在软弱土层时，则计算深度应满足?z?0.1?cz。

对一般房屋基础，可按下列经验公式确定Zn：Zn?B(2.5?0.4lnB） （5）按算术平均各分算出层的平均自重应力?czi和平均附加应力?zi

?czi?(?czi)shang?(?czi)xiaZ

?zi?(?zi)sh?(?zi)xia

Z（6）根据第i分层的初始应力P1i??czi和初始应力与附加应力之和，即P2i??czi??zi 由压缩曲线查出相应的初始孔隙比e1i和压缩稳定后孔隙比e2i 。 （7）按式S?e1?e2e1i?e2iHi H求出第i分层的压缩量Si?1?e1i1?e1

（8）最后加以总和，即得基础的沉降量：S??si??i?1i?1nne1i?e2iHi

1?e1i有时勘探单位提供的不是压缩曲线，而是其它压缩性指标。则可利用式4－19，4－20，4－21（见教材P127）等估算。

此法优缺点：

（1）优点：适用于各种成层土和各种荷载的沉降量计算；压缩指标a,Es等易确定。

（2）缺点：作了许多假设，与实际情况不符，侧限条件，基底压力计算有一定误差；室内试验指标也有一定误差；计算工作量大；利用该法计算结果，对坚实地基，其结果偏大，对软弱地基，其结果偏小。

例题1 有一矩形基础，放置在均质粘性土上，如图所示（见教材），基础长度L＝10m，宽度B＝5m，埋置深度D＝1.5m，其上作用中心荷载P＝10000KN，地基土的天然湿容重r＝20KN/m3,饱和容重rm=21Kn/m3，土的压缩曲线如图，若地下水位距基底2.5m，试求基础中心点的沉降量。 解：（1）因为中心荷载，所以基底压力为：

p?P10000??200Kn/m2 LB10?5基底尽压力pn?p?rd?200?20?1.5?170Kn/m2

（2）分层：因为是均质土，且地下水位在基底以下2.5m处，将分层厚度Hi＝2.5m （3）求各分层面的自重应力并绘制分布曲线

?cz0?rd?20?1.5?30Kn/m2

?cz1?30?rH1?30?20?2.5?80Kn/m2

?cz2?80?r'H2?80?(21?9.8)?2.5?108Kn/m2

?cz3?108?r'H3?136Kn/m2

?cz4?136?r'H4?164Kn/m2

?cz5?164?r'H5?192Kn/m2

（4）求各分层面的竖向附加应力并绘制分布曲线

应用角点法，通过中心点将基础划分为四块面积相等的计算面积。L1＝5m,B1＝2.5m;中心点正好在四块计算面积的角点上。

计算结果如下： 位置 0 1 2 3 4 5

(5)确定压缩层厚度

从计算结果可知：在第四点处的?z4/?cz4?0.197?0.2，所示压缩层厚度H＝10m. （6）计算各分层的平均自重应力和平均附加应力

Zi（m） 0 2.5 5 7.5 10.0 12.5 Zi/B 0 1 2 3 4 5 L/B 2 2 2 2 2 2 Ksi 0.25 0.1999 0.1202 0.0732 0.0474 0.0328 ?z?4KsiPn(Kn/m2) 170 136 82 50 32 22 ?czI?(?cz1）30?80sh?(?cz1)xia?55(Kn/m2）

22?czII?94

?czIII?122 ?czIV?150

?zIV?41 Kn/m2 同理可得：?zI?153

?zII?109 ?zIII?66

(7)由压缩曲线查各分层的初始孔隙比和压缩稳定后的孔隙比，结果如下：

层次 初始应力P1i P2i 初始孔隙比e1i 压缩稳定后的孔隙比e2i Ⅰ 55 208 0.935 0.870 Ⅱ 94 203 0.915 0.870

Ⅲ 122 188 0.895 0.875 Ⅳ 150 191 0.885 0.873

（8）计算基础的沉降量

s?e1i?e2i0.935?0.8700.915?0.8700.895?0.8750.885?0.873H?(???)?250 ＝18.5cm. ?i1?e1?0.9350.9151?0.8951?0.885i?11in

