用列举法求概率与利用频率估计概率

用列举法求概率与利用频率估计概率

撰稿：庄永春 审稿：邵剑英 责编：张杨 一、目标认知 学习目标

1．在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的规律的数学模型，理解概率的取值范

围的意义，发展随机观念。能够运用列举法（包括列表、画树形图）计算简单事件发生的概率.

2．能够通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值，理

解频率与概率的区别与联系。通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题.

重点

1．运用列表法或树形图法计算事件的概率. 2．利用稳定后的频率值来估计概率的大小.

难点

1．列表法与树形图法的选择使用.

2．利用稳定后的频率值来估计概率的大小.

二、知识要点梳理

知识点一、等可能事件概率

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件

A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为概率，即概率的古典定义. 要点诠释：

1.古典概型的特点：

(1)一次试验中，可能出现的结果有限多个； (2)一次试验中，各种结果发生的可能性相等. 2.对于随机事件A，总有 对于必然事件A，总有 对于不可能事件A，总有

，所以，所以，所以

； .

.这一规律称之为等可能事件

；

知识点二、用列举法求概率

常用的两种列举法： 1.列表法：

当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出可能的结果，这种方法叫列表法.

2.树形图法：

当事件中涉及的有两个以上的因素时，用树形图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫树形图法. 要点诠释：

当事件的发生只经过两个步骤时，一般用列表法就能将所有的可能结果列举出来，当经过多个步骤时，表格就不够清晰，而树形图法的适用面较广，特别是对多个步骤时，层次清楚，一目了然.

知识点三、利用频率估计概率

当一次试验中，可能出现的结果无限多个，或者各种可能结果发生的可能性不相等，我们一般通过统计频率来估计概率.

三、规律方法指导

1.列举法疑难分析.

(1)当一次试验中，可能出现的结果是有限个，并且各种结果发生的可能性相等时，可以用被关注的结

果在全部试验结果中所占的比分析出事件中该结果发生的概率，此时可采用列举法. (2)列举法就是把要数的对象一一列举出来分析求解的方法.但有时一一列举出的情况数目很大，此时需

要考虑如何去排除不合理的情况，尽可能减少列举的问题可能解的数目.

(3)利用列举法求概率的关键在于正确列举出试验结果的各种可能性，而列举的方法通常有直接分类列

举、列表、画树形图等.

(4)当试验包含两步时，列表法比较方便，当然也可以用树形图法，当试验在三步或三步以上时用树形

图法方便，此时难以用列表法. 2.利用频率估计概率疑难分析.

(1)当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计 概率.

(2)利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A出现的频率，稳定地在某

个数值P附近摆动.这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P. (3)利用频率估计出的概率是近似值.

经典例题透析

类型一、列举法求概率

1．一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，则摸到

黄球的概率是( )

A. B. C. D.

解析：选C，从袋中随机摸出一个球的所有可能情况有８种，其中是黄球的情况有３种，故摸到黄球的概

率是

.

举一反三：

【变式1】一个均匀的立方体各面上分别标有数字1，2，3，4，6，8，其表面展开图如图所示，抛掷这个立方体，则朝上一面的数字恰好等于朝下一面上的数字的2倍的概率是( )

A． B． C． D．

解析：选C；

首先，我们得清楚，当上图折叠起来时，１与８、２与４、３与６是对面，其次抛掷这个立方体所有可能情况有６种，其中朝上一面的数字恰好等于朝下一面上的数字的2倍的情况有２种，故选C.

