青岛版初二上学期知识点总结数学初中教育教育专区

初二上学期知识点总结

三角形

几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明） 1．三角形的角平分线定义： 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（如图） 2．三角形的中线定义： 在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.（如图） BDCBDCA几何表达式举例： (1) ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD (2) ∵∠BAD=∠CAD ∴AD是角平分线 A几何表达式举例： (1) ∵AD是三角形的中线 ∴ BD = CD (2) ∵ BD = CD ∴AD是三角形的中线 3．三角形的高线定义： 从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线. （如图） ※4．三角形的三边关系定理： 三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.（如图） A几何表达式举例： (1) ∵AD是ΔABC的高 ∴∠ADB=90° BDC (2) ∵∠ADB=90° ∴AD是ΔABC的高 A几何表达式举例： (1) ∵AB+BC＞AC ∴…………… BC (2) ∵ AB-BC＜AC ∴…………… 5．等腰三角形的定义： 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. （如图） 几何表达式举例： (1) ∵ΔABC是等腰三角形

BA∴ AB = AC (2) ∵AB = AC C ∴ΔABC是等腰三角形 几何表达式举例： 6．等边三角形的定义： 有三条边相等的三角形叫做等边三角形. （如图） A(1)∵ΔABC是等边三角形 ∴AB=BC=AC BC (2) ∵AB=BC=AC ∴ΔABC是等边三角形 7．三角形的内角和定理及推论： （1）三角形的内角和180°；（如图） （2）直角三角形的两个锐角互余；（如图） 几何表达式举例： (1) ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴………………… （3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角(2) ∵∠C=90° 的和；（如图） ∴∠A+∠B=90° ※（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻(3) ∵∠ACD=∠A+∠B 的内角. BCA∴………………… AA(4) ∵∠ACD ＞∠A ∴………………… CBBCD（1） （2） （3）（4） 8．直角三角形的定义： 有一个角是直角的三角形叫直角三角形.（如图） CB A几何表达式举例： (1) ∵∠C=90° ∴ΔABC是直角三角形 (2) ∵ΔABC是直角三角形 ∴∠C=90° 9．等腰直角三角形的定义： 几何表达式举例： (1) ∵∠C=90° CA=CB ∴ΔABC是等腰直角三角形 (2) ∵ΔABC是等腰直角三两条直角边相等的直角三角形叫 等腰直角三角形.（如图）

A角形 ∴∠C=90° CA=CB CB 几何表达式举例： (1) ∵ΔABC≌ΔEFG ∴ AB = EF ……… (2) ∵ΔABC≌ΔEFG 10．全等三角形的性质： （1）全等三角形的对应边相等；（如图） （2）全等三角形的对应角相等.（如图） BAE∴∠A=∠E ……… GCF 11．全等三角形的判定： “SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”. （如图） （1）（2） AE几何表达式举例： (1) ∵ AB = EF ∵ ∠B=∠F 又∵ BC = FG GAEBCF∴ΔABC≌ΔEFG (2) ……………… (3)在RtΔABC和RtΔEFG中 ∵ AB=EF （3） CBGF又∵ AC = EG ∴RtΔABC≌RtΔEFG 12．角平分线的性质定理及逆定 理： （1）在角平分线上的点到角的两边距离相等；（如图） （2）到角的两边距离相等的点在角平分线上.（如图） ODC几何表达式举例： (1)∵OC平分∠AOB A 又∵CD⊥OA CE⊥OB ∴ CD = CE BE (2) ∵CD⊥OA CE⊥OB 又∵CD = CE ∴OC是角平分线

13．线段垂直平分线的定义： 垂直于一条线段且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.（如图） 14．线段垂直平分线的性质定理及 逆定理： （1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（如图） （2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（如图） 15．等腰三角形的性质定理及推论： ANCBMPAOF E几何表达式举例： (1) ∵EF垂直平分AB B∴EF⊥AB OA=OB (2) ∵EF⊥AB OA=OB ∴EF是AB的垂直平分线 几何表达式举例： (1) ∵MN是线段AB的垂直平分线 ∴ PA = PB (2) ∵PA = PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上 几何表达式举例： （1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如(1) ∵AB = AC 图） ∴∠B=∠C （2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的(2) ∵AB = AC 高”三线合一；（如图） 又∵∠BAD=∠CAD （3）等边三角形的各角都相等，并且都是60°.（如图） ∴BD = CD AAD⊥BC AA……………… (3) ∵ΔABC是等边三角BC （1） BDC （2） BC（3） 形 ∴∠A=∠B=∠C =60° 16．等腰三角形的判定定理及推论： 几何表达式举例： （1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所(1) ∵∠B=∠C