2．用e~lgp曲线的分层总和法

1）土的应力历史

在实际工作中，从现场取样，室内压缩试验，涉及到土体扰动，应力释放，含水量变化等多方面影响，即使在上述过程中努力避免扰动，保持W不变，但应力御荷总是不可避免的。因此需要根据土样的室内压缩曲线推导求现场土层的压缩曲线，考虑土层应力历史的影响，确定现场压缩的特征曲线。

2）先期固结应力和土层的固结

固结应力就是使土体产生固结或压缩的应力。就地基土层来说，该应力主要有两种：一种是土的自重应力，另一种是由外荷引起的附加应力。

对于饱和的新沉积的土或人工填土，起初土颗粒尚处于悬浮状态，土的自重应力由孔隙水承担，有效应力为0，随着时间的推移，土在自重作用下逐渐固结，最后自重应力全部转化为有效应力，故这类土的自重应力就是固结应力。但对大多数天然土层来说，由于经受了漫长的地质年代，在自重作用下已完全固结，此时自重应力已不再引起土层压缩，能进一步使土层产生固结，只有外加荷载引起的附加应力，故此时的固结应力指附加应力。

先期固结应力：天然土层在形成历史上沉积，固结过程中受到过的最大固结应力称为先期固结应力，用Pc表示。 超固结比（Ocr）：先期固结应力和现在所受的固结应力之比，根据Ocr值可将土层分为正常固结土，超固结土和欠固结土。

Ocr＝1，即先期固结应力等于现有的固结应力，正常固结土 Ocr大于1，即先期固结力大于现有的固结应力，超固结土 Ocr小于1，即先期固结力小于现有的固结应力，欠固结土。

考虑应力历史对土层压缩性的影响，必须解决（1）判定土层的固结属正常固结、超固结、欠固结（2）反映现场土层实际的压缩曲线，其可行办法为：通过现场取样，由室内压缩曲线的特征建立室内压缩曲线与现场压缩曲线的关系，从而以室内压缩曲线推求现场压缩曲线。

