湖北省2012-2013学年度高三第二次考试数学理科试题

湖北省2012-2013学年度高三第二次考试

数学理科试题

本试卷共4页。满分150分。考试时间120分钟

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名，在规定的位置贴好条形码。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。

一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分）在每小题列出的四个选项中，选出符

合题目要求的一项 1. 当x?(0,??)时，幂函数y?(m2?m?1)x?m?1为减函数，则实数m?（ ）

1?5

A．m=2 B．m=?1 C．m=2或m=1 D．m?2

??????????????2. 在?ABC中，AB边的高为CD，若CB?a，CA?b，a?b?0，|a|?1，|b|?2，

????则AD?（ ）

1?1?2?2?3?3?4?4?A．a?b B.a?b C.a?b D.a?b

333355553. 已知函数f(x)?2x?4?x,则函数f(x)的值域为 ( )

A.[2,4] B.[0,25] C.[4,25] D.[2,25]

4．f(x),g(x)是定义在R上的函数，h(x)?f(x)?g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的（ ）

A.充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 5. 设方程2x?x?2?0的实根为?，方程log2x?x?2?0的实根为?， 函数f(x)?(x??)(x??)?1,则f(0),f(1),f(2)的大小关系是（ ） A.f(0)?f(1)?f(2) B.f(1)?f(0)?f(2) C.f(0)?f(1)?f(2) D.f(1)?(2)?f(0) 6. 对任意的锐角α、β，下列不等关系中正确的是（ ）

A．sin(α+β)>sinα+sinβ B．sin(α+β)>cosα+cosβ C．cos(α+β)< sinα+sinβ D．cos(α+β)< cosα+cosβ 7. 抛物线y?x2?3与直线y?2x围成的封闭图形的面积是（ ） A．

103 B．

143 C．

263 D．

323

8. 若函数f(x)?sin(?x??)的图象(部分)如图,则?和?的取值分别是（ ）

A．??1,???B．??1,??C．??D．??1212?3

?3 ?6,???6[来源学_科_网]

,???

9. 函数f(x)?2x2?lnx在其定义域的一个子区间(k?1,k?1)内部是单调函数，则实数k 的取值范围是 （ ） A．k?32 B．k??11?x12 C．?12＜k?32 D.1?k?32

10. 函数y?的图像与函数y?2sin?x（?2?x?4）的图像所

有交点的横坐标之和等于 （ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

二、填空题：（本题共25分） （一）必做题（11—14）：

11. 已知集合A??a?2,(a?1),a?3a?3?，若1?A，则实数a的值为 222

sin12. 在?ABC中．sinA?sinB?sinC?sinBsinC，.则A的取值范围是

222213. 设f(x)表示?x?6和?2x?4x?6的较小者，则函数f(x)的最大值为_______

14．关于x的方程(x?1)?|x?1|?k?0，给出下列四个题： ①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根。 正确命题的序号为

（二）选做题（15—16）：

22215. 已知函数f(x)?rx?xr?(1?r) (x＞0)，其中r为有理数，且0

16.已知函数f(x)满足f(x)?f'(1)ex?1?f(0)x?区间是_______；

二、解答题：（本题共75分）

17.（本小题共12分） ?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知

cos(A?C)?cosB?1，a?2c，求C。

12x，则f(x)的单调递增

2

18．（本小题共12分）已知f(x)=m(x-2m)（x+m+3）,g(x)=-2，若同时满足条件： ①x∈R，f(x) ＜0或g(x) ＜0；②x∈(﹣∝, ﹣4),f(x)g(x) ＜0。求m的取值范围。

19. （本小题共12分）

已知函数f(t)=

1?t1?t,g(x)?cosx?f(sinx)?sinx?f(cosx),x?(?,17?12]

（Ⅰ）将函数g(x)化简成Asin(ωx+φ)+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式； （Ⅱ）求函数g(x)的值域.

20. （本小题共12分）水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为

t?24?V（t）＝?(?t?14t?40)e?50,0?t?10,

??4(t?10)(3t?41)?50,10?t?12.（Ⅰ）该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期.以i-1＜t＜i表示第i月份（i=1,2,?,12）,问一年内哪几个月份是枯水期？

（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）.

?1，x?1?21. （本小题共13分）设k∈R,函数f(x)??1?x ,F(x)?f(x)?kx,x∈R.

??x?1，x≥1?试讨论函数F(x)的单调性.

222. （本小题共14分）已知函数f(x)?x?(a?2)x?alnx,其中常数a?0. （1）当a?2时，求函数f(x)的单调递增区间；

（2）当a?4时，若函数y?f(x)?m有三个不同的零点，求m的取值范围；

（3）设定义在D上的函数y?h(x)在点P(x0,h(x0))处的切线方程为l:y?g(x),当x?x0时，若

h(x)?g(x)x?x0?0在D内恒成立，则称P为函数y?h(x)的“类对称点”，请你探究

当a?4时，函数y?f(x)是否存在“类对称点”，若存在，请最少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由.

理科数学答案

一、选择题：

1．A 2．D 3．D 4．B 5．B 6．D 7．D 8．C 9．A 10．D 二、填空题：

11． 0 ；12．(0,3] ；13． 6 ； 14．①②③④ ； 15． 0 ；16. (0,??) 三、解答题：

17.解：由B???(A?C),cosB??cos(A?C).

于是cos(A?C)?cosB?cos(A?C)?cos(A?C)?2sinAsinC. 由已知得 sinAsinC?12由a?2c及正弦定理得 sinA?2sinC ②

1112由①、②得sinC?， 于是sinC??（舍去），或sinC?