2．水果种植大户小方，为了吸引更多的顾客，组织了观光采摘游活动．每一位来采摘水果的顾客都

四张外形完全相同的卡片，抽奖时先随机抽出一张

有一次抽奖机会：在一只不透明的盒子里有卡片，再从盒子中剩下的3张中随机抽取第二张．

(1)请利用树状图(或列表)的方法，表示前后两次抽得的卡片所有可能的情况； (2)如果抽得的两张卡片是同一种水果图片就可获得奖励，那么得到奖励的概率是多少？

解：(1)方法一(用列表法)：列出顾客两次抽出卡片情况表如下： A B C D 方法二：(画树状图)

(B，A) (C，A) (D，A) (C，B) (D，B) (D，C) A B (A，B) C (A，C) (B，C) D (A，D) (B，D) (C，D)

无论是通过列表还是通过画树图都可得到，前后两次抽得的卡片所有可能的情况12种；

(2)其中A、B是同一种水果，C、D是同一种水果，两次抽到相同水果的情况有：(A，B)，(B，A)，(C，

D)，(D，C).获奖励的概率：

．

3．小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子(质地均匀的正方体)实验，他们共做了60

1 7 2 9 3 6 4 8 5 20 6 10 次实验，实验的结果如下：朝上的点数 出现的次数 (1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；

(2)小颖说：“根据实验，一次实验中出现5点朝上的概率最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出 现6点朝上的次数正好是100次．”小颖和小红的说法正确吗？为什么？

(3)小颖和小红各投掷一枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概 率．

解：(1)“3点朝上”出现的频率是，

“5点朝上”出现的频率是；

(2)小颖的说法是错误的．这是因为，“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发 生的概率最大．只有当实验的次数足够大时，该事件发生的频率才能稳定在事件发生的概率附 近．

小红的判断是错误的，因为事件发生具有随机性，故“6点朝上”的次数不一定是100次； (3)列出两枚骰子朝上的点数之和的表如下： 1 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12 从表中可以看出所有可能出现的结果有36种，这些结果出现的可能性相等，其中点数和是3的倍数的有12种.

所以，

举一反三：

.

【变式1】同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： (1)两个骰子的点数和是12； (2)两个骰子的点数和至少是9点； (3)两个骰子的点数相同； (4)两个骰子的点数都是偶数； (5)两个骰子的点数和为1； (6)两个骰子的点数和小于13.

思路点拨：掷两个骰子，所有等可能情况如下：

转动转盘的次数n 落在“铅笔”的次数m 100 68 150 111 200 136 500 345 800 546 1000 701 落在“铅笔”的频率

(2)请估计，当很大时，频率将会接近多少？ (3)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？ (4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？(精确 到1°) 解答：

(1)0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701；

(2)0.69； (3)0.69；

(4)0.69×360°≈248°.

总结升华：(1)试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小；(2)频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们可以利用它们所提供的信息估计概率．

6．小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC.为了知道它的面积，小明在封

闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：

你能否求出封闭图形ABC的面积？试试看.

解析：随实验次数的增加，可以看出石子落在⊙O内(含⊙O上)的频率趋近0.5，有理由相信⊙O面积会占封闭图形ABC面积的一半，所以求出封闭图形ABC的面积为2

举一反三：

【变式1】小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别2ｍ和3ｍ的同心圆(如图)，蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判. ⑴ 你认为游戏公平吗？为什么？

⑵ 游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算非规则图形的面积呢？”.请你设计方案，解决这一问题.(要求画出图形，说明设计步骤、原理，写出公式) 解：⑴ 不公平

.

∵P(阴)=

即小红胜率为，小明胜率为

∴游戏对双方不公平

⑵ 能利用频率估计概率的实验方法估算非规则图形的面积 设计方案：

① 设计一个可测量面积的规则图形将非规则图形围起来(如正方形，其面积为S).如图所示； ② 往图形中掷点(如蒙上眼往图形中随意掷石子，掷在图外不作记录). ③ 当掷点数充分大(如1万次)，记录并统计结果，设掷入正方形内n次，其中m次掷入非规则图 形内. ④ 设非规则图形的面积为

，用频率估计概率，即频率

P＇(掷入非规则图形内)=概率P(掷入非规则图形内)

=

故

.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5l2.html