（3）先期固结应力Pc的推求

根据室内大量试验资料证明：室内压缩曲线开始弯曲平缓，随着压力增大明显下弯，当压力接近Pc时，曲线急剧变陡，并随压力的增长近似直线向下延伸。

确定Pc的常用方法是卡萨格兰德提出的经验作图法，其步骤如下： （1）从室内e~lgp压缩曲线上找出曲率最大点A点； （2）过A点作水平线AH，和切线AT；

（3）作水平线AH与切线AT所夹角的平分线AM；

（4）作e~lgp曲线直线段的向上延长交AM于B点，则B点的横坐标即为所求的先期固结应力PC。

4）现场压缩曲线的推求：

室内压缩试验的结果发现，无论试样扰动如何，当压力增大时，曲线都近于直线段，且大都经过0.42e0点（e0——试样的原位孔隙比）。

由室内压缩曲线加以修正求得现场土层的压缩曲线的方法：

由现场取样时确定试样的原位孔隙比e0及固结应力（即有效覆盖应力）了； 由室内压缩曲线求出土层的Pc，

判断：当P0（现有固结力）＝Pc时（正常固结土）

⑴作e=e0水平线交lgp=PC线于b点，b点坐标为（Pc，e0） ⑵作e=0.42e0水平线交室内压缩曲线直线段于C点

⑶连接bc直线段，即为现场压缩曲线；bc直线段的斜率——压缩指数Cc。

当P0＜PC时（超固结土）

在取样前已产生了回弹例如沉积剥蚀等，在建筑物荷载作用下，应属于再压缩过程。

⑴作e=e0平行线交lgp?lgp0线于b1点，b1点坐标为（P0，e0）

⑵自b1点作平行线于DF线的平行线交lgp?pc线于b点，注DF为室内试验滞回圈连线。

⑶作e?0.42e0平行线交室内压缩曲线直线段于C点。 ⑷连接b1 b，bC直线段

现场压缩曲线就是由b1 b段和bC段直线所组成。相应于b1 b段、bC段直线的斜率分别用CS、CC表示。 当P0＞PC的欠固结图

它的现场压缩曲线的推求方法类似于正常固结土。

5）地基的沉降计算

按e?lgp曲线来计算地基的最终沉降量与按E-P曲线的计算一样，都是以无测向变形条件下的压缩量基本公式

s?e1?e2H并采用分层总和法进行的。所不同的是初始孔隙比应取E0，由现场压缩曲线的压缩指数去得到?e。

1?e1（1）正常固结土的沉降计算

当土层属于正常固结土时，建筑物外荷引起的附加应力是对土层产生压缩的压缩应力，设现场土层的分层厚度为hi，压缩指数为Cci，则该分层的沉降Si为：

Si??eihi 1?e2p0i??pi] p0i又因为?ei?Cci[lg(p0i??pi)?lgp0i]?Ccilg[

Si?p??pihiCci[lg0i] 1?e0ip0i当地基又n分层时，则地基的总沉降量为：

S??si??i?1nhiccip??pi[lg0i]

p0ii?11?e0in式中：e0i——第i分层的初始孔隙比

p0i——第i分层的平均自重应力 cci——第i 分层的现场压缩指数

hi——第i分层的厚度

?pi——第i分层的平均压缩应力

（2）超固结土的沉降计算

计算超固结土层的沉降时，涉及到使用压缩曲线的压缩指数Cc和Cs，因此计算时应该区别两种情况：

A：当建筑物荷载引起的压缩应力△Pi <( Pci - Poi)时，土层属于超固结阶段的再压缩过程，第i层在?pi作用下，孔隙比的改变将只沿再压缩曲线bb段发生，应使用Csi指数，则该分层的压缩量： Si?，

hip??picsilg(0i)

1?e0ip0i

s??si??i?1nhicsip??pi)(lg0i)

p0ii?11?e0inB：当压缩应力（平均固结力）△Pi >( Pci - Poi)时，则该分层的压缩量分为P0I至PCI段超固结压缩S1I和PCI至（p0i??pi）段正常固结压缩S2I两部分，即： si?s1i?s2i

s1i?hipcsilgci

1?e0ip0ihip??pi ccilg0i1?e0ipcin s2i?n s??si??(s1i?s2i)??i?1i?1hipp??pi[csilgci?ccilg0i]

p0ipcii?11?e0in式中：Pci——第i分层的前期固结应力，其余符号同前。

(3)欠固结土的沉降计算

对于欠固结土，由于在自重等作用下还未达到完全压缩稳定，Pc

1?e0ipcip0ihip??pi ccilg0i1?e0ipci ? s??si??i?1nhip??pi ccilg0ipcii?11?ein例题1：有一仓库，面积为12.5×12.5㎡,堆荷为100kn/㎡，地基剖面如图a（见教材），从粘土层中心部位取样做室内压

缩试验得到压缩曲线如图b（见教材），土样的初始孔隙比e0=0.67.试求仓库中心处的沉降量（砂土层沉降量不计）。 解：（1）计算自重应力并绘制分布曲线

粘土层顶面的自重应力为?cz1?2?19?3?9?65Kn/m2

粘土层中心处的自重应力为：?cz2??cz1?5?10?65?50?115Kn/m2 粘土层底面的自重应力为：?cz3??cz2?10?5?165Kn/m2 自重应力分布如图。

（2）求地基中的附加应力并绘制分布曲线 由角点可求得：?z1?80Kn/m2

?z2?45Kn/m2

?z3?26kn/m2，附加应力分布如图，

（3）确定前期固结应力Pc值。

根据作图法求得Pc＝115Kn/m2,如图b，可见：Pc＝P0（中心处自重应力）＝115Kn/m2 所以该粘土层属于正常固结土 （4）现场压缩曲线的推求

由e0＝0.67与lgp＝Pc＝115Kn/m2的交点b，b点即为现场压缩曲线的起点。

由0.42E0＝0.28作水平线交室内压缩曲线直线段于c点，连接bc即为欲求的现场压缩曲线。如图b。 从图中可得c点的横坐标lgp为630Kn/m2 所以压缩指数Cc?0.67?0.28?0.53