242?来源[学科网]

①

又a?2c, 所以C??6。

18.解：（一）由题意可知，m?0时不能保证对?x?R,f(x)＜0或g(x)＜0成立. ⑴当m??1时，f(x)??(x?2)2,g(x)?2x?2,此时显然满足条件①；

⑵当－１＜m＜０时，2m＞?(m?3),要使其满足条件①，则需－１＜m＜０且2m＜1，解得－１＜m＜０；

⑶当m＜－１时，?(m?3)＞2m，要使其满足条件①，则需m＜－１且?(m?3)＜１， 解得－４＜m＜－１. 因此满足条件①的m的取值范围为(?4,0). （二）在满足条件①的前提下，再探讨满足条件②的取值范围。 ⑴当m??1时，在(??,?4)上，f(x)与g(x)均小于0，不合题意； ⑵当m＜－１时，则需2m＜－４，即m＜－２，所以－４＜m＜－２. ⑶当－１＜m＜０时，则需?(m?3)＜－４，即m＞1，此时无解。 综上所述满足①②两个条件的m的取值范围为(?4,?2)

1?sinx1?sinx1?cosx1?cosx19. 解：（Ⅰ）g(x)?cosx??sinx?

?cosx?(1?sinx)cosx22?sinx?(1?cosx)sinx22

1?sinx1?cosx?cosx??sinx?.

cosxsinx?17???x???,?,?cosx??cosx,sinx??sinx,12??1?sinx1?cosx?sinx?cosx?2＝?g(x)?cosx??sinx??cosx?sinx??2sin?x?4????2. ?（Ⅱ）由?＜x?17?12得，5?4＜x??4?5?3.

?5?3???3?5???sint在?上为减函数，在?上为增函数， ,,???42??23?5?35?43?2?45?4又sin＜sin,?sin?sin(x?)＜sin（当x???,??17??）， ?2?即?1?sin(x??4)＜?22，??2?2?2sin(x??4 )?2＜?3，故g(x)的值域为??2?2,?3.

?1?20. 解：（Ⅰ）①当0＜t?10时，V(t)=(-t+14t-40)e4?50?50,化简得t2-14t+40>0, 解得t＜4，或t＞10，又0＜t?10，故0＜t＜4.

②当10＜t?12时，V（t）＝4（t-10）（3t-41）+50＜50,化简得（t-10）（3t-41）＜0, 解得10＜t＜

4132

4，又10＜t?12,故 10＜t?12 .综合得0

故知枯水期为1月，2月，，3月，4月，11月，12月共6个月. (Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.

1由V′（t）=c4(?t14t?232t?4)??141c4(t?2)(t?8),

t令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).

当t变化时，V′(t) 与V (t)的变化情况如下表：

t V′(t) (4,8) + 8 0 (8,10) - 极大值 V(t) 2由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e+50-108.52(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米

21..解：

?1?kx,? F(x)?f(x)?kx??1?x??x?1?kx,?11?x

x?1,x?1,，

1??(1?x)2?k,?F'(x)??1???k,?2x?1?x?1,x?1,对于F(x)??kx(x?1)，

当k?0时，函数F(x)在(??,1)上是增函数；

1k1k当k?0时，函数F(x)在(??,1?对于F(x)??12x?1?k(x?1)，

)上是减函数，在(1?,1)上是增函数；

当k?0时，函数F(x)在?1,???上是减函数；

[来源:Z,xx,k.Com]

1?上是减函数，在??上是增函数。 当k?0时，函数F(x)在?1,1?1?1?,???22???4k??4k?２２.解：（1）由f(x)?x2?(a?2)x?alnx可知，函数的定义域为{x|x?0}，

ax2x?(a?2)x?ax2且f?(x)?2x?(a?2)?因为a?2，所以当0?x?1或x?a2a2??(2x?a)(x?1)x.

?1.

时，f?(x)?0；当1?x?aa2时，f?(x)?0，

所以f(x)的单调递增区间为(0,1),(,??).

2（2）当a?4时，f?(x)?/2(x?1)(x?2)x.

所以，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：

x

（0,1）

f(x)+

/1 （1,2） 2

（2，??)

0

—

0 +

f(x)f(x)取极大值

f(x)取极小值

单调递增

源:Zxxk.Com][来单调递增

2[来源学科网ZXXK]单调递减

所以f(x)极大值?f（1）?1?6?1?4ln1??5，

f(x)极小值?f（2）?2?6?2?4ln2?4ln2?8.

2函数f(x)的图象大致如下：

所以若函数y?f(x)?m零点，m??4ln2?8,?5?.

（3）由题意,当a?4时，f?(x)?42x?4x有三个不同的

，则在点P处切线的斜率?6k切??42?6??x?x0??x0?6x0?4lnx0 所以y?g(x)??2x0??f(x0)?2x0??6；

x0x0??/??42??2x0??6?x?x0?4lnx0?4.

x0????42?6??x?x0???x0?6x0?4lnx0?， 令??x??f?x??g?x??x?6x?4lnx??2x0?x0??2则?(x0)?0，???x??2x?4???42?22???6??2x0??6??2?x?x0??1??x?xx????0?0?. xx0x0x?x0x?????当x0???2?2?所以当x??x0,?时，?(x)??(x0)?0.从2时，??x?在?x0,?上单调递减，

xx0?0????2??(x)x?x,而有?0； ?0?时，

xx?x00??当x0??2??2?,x0?上单调递减，所以当x??,x0?时，?(x)??(x0)?0.2时，??x?在??x0??x0??2???x?,x0?时，?0；所以在(0,2)?(2,??)上不存在“类对称点”. 从而有x??x?x0?x0?当x0?2时，??(x)?2?xx?2?2，所以??x?在(0,??)上是增函数，故

?(x)x?x0?0.

所以x?

2是一个类对称点的横坐标.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5l0x.html