对边也相等；（即等角对等边）（如图） （2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图） ∴ AB = AC (2) ∵∠A=∠B=∠C （3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；（如∴ΔABC是等边三角形 图） (3) ∵∠A=60° （4）在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它又∵AB = AC 所对的直角边是斜边的一半.（如图） A∴ΔABC是等边三角形 (4) ∵∠C=90°∠B=30° AABC（1）BC（2）（3）CB（4） 1∴AC =2AB 17．关于轴对称的定理 （1）关于某条直线对称的两个图A MEOCFGN几何表达式举例： (1) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称 ∴ΔABC≌ΔEGF (2) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称 ∴OA=OE MN⊥AE 形是全等形；（如图） （2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.（如图） B18．勾股定理及逆定理： 几何表达式举例： (1) ∵ΔABC是直角三角形 ∴a2+b2=c2 （1）直角三角形的两直角边a、 b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2；（如图） （2）如果三角形的三边长有下面关系: a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.（如图） 19．RtΔ斜边中线定理及逆定理： （1）直角三角形中，斜边上的中 线是斜边的一半；（如图） （2）如果三角形一边上的中线是CBA (2) ∵a2+b2=c2 ∴ΔABC是直角三角形 几何表达式举例： ∵ΔABC是直角三角形 ∵D是AB的中点

这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（如图） AD1∴CD = 2AB BC (2) ∵CD=AD=BD ∴ΔABC是直角三角形

几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题） 一 基本概念：

三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数. 二 常识：

1．三角形中，第三边长的判断： 另两边之差＜第三边＜另两边之和. 2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.

3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD⊥AB，BE⊥CA，则CD·AB=BE·CA.

4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.

5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和. 6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.

7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即： （1） AC·CB=CD·AB ； （2）∠1=∠B ，∠2=∠A .

A1CD2BADECB8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.

9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.

10．等边三角形是特殊的等腰三角形.

11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明. 12．符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.

13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.

14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.

15．会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.

16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.

17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图.

※18．几何重要图形和辅助线： （1）选取和作辅助线的原则：

① 构造特殊图形，使可用的定理增加； ② 一举多得；

③ 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角； ④ 作辅助线必须符合几何基本作图.

（2）已知角平分线.（若BD是角平分线）

① 在BA上截取BE=BC构造全等，转 ② 过D点作DE∥BC交AB于E，构造等移线段和角；

BEA腰三角形 . DCBEADC

（3）已知三角形中线（若AD是BC的中线）

① 过D点作DE∥AC交AB ② 延长AD到E，使DE=AD ③ ∵AD是中线 于E，构造中位线 ； A连结CE构造全等，转移线段和角； A∴SΔABD= SΔADC （等底等高的三角形 BE DCBDC等面积） BDAEC (4) 已知等腰三角形ABC中，AB=AC

① 作等腰三角形ABC底边的中线AD ② 作等腰三角形ABC一边的平行线DE，构（顶角的平分线或底边的高）构造全 等三角形； （5）其它 作等边三角形ABC 一边 的平行线DE，构造新的等边三角形； ABDCC造 新的等腰三角形. AAAEDBDECB ② 作CE∥AB，转移角； ③ 延长BD与AC交于E， AE不规则图形转化为规则图形； CDBDAE BEBCDC

④ 多边形转化为三角 ⑤ 延长BC到D，使 ⑥ 若a∥b,AC,BC是角平 形； BAODECD=BC，连结AD，直角三A角形转化为等腰三角形； 分线,则∠C=90°. AaCbB C BCD