630lg115（5）分层将粘土层分为两层，每层的厚度为Hi＝5m，平均附加应力分别为62.5,35.5,平均自重应力分别为90，140Kn/m2 分别求出其相应的初始孔隙比e0i,

由e0i?e0?cclgp0i可得 pc90?0.726 115 e01?0.67?0.53lg

e02?0.67?0.53lg（6）计算沉降量

s?140?0.623 115p0i??piHi clg?c1?epi?10i0in50090?62.5500140?35.5?0.53lg??0.53lg1?0.726901?0.623140 ?35.16?16.03?51.15cms?例题2：某超固结粘土层厚2.0m，先期固结应力Pc＝300Kpa，现存自重应力P0＝100Kpa，建筑物对该土层引起的平均附加应力为400Kpa，已知土层的压缩指数为Cc＝0.4，在压缩指数Cs＝0.1，初始孔隙比为e0＝0.81，求该土层产生的最终沉降量。

解：已知h, Pc ,Po , ?p?400Kpa,Cc， Cs，e0，

因为?p?400Kpa，而pc?p0?300?100?200Kpa 所以?p?(pc?p0) Si＝S1i＋S2i 由Si?hipp??pi[csilgci?ccilg0i] 1?e0ip0ipcis?200300100?400[0.1lg?0.4lg?15.08cm

1?0.81100300

例题3：已知某单独基础埋置深度d=1m, r0=20kN/m3,基础底面尺寸L×B＝3×2m2,作用于设计地面的荷载为720kN，地下水位与基底面平齐，地基资料见表和图(见教材)，用分层总和法求基础的沉降量。 地基土层压缩资料：

（1）各级压缩应力下的孔隙比

压缩应力Kpa 0 50 100 200 300 400 土层Ⅰ孔隙比 0.790 0.747 0.695 0.657 0.630 0.615 土层Ⅱ孔隙比 0.692 0.891 0.826 0.746 0.694 0.658 (2)e~p曲线

根据上述资料画曲线（略）。

解（1）求基底附加应力P0，基础及回填土重G＝L×B×R0＝2×3×1×20＝120Kn

r0：为基础和回填土的加权平均有效重度

pn?P?G720?120?rd??18?1?122Kpa L?B3?2（2）分层：0.4B=0.8m,取h1=1m,

第一层粉质粘性土分为三层。

（3）竖向自重应力和附加应力计算

自重应力计算各分层界面处，从地表起算。

附加应力计算各分层界面处，从基础底面起算，采用角点法，将基底载荷面分为4块， 基础中心均在4块角点之下，L＝1.5m,B=1m,采用?z?Ksp0式计算值见表。

（4）计算各分层的沉降量

根据各分层上下界面的自重应力，附加应力求其平均值，即

?czi?(?czi)sh?(?czi)xia?p1i

2(?zi)sh?(?zi)xia,p2i?p1i??zi

2?zi?由P1i，P2i据e－p曲线查取e1i,e2i,应用式s?求得地基的最终沉降量

具体计算列表如下： 土层 深度 Ⅰ 层 Ⅱ

e1i?e2iHi

1?e1i?cz(Kpa) ?zi 18.0 27.4 36.8 46.2 55.2 64.2 94.5 52.3 29.9 18.7 12.6 ?zi 73.4 41.1 24.3 15.7 10.8 pzi e1i e2i simm ?cz(Kpa) 22.7 32.1 41.5 50.7 59.7 68.7 层次 1 2 3 4 5 6 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 122.0 108.2 130.9 0.772 0.687 50.8 105.5 0.763 0.693 39.7 82.6 75.0 75.4 79.5 0.755 0.711 25.1 0.891 0.856 18.5 0.877 0.856 11.2 0.865 0.851 7.5

层 6.0 73.2 9.0 计算深度处：σ z/σcz=9.0/73.2=0.12<0.2 所以计算深度为6m(压缩层厚度H＝6m) 总沉降量S＝152.8mm.。

