（详细解析）1993年普通高等学校招生全国统一考试（文史类）数学

1993年普通高等学校招生全国统一考试（理工农医类）数学

1993年普通高等学校招生全国统一考试数学

（文史类）

一、选择题：（本题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内）

1．（同理科1）如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率为 A．336 B． C． D．2

222c3?． a2【答案】C 【解析】e?

1?tan22x2．（同理科2）函数y?的最小正周期是 21?tan2xA．

?? B． C．? D．2? 42【答案】B

?1?tan22xcos22x?sin22x??cos4x【解析】y?，所以最小正周期是．

21?tan22xcos22x?sin22x

3．（同理科3）当圆锥的侧面积和底面积的比值是2时，圆锥的轴截面顶角是 A．45? B．60? C．90? D．120? 【答案】C

【解析】设圆锥的底面半径和母线长分别为r,l，则高为r，轴截面顶角是2?45??90?．

4．（同理科4）当z??S侧?rl?2?2，得l?2r，圆锥的S底?r1?i10050时，z?z?1的值等于 2A．1 B．?1 C．i D．?i 【答案】D

1

1993年普通高等学校招生全国统一考试（理工农医类）数学

【解析】z??3?1?i223?3?10050?100) ，所以z?z?1?[cos(???i?cos?isin4224423?3?3?75??100)]?[cos(?50)?isin[(?50)]?1?(cos75??isin75?)?(cos444275?3?3??isin)?1?(cos??isin?)?(cos?isin)?1??1?i?1??i．

222?isin[(

5．（同理科13）若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 ．．A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥

【答案】D

【解析】若正六棱锥底面边长与侧棱长相等，则正六棱锥的侧面构成等边三角形，侧面的六个顶角都为60?，∴六个顶角的和为360?，这样一来，六条侧棱在同一个平面内，这是不可能的，故选D．

6．（同理科6）在直角三角形中两锐角为A和B，则sinAsinB A．有最大值

11和最小值0 B．有最大值，无最小值 22C．既无最大值也无最小值 D．有最大值1，但无最小值 【答案】B

【解析】sinAsinB?sinAsin(1??A)?sin2A，∵0?A?，∴0?2A??，则22211sinAsinB?sin2A有最大值，无最小值．

22?

7．（同理科7）在各项均为正数的等比数列?an?中，若a5a6?9，则

log3a1?log3a2?...?log3a10?

A．12 B．10 C．8 D．2?log35 【答案】B 【解析】

log3a1?log3a2?...?log3a10?log3a1a2...a10?log3a1a2...a10?log3(a5a6)?log395

?log3310?10．

2

1993年普通高等学校招生全国统一考试（理工农医类）数学

8．（同理科8）F(x)?(1?1)f(x)(x?0)是偶函数，且f(x)不恒为零，则f(x) 2x?1A．是奇函数 B．是偶函数

C．可能是奇函数也可能是偶函数 D．不是奇函数也不是偶函数 【答案】A

F(?x)?(1?【解析】

是奇函数．

11)f(?x)?[?(1?)]f(?x)，又F(x)?F(x?)2?x?12x?1，所以f(x)

9．设直线2x?y?3?0与y轴的交点为P，点P把圆(x?1)2?y2?25的直径分为两段，则其长度之比为 A．

73747576或 B．或 C．或 D．或 37475767【答案】A

【解析】圆心C(?1,0)，则PC?或

10．（同理科10）若a,b是任意实数，且a?b，则 A．a?b B．【答案】D

【解析】由于不知道a,b的正、负，只有D正确．

11．（同理科11）已知集合E??|cos??sin?,0???2?,F??|tan??sin?，那 么EA．(22(?1)2?(3)2?2，所以两段，则其长度之比为

5?25?25?273，即或．

375?2b11?1 C．lg(a?b)?0 D．()a?()b

22a????F为区间

??3?3?3?5?,?) B．(,) C．(?,) D．(,) 244244【答案】A 【解析】E??5???|?????|cos??sin?,0???2??????．又在区间(,?)内，

