20141215--高三数学周练十五B卷（排版）

高三数学周练十五B卷

一、选择题

1. 已知函数f(x)?aln(x?1)?x2在区间(0,1)内任取两个实数p,q, 且p≠q, 不等式

f(p?1)?f(q?1)恒成立, 则实数a的取值范围为

?1p?q

D. (?12,15?

（ ）

A. ?15,??) B. (??,15? C. (12,30?

2. 对于函数f?x?, 若?a,b,c?R,f?a?,f?b?,f?c?为某一三角形的三边长, 则称f?x?为ex?t“可构造三角形函数”. 已知函数f?x??x是“可构造三角形函数”, 则实数t的取值

e?1范围是

A. ?0,???

B. ?0,1?

C. ?1,2?

（ ）

?1?D. ?,2? ?2?3. 在平面坐标系xoy中, 直线l:y?2x?m(0?m?1)与圆x2?y2?1相交于A,B,(A在第

一象限) 两个不同的点, 且?xOA??,?AOB??,则sin(2???)的值是

A. ?（ ）

4 5B.

4 5C. ?4 3D.

4 34. 已知?ABC的三边长BC?a,AC?b,AB?c,O为?ABC所在平面内一点, 若

aOA?bOB?cOC?0, 则点O是?ABC的

A. 外心

B. 内心

C. 重心

D. 垂心

（ ）

*n5. 已知数列?an?的首项为a1?1, 且满足对任意的n?N, 都有an?1?an?2, an?2?an?3?2n成立, 则a2014?

（ ）

A. 22014?1 B. 22014+1 C. 22015?1 D. 22015?1 26. 设各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,若m?1,且am?1?am?1?am?0

S2m?1?38,则m等于

A. 38

B. 20

（ ）

C. 10 D. 9

??7. 关于x的不等式|cos2x|?asinx在闭区间[?,]上恒成立, 则a的取值范围是（ ）

36试卷第1页，总4页

1A. [?,1] B. [?1,0] C. [?3,0] D. [0, 1]

228. 在正四面体A?BCD中, 棱长为4, M是BC的中点, P在线段AM上运动(P不与A、M重合) , 过点P作直线l?平面ABC, l与平面BCD交于点Q, 给出下列命题: A

①BC?面AMD ②Q点一定在直线DM上 ③VC?AMD?42

其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③

2PBDMCC. ②③ D. ①②③ 9. 抛物线C:y?2px(p?0)的焦点为F, M为抛物线C上一点, 若?OFM的外接圆与抛物线C的准线相切(O为坐标原点) , 且外接圆的面积为9π, 则p? （ ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

10. 已知抛物线y2＝4x的焦点为F,过F的直线与该抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则

2y12+y2 的最小值是

B. 8

C. 12

（ ） D. 16

A. 4 二、填空题

2x2y211. 已知抛物线y?4x的准线与双曲线2?2?1(a?0，b?0)交于A、B两点, 点F为

ab抛物线的焦点, 若?FAB为直角三角形, 则双曲线离心率的取值范围是 .

x2y2112. 如图, 椭圆2+2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1, F2, 上顶点为A, 离心率为, 点P

ab2为第一象限内椭圆上的一点, 若S△PF1A∶S△PF1F2＝2∶1,

则直线PF1的斜率为________.

x2y213. 已知P为椭圆2?2?1(a?b?0)上一点, F1、F2为椭圆的左、右焦点, B为椭圆右顶

ab点, 若?PF1F2平分线与?PF2B的平分线交于点Q(6,6), 则S?F1BQ?S?F2BQ? . 14. 在直角坐标系内, 点A(x,y)实施变换f后, 对应点为A1(y,x), 给出以下命题:

①圆x2?y2?r2(r?0)上任意一点实施变换f后, 对应点的轨迹仍是圆x2?y2?r2; ②若直线y?kx?b上每一点实p施变换f后, 对应点的轨迹方程仍是y?kx?b,则

试卷第2页，总4页

x2y2k??1; ③椭圆2?2?1(a?b?0)上每一点实施变换f后, 对应点的轨迹仍是离

ab心率不变的椭圆; ④曲线C: y?lnx?x(x?0)上每一点实施变换f后, 对应点的轨迹是曲线C1, M是曲线C上的任意一点, N是曲线C1上的任意一点, 则MN的最小值为2(1?ln2)。

以上正确命题的序号是 (写出全部正确命题的序号) .

x2y215. 已知F1,F2分别是双曲线2??1(a?0,b?0)的左右焦点, 且其中一条渐近线方程

20a是5x?2y?0, 点p在该双曲线上, PF1?9,则PF2?