3．《地基设计规范》方法

地基设计规范提出的计算最终沉降量的方法，是基于分层总和法的思想，运用平均附加应力面积的概念，按天然土层界面以简化由于过分分层引起的繁琐计算，并结合大量工程实际中沉降量观测的统计分析，以经验系数ψS进行修正，求得地基的最终变形量。 1）基本公式

s??ss'??s?(ziai?zi?1ai?1)i?1np0 Esi式中，S ：地基的最终沉降量，mm

S’：为按分层总和法求得的地基沉降量；mm

?s：沉降计算经验系数

n ： 为地基变形计算深度范围内天然土层数 P0： 为基底附加应力

Esi： 为基底以下第i层土的压缩模量，按第I层实际应力变化范围取值，

zizi?1 分别为基础底面至第i层，I－1层底面的距离，

aiai?1 分别为基础底面到第i层，I－1层底面范围内中心点下的平均附加系数，对于矩形基础，基底为均分布附

加应力时，中心点以下的附加应力为L/B，Z/B 的函数，可查表得。 2）沉降计算修正系数ψS

ψS综合反映了计算公式中一些未能考虑的因素，它是根据大量工程实例中沉降的观测值与计算值的统计分析比较而得的。ΨS的确定与地基土的压缩模量ES，承受的荷载有关，具体见下表中：

沉降计算经验系数

基底 Es Mpa 附加应力 粘性土 P0＝fk P0＜0.75fk 砂土 2.5 1.4 1.1 1.1 4.0 1.3 1.0 1.0 7.0 1.0 0.7 0.7 15.0 0.4 0.4 0.4 20.0 0.2 0.2 0.2

Es为沉降计算深度范围内的压缩模量当量值，按下式计算：

Es??Ai Ai?Esi

Ai：为第i层平均附加应力系数，沿土层深度的积分值， Esi：为相应于该土层的压缩模量 fk：地基承载力标准值。

3）地基沉降计算深度Zn，

地基沉降计算深度Zn，应满足：

?Sn'?0.025??Si'

i?1n

式中： ?Sn' 为计算深度处向上取厚度 ?z的分层的沉降计算值，?z 的厚度选取与基础宽度B有关，见下表：

?z 值表 B（m） ≤2 0.3 2～4 0.6 4～8 0.8 8～15 1.0 15～30 1.2 ＞30 1.5 ?z（m） ?Si'为计算深度范围内第I层土的沉降计算值。

注：（1）当基础无相邻荷载影响时，基础中心点以下地基沉降计算深度也按下式参数取值。 Zn＝B（2.5－0.4lnB）

（2）利用s??s'??sp0(ziai?zi?1ai?1) ?i?1Esin计算地基的最终沉降量，在考虑相邻荷载影响时，平均附加应力仍可应用叠加原理。

第四节 饱和土体渗流固结理论

前面介绍的方法确定地基的沉降量，是指地基土在建筑荷载作用下达到压缩稳定后的沉降量，因而称为地基的最终沉降量。然而，在工程实践中，常常需要预估建筑物完工及一般时间后的沉降量和达到某一沉降所需要的时间，这就要求解决沉降与时间的关系问题，下面简单介绍饱和土体依据渗流固结理论为基础解决地基沉降与时间的关系（最简单的单向固结）——1925年太沙基提出 一．基本假设：

将固结理论模型用于反映饱和粘性土的实际固结问题，其基本假设如下： 1．土层是均质的，饱和水的；

2．在固结过程中，土粒和孔隙水是不可压缩的； 3．土层仅在竖向产生排水固结（相当于有侧限条件）； 4．土层的渗透系数K和压缩系数a为常数；

5．土层的压缩速率取决于自由水的排出速率，水的渗出符合达西定律； 6．外荷是一次瞬时施加的，且沿深度Z为均匀分布。 二．固结微分方程式的建立

在饱和土体渗透固结过程中，土层内任一点的孔隙水应力Uzt所满足的微分方程式称为固结微分方程式。

在粘性土层中距顶面Z处取一微分单元，长度为dz，土体初始孔隙比为e1，设在固结过程中的某一时刻t，从单元顶面流出的流量为q＋

?qdz则从底面流入的流量将为q。 ?z于是，在dt时间内，微分单元被挤出的孔隙水量为：

d??[(q??q?qdz)?q]dt?()dzdt ?z?z设渗透固结过程中时间t的孔隙比为et， 孔隙体积为：Vv?etdz 1?e1在dt时间内，微分单元的孔隙体积的变化量为：

dVv???Vv?edt?(tdz)dt?t?t1?e11?etdzdt1?e1?t

由于土体中土粒，水是不可压缩的，故此时间内流经微分单元的水量变化应该等于微分单元孔隙体积的变化量， 即：d??dVv 或 (?q1?et)dzdt?dzdt ?z1?e1?t?q1?et ??z1?e1?t?hK?u ??zrw?z?h其中h为侧压管水头高度 ?z即：