444??1?5??1的解集为(,?)；而在区间(?,)内，cos?24?sin??0，则tan??sin?的解集即

3

1993年普通高等学校招生全国统一考试（理工农医类）数学

sin??0,cos??0，不等式tan??sin?即

1?1无解．所以Ecos?F为区间为(,?)．

2?12．（同理科12）一动圆与两圆：x2?y2?1和x2?y2?8x?12?0都外切，则动圆圆心的轨迹为

A．抛物线 B．圆 C．双曲线的一支 D．椭圆 【答案】C

22【解析】圆x2?y2?1的圆心和半径分别为C1(0,0),r，圆?1x?y?8x?12?0的圆心1和半径分别为C2(4,0),r2?2，设动圆的圆心为C(x,y)，则由题设可得C2C?C1C?(r2

?r)?(r1?r)?r2?r1?1，又C1C2?4，由抛物线的定义可知C正确．

13．直线ax?by?c?0在第一、二、三象限，则

A．ab?0,bc?0 B．ab?0,bc?0 C．ab?0,bc?0 D．ab?0,bc?0 【答案】D

【解析】将直线方程变形为y??截距?acax?，由于直线在第一、二、三象限，所以斜率??0，bbbc?0，则ab?0,bc?0，故选D． b

14．（同理科14）如果圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是 A．()? B．()? C．()? D．【答案】A

l63l33l431l3()? 44l?2r，圆柱的体积为 2?llV??r2h?r2?2?r3，对V求导V???lr?6?r2??r(l?6r)，易知当r?时，体

26l3积取得最大值为()?．

6【解析】设圆柱的底面半径和高分别为r,h，则2(2r?h)?l，h?

15．（同理科15）由(3x?32)100展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有 A．50项 B．17项 C．16项 D．15项

4

1993年普通高等学校招生全国统一考试（理工农医类）数学

【答案】B 【解析】Tr?1?C则3与2

16．（同理科16）设a,b,c都是正数，且3?4?6，那么 A．

abcr100(3x)100?r3(2)?C(3)(2)rr100r3100?r(x)100?r?C3?2r100r2100?r3 (x)100?r，

r2100?r3均为有理数，显然r为6的倍数，而0?r?100，所以r?0,6,12,...,,90,96共17个．

111221122212?? B．?? C．?? D．?? cabcabcabcababc【答案】B

【解析】设3?4?6?k，则a?log3k,b?log4k,c?log6k，也就是

11?logk3, ab1221?logk4,?logk6，显然?2(logk6)?logk36?logk9?logk4??．

ccab

17．（同理科17）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有

A．6种 B．9 C．11种 D．23种 【答案】B

【解析】法一：设四人分别为a,b,c,d，写的卡片分别为A,B,C,D，由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故a有三种拿法，不妨设a拿了B，则b可以拿剩下三张中的任一张，也有三种拿法，c和d只能有一种拿法，所以共有3?3?1?1?9种分配方式． 法二：根据题意，列举出所有的结果，

1、甲乙互换，丙丁互换；2、甲丙互换，乙丁互换；3、甲丁互换，乙丙互换；4、甲要乙的 乙要丙的丙要丁的丁要甲的；5、甲要乙的乙要丁的丙要甲的丁要丙的；6、甲要丙的丙要乙的乙要丁的丁要甲的；7、甲要丙的丙要丁的乙要丁的丁要甲的；8、甲要丁的丁要乙的乙要丙的丙要甲的；9、甲要丁的丁要丙的乙要甲的丙要乙的．通过列举可以得到共有9种结果．故选B．

18．在正方体ABCD?A1BC11D1中，M,N分别为棱AA1B的中点（如图）．若?为1和B直线CM与D1N所成的角，则sin??

A．

122545 B． C． D． 9399【答案】D

5

1993年普通高等学校招生全国统一考试（理工农医类）数学

【解析】方法一：不妨设正方体边长为2．以D为原点，DA,DC,DD1分别为x轴，y轴、

z轴建立空间直角坐标，则D1(0,0,2),M(2,0,1),C(0,2,0),N(2,2,1)．

可得CM?(2,?2,1),D1N?(2,2,?1)． ∴cos?CM,D1N??CM?D1NCMD1N?1??．

922?(?2)2?12?22?22?(?1)22?2?(?2)?2?1?(?1)cos??cos?CM,D1N??∴

145，∴． sin??99方法二：取DD1中点E，显然D1N//EB且与CM相交于O，则

?BOC就是所求角或其补角．不妨设正方体边长为2．则3BE?CM?3,BO?CO?,BC?2．在?BOC中由余弦定理

2可得cos??145，∴sin??． 99

二、填空题：本大题共6小题；每小题3分，共18分．把答案填在题中横线上．

19．（同理科19）抛物线y?4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为43，则焦点到AB 的距离为 ． 【答案】2