三、解答题

16. 已知函数f(x)?Asin(?x??6)(??0)相邻两个对称轴之间的距离是?, 且满足, 2f()?3. 4(1) 求f(x)的单调递减区间;

(2) 在钝角△ABC中, a、b、c分别为角A、B、C的对边, sinB＝3sinC,a?2,f(A)?1,求△ABC的面积。

17. (本小題满分12分) 已知数列?an??n?N?满足a1?1, 且对任意非负整数m,n?m?n?均有: am?n?am?n?m?n?1?(1) 求a0,a2;

(2) 求证: 数列?am?1?am??m?N*?是等差数列, 并求an?n?N*?的通项; (3) 令cn?an?3n?1?n?N?, 求证:

*?1?a2m?a2n?. 213? ?4k?1ckn

试卷第3页，总4页

18. 如图, 在四棱锥E﹣ABCD中, 矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直, 且∠BAE＝120°,

AE＝AB＝4, AD＝2, F, G, H分别为BE, AE, BC的中点 (1) 求证: DE∥平面FGH;

(2) 若点P在直线GF上,

D﹣BP﹣A的大小为

＝λ

, 且二面角

, 求λ的值.

x2y2619. (本题满分12分) 已知椭圆2?2＝1(a＞b＞0) 的离心率e＝, 过点A(0, －b)

3ab和B(a, 0) 的直线与坐标原点距离为3. 2(1) 求椭圆的方程;

(2) 已知定点E(－1, 0) , 若直线y＝kx+2(k≠0) 与椭圆

相交于C、D两点, 试判断是否存在k值, 使以CD

为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值, 若不存在说明理由.

20. (本题满分15分) 已知点F(0,2)是抛物线x2?ay的焦点.

(1) 求抛物线方程;

(2) 若点P(x0,y0)为圆x2?y2?1上一动点, 直线l是圆在点P处的切线, 直线l与抛物线相交于A,B两点(A,B在y轴的两侧) , 求平面图形OAFB面积的最小值.

21. 已知函数f(x)＝ln(x+1)+ax2?x, a∈R.

(1) 当a?1时, 求函数y＝f(x)的极值;

4(2) 是否存在实数b∈(0,1), 使得当x∈(?1,b]时, 函数f(x)的最大值为f(b)？若存在, 求

实数a的取值范围, 若不存在, 请说明理由.

试卷第4页，总4页

高三数学周练十五B卷参考答案

一、选择题 题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 B 5 A 6 C 7 D 8 A 9 B 10 B 二、填空题 11. ?5??. 12.

?313. 36 14. ①③④ 15. ?PF2?17 5

三、解答题 16．(1) [?3?k?,5??k?],(k?Z). ;(2)3. 6【解析】

试题分析：（1）相邻对称轴之间的距离为半个周期，所以根据周期公式T?然后根据2??,可以求出?，

f()?3.可以求出A,函数的单调递减区间为

4??3?2k???x????2k?,k?z,即可求出函数的单减区间; 262（2）可以根据正弦定理，将sinB??3sinC转化为b?3c,利用f?A??1,确定角A的大

小，然后利用余弦定理，a2?b2?c2?2bccosA,分别求出各边，然后利用S?（1）由题意知周期T??，???2, 因为f()?1bcsinA. 2?43，所以A?2， f(x)?2sin(2x??6)， 3分 3??5??2k?,(k?Z), ??k??x??k?,(k?Z)， 26236?5?所以f(x)的单调递减区间为[?k?,?k?],(k?Z). 6分 36?1?（2）由题意b?3c，f(A)?2sin(2A?)?1, ?sin(2A?)?, 626??11??????2A??,?A?或, 66662??因为△ABC为钝角三角形，所以舍去，故A?, 8分 26由??2k??2x????a2?b2?c2?2bccosA,?4?3c2?c2?23c2?3?c2, 2答案第1页，总6页

所以c?2,b?23, S?ABC?11?23?2??3. 12分 2217．（1）a0?1，a2?3；（2）an?n?n?1??1；（3）证明见解析．

解：（1）令m?n得a0?1， 1分

令n?0，得a2m?4am?2m?3，∴a2?3 2分 （2）令n?1，得：am?1?am?1?m?2?1(a2m?a2)?2am?m 2∴am?1?am?am?am?1?2，又a2?a1?2，