根据渗流满足达西定律的假设

q?VA?Ki?K式中：A为微分单元在渗流方向上的载面积，A＝1； i：为水头梯度，i?μ：为孔隙水压力， u?rwh0 根据压缩曲线和有效应力原理，a??de dp而?'??z?u?p?u 所以：

?etK(1?e1)?u?a 并令Cv? ?t?tarw?2u?u则得Cv2?

?t?z

此式即为饱和土体单向渗透固结微分方程式 。 Cv：称为竖向渗透固结系数（m2/年或 cm2/年）。 三．固结微分方程式的求解

?2u?u对于Cv2?方程，可以根据不同的起始条件和边界条件求得它的特解。考虑到饱和土体的渗流固结过程中，

?t?zμ，б’的变化与时间t的关系应有 t=0, Uz,t＝P；

0

0

0?t??,z?H,土层不透水，q?0,?u?0 ?zt??,0?z?H,u?o,?'??z?p

?2u?u将固结微分方程 Cv2?与上述初始条件，边界条件一起构成定解问题，用分离变量法可求微分方程的特解

?t?z任一点的孔隙水应力。

m2?2?4uzt?4??z?e1m?1m??sinm?z 2H

式中的m为正整奇数（1.3.5.7.……）；e 为自然对数的底；Tv为时间因素，无因次，Tv＝tCv/H2，t的单位为年，H为压缩土层的透水面至不透水面的排水距离cm；当土层双面排水，H取土层厚度的一半。

四．固结度及其应用

所谓固结度，就是指在某一固结应力作用下，经某一时间t后，土体发生固结或孔隙水应力消散的程度。对于土层任一深度Z处经时间t后的固结度，按下式表示：

vzt??'ztp?u0?uztu?1?zt u0u0式中：U0： 初始孔隙水应力，其大小即等于该点的固结应力；

Uzt：t时刻的孔隙水应力； Vzt：固结度。

平均固结度（Vt）：当土层为均质时，地基在固结过程中任一时刻t时的沉降量St与地基的最终变形量S之比称为地基在t时刻的平均固结度。用Vt表示即：

Vt＝St/S或St＝Vt·S

当地基的固结应力、土层性质和排水条件已定的前提下，Vt仅是时间t的函数， 由uzt?4p1m?zsine??m?1m2H??m2?24Tv给出了t时刻在深度Z的孔隙水应力的大小，根据有效应力和孔隙水应力的关系，土

层的平均固结度：

aH?'dzst1?e1?0vt???Has?zdz1?e1?0?H0(?z?u)dz?H0?zdzudz??1? ??dz0H0zH?H0udz,??zdz 分别表示土层在外荷作用下t时刻孔隙水应力面积与固结应力的面积，将式

0H1m?zuzt?sine??m?1m2H4p??m2?24Tv代入上式得：

vt?1?8?2(e??24Tv1?e9?9?24Tv???)