【解析】由题设可得A,B的横坐标为x?3，焦点为(1,0)，焦点到AB的距离为2．

20．（同理科20）在半径为30m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120?．若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为 m（精确到0.1m）． 【答案】17.3 【解析】h?2r30??103?17.3．

tan60?3

21．（同理科21）在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共 种（用数字作答）．

6

1993年普通高等学校招生全国统一考试（理工农医类）数学

【答案】4186

3241【解析】C4C46?C4C46?4186．

22．（同理科22）建造一个容积为8m，深为2m的长方体无盖水池．如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为 元． 【答案】1760

【解析】设长方形的长为x，则宽y?

344，由题设可得总造价R?2?2(x?)?80?4?120 xx44?320(x?)?480，求导得R??320(1?2)，令R??0德尔x?2时，根据函数的单调

xx性可知水池的总造价最低为1760元．

23．（同理科23）设f(x)?4?2【答案】1

【解析】由于f(1)?4?2

xx?1xx?1，则f?1(0)? ．

?0，所以f?1(0)?1．

1?an?1? ． 24．设a?1，则limn??1?an?1【答案】?1 【解析】lim1?an??1?an?1n?11()n?1?1?lima??1． n??1n?1()?1a

三、解答题：（本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、演算步骤）

25．（本小题满分8分）

解方程lg(x?4x?26)?lg(x?3)?1． 【解】本小题考查对数方程的解法和运算能力．

2x2?4x?26x2?4x?26?lg10，?10． （3分） 原方程可化为lgx?3x?3 7

1993年普通高等学校招生全国统一考试（理工农医类）数学

解得：x1?3?5;x2?3?5． （6分） 检验：x?3?5时，x?3??5?0，负数的对数没有意义， 所以x?3?5不是原方程的根；

x?3?5时，原方程的左边?lg105?lg5?lg10?1?右边．

所以原方程的根是x?3?5． （8分）

26．（本小题满分8分）

已知数列

88?18?28nS?,,???,,???，为其前项和，计算得， Sn1n22222291?33?5(2n?1)?(2n?1)S2?244880,S3?,S4?．观察上述结果，推测出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以254981证明．

【解】本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．

(2n?1)2?1Sn?(n?N)． （2分）

(2n?1)232?18?，等式成立． （4分） 证明如下：（Ⅰ）当n?1时，S1?329(2k?1)2?1（Ⅱ）设当n?k时等式成立，即Sk?． （5分）

(2k?1)28(k?1)(2k?1)2?18(k?1)则Sk?1?Sk? ??22222(2k?1)(2k?3)(2k?1)(2k?1)(2k?3)2[(2k?1)?1]k(?223?)k?8( ??(2k?12)(k2?23)21k)?(2k1?)2(2?k3)?2(2?k3?)

k?(221k?)(223)8(1)(2k?12)(k2?23?) ?(2k?12)(k2?k(?221)k?(22?3)． ?223)k?(23)1由此可知，当n?k?1时等式也成立． （7分）

根据（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，等式对任何n?N都成立． （8分）

8

1993年普通高等学校招生全国统一考试（理工农医类）数学

27．（同理科26）（本小题满分10分）

如图，A1B1C1?ABC是直三棱柱，过点A1,B,C1的平面和平面ABC的交线记作l． （Ⅰ）判定直线AC11和l的位置关系，并加以证明； （Ⅱ）若AA求顶点,AB?4,BC?3,?ABC?90?，1?1A1到直线l的距离．

【解】本小题主要考查空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力． （Ⅰ）l//AC11．证明如下：

根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行． 由题设知直线AC11?平面A1B1C1l?平面A1BC1平面A1BC1，直线

平面ABC．

根据两平面平行的性质定理有l//AC11． （4分）

E，则A1E的长为点A1到l的距离． （Ⅱ）解法一：过点A1作A1E?l于

连结AE．由直棱柱的定义知A1A?平面ABC． ∴直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影．