分式

1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子做分式。

2. 分式有意义、无意义的条件：

分式有意义的条件：分式的分母不等于0； 分式无意义的条件：分式的分母等于0。

3. 分式值为零的条件：

当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。

A

（分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式 为0的

B条件是A＝0，且B≠0.）

（分式的值为0的条件是：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。首先求出使分子为0的字母的值，再检

验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。）

4. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

AA?CAA?C??用式子表示为 （C?0），其中A、B、CBB?CBB?C是整式

注意：（1）“C是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件； （2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；

（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一 整式C；

（4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。

5.分式的通分：

和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成

相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分

母，这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点： （1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；

（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最

A叫B

简公分母的系数；

（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。

6.分式的约分：

和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫

做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。

约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。

（1）约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母

分解因式，然后再约分； （2）找公因式的方法：

① 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就

是公因式；

②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。

易错点：（1）当分子或分母是一个式子时，要看做一个整体，易出现漏乘（或漏除以）； （2）在式子变形中要注意分子与分母的符号变化，一般情况下要把分子或分母前的“—” 放在分数线前； （3）确定几个分式的最简公分母时，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母；

7.分式的运算：

分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

acacacadad

??;???? 用式子表示是：b dbdbdbcbc

提示：（1）分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分

别相乘，然后约去公因式，化为最简

分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式，看

能否约分，然后再相乘；

（2）当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子，

分母不变

（3）分式的除法可以转化为分式的乘法运算； （4）分式的乘除混合运算统一为乘法运算。

①分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按

照从左到右的顺序，有括号先算括号

里面的；

②分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，

可先确定积的符号；

③分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分

子、分母没有公因式）或整式的形式。

分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。 anan()?n用式子表示是： （其中n是正整数） bb 注意：（1）乘方时，一定要把分式加上括号； （2）分式乘方时确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即正分式的任何次幂都为正；负分式的偶次幂

为正，奇次幂为负；

（3）分式乘方时，应把分子、分母分别看做一个整体；

（4）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解

因式，再约分。

分式的加减法则：

法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

aca±c

用式子表示为： ± ＝ bbb

法则：异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。 acadbcad±bc

用式子表示为： ± ＝ ± ＝

bdbdbdbd

注意：（1）“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先

加上括号后再加减，分子是单项式时括

号可以省略；

（2）异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，

特别是分子相减，要注意分子的整体性；

（3）运算时顺序合理、步骤清晰；

（4）运算结果必须化成最简分式或整式。

分式的混合运算:

分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘

方的混合运算一样，先算乘方，再算

乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。

8、 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。

分式方程的解法：

去分母

（1）解分式方程的基本思想方法是：分式方程 －－－－－→ 整式方程.

转化 （2）解分式方程的一般方法和步骤：

①去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整

式方程，依据是等式的基本性质；

②解这个整式方程； ③检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是原方程的解，使最简公分母等于0

的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。

注意：① 去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项；

② 解分式方程必须要验根，千万不要忘了！

9、解分式方程的步骤 ：

(1)能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)

解整式方程；(4)验根．

分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为

0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

10、.含有字母的分式方程的解法：

在数学式子的字母不仅可以表示未知数，也可以表示已知数，含有字母已知数的分式方程的解法，也是去分母，

解整式方程，检验这三个步骤，需要注意的是要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示未知数，还要注意题目的

限制条件。计算结果是用已知数表示未知数，不要混淆。

11、.列分式方程解应用题的步骤是：

(1)审：审清题意；(2)找: 找出相等关系；(3)设：设未知数；(4)列：列出分式方程；(5)解：解这个分式方程；(6)验：既要检验根是否是所列分式方程的解，又要检验根是否符合题意；(7)答：写出答案。 应用题有几种类型；基本公式是什么？

基本上有五种： (1)行程问题 基本公式：路程=速度×时间 而行程问题中又分相遇问题、追及问题．

(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题 基本公式：工作量=工时×工效． (4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水．

数据的分析

1.加权平均数：加权平均数的计算公式。

权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。 学会权没有直接给出数量，而是以比的或百分比的形式出现及频数分布表求加权平均数的方法。

2.将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median)；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。

3.一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode）。

4.一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。

5. 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。

6. 平均数受极端值的影响众数不受极端值的影响，这是一个优势，中位数的计算很少不受极端值的影响。

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