常微分期末考试试题和答案a

《常微分方程》期终考试试卷（A）

（适用班级： 班 ）

下属学院_________________班级_________姓名____________成绩_______ 题号 分数 得分 阅卷人 一、填空（每小题3分，共30分）

1、形如y??f(x)?g(y)的方程当g(x)?0的通解为_______________。 一 二 三 四 五 总分 2、一阶方程Mdx?Ndy?0，若存在可微函数?(x,y)(?0)使_____________ _________________________时，称?(x,y)为这个方程的积分因子。

3、____________________称为黎卡提方程，若它有一个特解y(x)，则经过变换____________________，可化为伯努利方程。

4、对?(x,y1),(x,y2)?R，存在常数N(?0)，使____________________则称f(x,y)在R上关于y满足李普希兹条件。

5、若?(x)为毕卡逼近序列{?n(x)}的极限，则有|?(x)??n(x)|?_________。 6、方程

dydx?x?y定义在矩形域R：?2?x?2，则经过点(0,0)?2?y?2上，

22解的存在区间是__________________。

(n)(n?1)???pn?1y??pny?0的7、若xi(t)(i?1,2,3,?,n)是n阶齐线性方程y?p1yn个解，w(t)为其伏朗基斯行列式，则w(t)满足一阶线性方程__________________。

8、设x1(t)?0是二阶齐线性方程x??a1(t)x??a2(t)x?0的一个解，则该方程的通解为____________________________________________。

9、若xi(t)(i?1,2,3,?,n)为齐线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的通解为_____________________________。

?xt??x?y10、驻定方程组?的奇点类型为_________________。

?yt?2x?y?得分 阅卷人 1

二、求下列方程的解（每题8分，共24分）

1、

dydx?y2x?y2

2、2xydx?(x2?y)dy?0

3、y?ln(1?y?2)

2

得分

阅卷人 三、计算题（每题8分，共24分）

1、求yx(4)??y?0的通解。 ?2y?x?5t2、求xt???10xt??25x?14e的特解。

3、求y???2y??5y?2cosx的通解。

2 3

得分 阅卷人 四、求下列方程组的基解矩阵（8分）

?x??2x?y?z??y??x?2y?z ?z??x?y?2z?

得分

2、一质量为m千克的物体以初速度v0（秒/米）向前滑动，已知它所受的阻力为?km牛顿。试问该物体何时才能停下来，此时滑过了多少路程？（6分）

阅卷人 五、1、若函数y(x)具有连续的二阶导数，且y(0)?0，试由方程y(x)?1?15?xx0[y??(s)?4y(s)]ds确定此函数。（8分）

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《常微分方程》期终考试试卷（A）参考答案

一、1、?2、

dyg(y)??f(x)dx?c.

?(?M)?ydydx??(?N)?x2.

3、?P(x)y?Q(x)y?R(x)，y?z?y.

4、f(x,y1)?f(x,y2)?Ny1?y2. 5、

MLn(n?1)!hn?1，其中M?maxf(x,y)，L为李普希兹常数，h?min(a,(x,y)?RbM)，

R?[a,b].

6、[?11,]. 447、w??p1w?0.

8、x(t)?c1x1(t)?c2x1(t)?n1x12e??ta1(s)ds0tdt.

9、x(t)??ci?0ixi(t)?x(t).

10、稳定结点。 二、1、解：方程可化为

dxdy?2yx?y，

……4分

由一阶线性方程的求解公式得：

x?e?2ydy(?(?y)e2??2ydydy?c)

??ylny?cy

2

……7分 ……8分 ……3分

……6分

另外，y?0也是方程的解。

22、解：方程可化为(2xydx?xdy)?ydy?0， 即d(xy)?d(212y)?0，

2

5

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