又l在平面ABC上，根据三垂线定理的逆定理有AE?l． 由棱柱的定义知AC1//AC，又l//AC11，

∵l//AC． （8分）

作BD?AC于D，则BD是Rt?ABC斜边AC上的高，且BD?AE， 从而AE?BD?AB?BC4?312??．

AC55在Rt?A,?A1AE?90?， 1AE中，∵AA1?1∴A1E?1213AE2?A1A2?()2?12?．

5513． （10分） 5故点A1到直线l的距离为

解法二：同解法一得l//AC11． （8分）

由平行直线的性质定理知?CAB??ABE，从而有

Rt?ABCRt??BEA，AE:BC?AB:AC，∴AE?BC?AB． AC 9

1993年普通高等学校招生全国统一考试（理工农医类）数学

以下同解法一．

28．（同理科27）（本小题满分10分）

在面积为1的?PMN中，tanM?1,tanN??2．建立适当的坐标系，求出以M,N2为焦点且过点P的椭圆方程．

【解】本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用的能力．

解法一：建立直角坐标系如图：以MN所在直线为x轴，线段MN的垂

直平分线为y轴．

x2y2设所求椭圆方程为2?2?1．分别记M,N,P点的坐标为(?c,0),(c,0)

ab和(x0,y0)． （1分） ∵ tan??tan(??N)?2，

5?1x?c,???03?y0?(x0?c),∴由题设知?解得? 24?y?c,??y0?2(x0?c),?03?4c)． （4分） 3414在?PNM中，MN?2c，MN上的高为c．∴S?MNP??2c?c?1，

323即P(c,∴c?5335323，即P(,)． （6分） 263215152． ,PN?(x0?c)2?y0?332PM?(x0?c)2?y0?∴a?115222(PM?PN)?．从而b?a?c?3． （9分） 224x2y2??1． （10分） 故所求的椭圆方程为153解法二：同解法一得：c?35323，即P(,)． （6分） 263 10

1993年普通高等学校招生全国统一考试（理工农医类）数学

532232)()2226?32?1， ∵点P在椭圆上，且a?b?c，∴b3b2?()22(2解得b?3或b??21（舍去）． （9分） 3a2?b2?c2?15． 44x2y2??1． （10分） 故所求的椭圆方程为153

29．（同理科28）（本小题满分10分）

1?(z)43?设复数z?cos??isin?(0????)，??．已知，求?． ??,arg??1?z432【解】本小题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力．

1?[cos(??)?isin(??)]41?cos(?4?)?isin(?4?) （2分） ???1?[cos??isin?]41?cos4??isin4?2si2n?2?i2si?n2c?os2?tan?2(si?n?4i ?2co2s?2?i2si?n2c?os2c?o；s 4 )??tan2??sin4??icos4??tan2??因0????，故有 （1）当tan2??3， （6分） 3?7?33??时，得??或??，这时都有??(cos?isin)，得

12123366arg???6??2，适合题意． （10分）

（2）当tan2???5?113?，这时都有时，得得??或??12123??11??311?11??，不适合题意，舍去． (cos?isin)，得arg??623665?11?． （12分） 或??1212综合（1）、（2）可知?? 11

1993年普通高等学校招生全国统一考试（理工农医类）数学

532232)()2226?32?1， ∵点P在椭圆上，且a?b?c，∴b3b2?()22(2解得b?3或b??21（舍去）． （9分） 3a2?b2?c2?15． 44x2y2??1． （10分） 故所求的椭圆方程为153

29．（同理科28）（本小题满分10分）

1?(z)43?设复数z?cos??isin?(0????)，??．已知，求?． ??,arg??1?z432【解】本小题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力．

1?[cos(??)?isin(??)]41?cos(?4?)?isin(?4?) （2分） ???1?[cos??isin?]41?cos4??isin4?2si2n?2?i2si?n2c?os2?tan?2(si?n?4i ?2co2s?2?i2si?n2c?os2c?o；s 4 )??tan2??sin4??icos4??tan2??因0????，故有 （1）当tan2??3， （6分） 3?7?33??时，得??或??，这时都有??(cos?isin)，得

12123366arg???6??2，适合题意． （10分）

（2）当tan2???5?113?，这时都有时，得得??或??12123??11??311?11??，不适合题意，舍去． (cos?isin)，得arg??623665?11?． （12分） 或??1212综合（1）、（2）可知?? 11

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5l37.html