此式给出的Vt与Tv之间的关系可以用图4－29中（见教材P147）的曲线(1)表示。

从上式可以看出，土层的平均固结程度是时间因数Tv的单值函数，它与所加的固结应力的大小无关，但与土层中固结应力的分布有关。

固结度应用：

有了上述几个公式，就可根据土层中的固结应力、排水条件解决下列两类问题：

1．已知土层的最终沉降量S，求某时刻历时t的沉降St

由地基资料K，压缩系数a，e1,,H ,t，按式Cv＝K（1+e1）/arw,Tv＝Cvt/H2求得Tv后，然后利用图4－29（1）线查

a(??2)?216?4Tv出相应的固结度Vt或按式vt?1? e31?a?求得Vt和式Vt＝St/S求得St。

式中：a??2?z' （表示透水在上的固结应力与不透水面上的固结应力之比） ?z''2．已知土层的最终沉降量S，求土层到达某一沉降St时，所需的时间t

例题1：某饱和粘性土层，厚10m，在外荷作用下产生的附加应力沿土层深度分布简化为梯度如图（见教材），下为不透水层。已知初始孔隙比e1＝0.85，压缩系数a=2.5×10-4m2/KN,渗透系数K＝2.5cm/年。求（1）加荷1年后的沉降量，（2）求土层沉降15.0cm所需时间。 解：（1）St＝VtS，

固结应力 ?z?1(100?200)?150Kpa 2s?最终沉降量

a?zH1?e1?4?2.5?10?150?1000?20.27cm1?0.85

固结系数 Cv＝K（1+e1）/arw=19m2/年=1.9×105cm2/年

Cv1.9?105?1?0.19 时间因数Tv?2t?2H1000α＝透水面上固结应力/不透水面上固结应力＝200/100=2

?(??2)?216?4Tv vt?1?e31???2(??2)?216vt?1?e1?2?3

??2?24?0.19?0.538

st?vts?0.538?20.27?10.91cm

(2) St=15.0cm

Vt=St/s=15.0/20.27=0.740

?3(1??)Tv??2ln[(1?vt)] 16(???2??2)?4?0.422TvH20.422?10002??2.22年 所以t?Cv1.9?105例题2：若有一粘性层，厚为10m，上、下两面均可排水。现从粘土层中心取样后切取一厚2cm的试样，放入固结仪做

试验（上、下均有透水面），在某一级固结压力作用下，测得其固结度达到80％时所需的时间为10分钟，问该粘土层在同样固结压力作用下达到同一固结度所需的时间为多少？若粘性土改为单面排水，所需时间又为多少？

解：已知H1＝10m,H2=20m,t2=10分钟Vt＝80％

由于土的性质和固结度均相同，因而由Cv1＝Cv2及Tv1＝Tv2的条件可得：

t1Cv1t2Cv2H110002?，t1?t??10?4.76年 222H12H222H2()()22当粘土层改为单面排水时，其所需时间为t3，则由相同的条件可得：

2t3H12?t1，t3?4t14?4.76?19年 H12()2从上可知，在其它条件相同的条件下，单面排水所需的时间为双面排水的四倍。

例题3：在不透水不可压缩土层上，填5m厚的饱和软粘土，已知软粘土层r=18kN/m3。压缩模量Es＝1500kPa，固结系数Cv＝19.1m2/年，

试求（1）软粘土在自重下固结，当固结度Vt＝0.6时，产生的沉降量？

（2）当软粘土层Vt＝0.6时，在其上填筑路堤，路堤引起的附加应力δ＝120kPa，为矩形分布，如图(见教材)，求路堤填筑后0.74年，软粘土又增加了多少沉降量？（计算中假设路堤土是透水的，路提填筑时间很快，不考虑施工固结影响） 解：已知H＝5m, r=18kN/ m3 ,Es=1500kPa, Cv=19.1m2/年

（1）当Vt＝0.6，St＝Vt·S分析：St S

所以先求软粘土的最终沉降量

rH2s?H??18?52/1500?15cm

Es2Es?cz则固结度Vt＝0.6时的沉降量为 St＝Vt·S＝0.6×15＝9cm

(2)粘土层顶部压力为p上=120kPa，底部为120+rH’ 所以P下＝120＋18(5－0.09)=208.38kPa 故固结应力为梯形分布

a=P上/P下=120/208.38=0.5759

又因为Tv＝19.1 ，t=0.74 H=(5－0.09)

所以 Tv=tCv/H2=(19.1×0.74)/(5－0.09)2=0.5863 又由a=0.5759,Tv=0.5863

a(??2)?216?4Tv由公式vt?1? e31?a?计算得vt?0.8 此时最终沉降量S为：s??2p(120?208.38)?2H'??(5?0.09)?53.74cm Es1500所以软如此增加了：st?vts?0.8?53.74?42.99cm。

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