∴数列{am?1?am}是以2为首项，2为公差的等差数列．∴am?1?am?2m(m?N)

m?1*∴am?a1??(ak?1*?a)?m(m?1)?1(m?N) k?1k∴an?n(n?1)?1(n?N) 8分 （3）*cn?an?3n?1?n2?2n(n?N*)∴11 ?cnn(n?2)∴?11111?(1????2324k?1ckn?113113?)???? 12分 nn?242（n?1）2(n?2)418．（1）证明见解析；（2）λ的值等于1或4．

解：（1）证明：取AD的中点M，连接MH，MG．

∵G、H、F分别是AE、BC、BE的中点， ∴MH∥AB，GF∥AB， ∴MH∥GF，即G、F、H、M四点共面，平面FGH即平面MGFH， 又∵△ADE中，MG是中位线，∴MG∥DE

∵DE?平面MGFH，MG?平面MGFH，∴DE∥平面MGFH，即直线DE与平面FGH平行．

（2）在平面ABE内，过A作AB的垂线，记为AP，则AP⊥平面ABCD．

以A为原点，AP、AB、AD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示． 可得A（0，0，0），B（0，4，0），D（0，0，2），E（2，﹣2，0）， G（，﹣1，0），F（，1，0）

∴

=（0，2，0），

=（0，﹣4，2），

=（

，﹣5，0）．

答案第2页，总6页

由=λ=（0，2λ，0），可得=+=（，2λ﹣5，0）．

设平面PBD的法向量为=（x，y，z）， 则

，取y=

，得z=2

，

x=5﹣2λ，∴=（5﹣2λ，，2），

又∵平面ABP的一个法向量为=（0，0，1）， ∴cos＜

＞=

==cos=

，解之得λ=1或4

即λ的值等于1或4．

x27?y2?1k?6。 19．（1）3（2）存在试题解析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0

?c6，??3?a?3?ab?22?2a?b?依题意 解得

?a?3，x2??y2?1b?1? ∴ 椭圆方程为 3

?y?kx?2，?222x?3y?3?0(1?3k)x2?12kx?9?0 ?（2）假设存在这样的k值，由得

22??(12k)?36(1?3k)?0 ① ∴

12k?x?x??，2??11?3k2??x?x?912?C(xD(xy)y)1?3k2?1221设， ，，则 ②

2y?y?(kx?2)(kx?2)?kx1x2?2k(x1?x2)?4 8分 1212而

y1?y2??1要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则x1?1x2?1，即答案第3页，总6页

y1y2?(x1?1)(x2?1)?0

2(k?1)x1x2?2(k?1)(x1?x2)?5?0 ③ ∴

将②式代入③整理解得7k?6，使得以CD为直径的圆过点E 。 综上可知，存在20．（1）x2?8y；（2）42．

【解析】

试题分析：（1）由条件可知k?77k?6 经验证，6，使①成立

a（2）由题意可知?2，a?8，则抛物线的方程为x2?8y；4直线l的方程为x0x?y0y?1，与抛物线方程联立消去y可得y0x2?8x0x?8?0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，再由A，B在y轴两侧，可得x1x2??考虑到SOAFB?S?AOF?SBOF?8?0，从而可知0?y0?1，再由示意图，y01?|OF|?|x1?x2|，即可知求四边形OAFB面积的最大值等价2222264x0?32y03264x0于求|x1?x2|的最大值，从而|x1?x2|?(x1?x2)?4x1x2? ??22y0y0y0

2?11217?64(1?y0)?32y0??32?2(?)???32，当且仅当y0?1时等号成立， 2y08??y041|OF|?|x1?x2|?42，即平面图形OAFB面积的最小值为42． 2a试题解析：（1）∵F(0,2)是抛物线x2?ay的焦点，∴?2，a?8，即抛物线方程为x2?8y

4∴S?2分；（2）由题意，可知直线l的方程为x0x?y0y?1，即y??x01，联立直线l与抛物x?y0y0x01?y??x??y0y0，可得y0x2?8x0x?8?0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)， 线方程??x2?8y?答案第4页，总6页

2由题意可得??64x0?32y0?0且x1x2??8?0，故0?y0?1， 8分 y0而x1?x2??8x0822，x1x2??，且x0?y0?1， 10分 y0y022264x0?32y03264x0∴|x1?x2|?(x1?x2)?4x1x2?， 12分 ??22y0y0y022?11217?64(1?y0)?32y0??32?2(?)???32， ．14分 2y08??y04当且仅当y0?1时等号成立， ∴|x1?x2|?42，∴S?1|OF|?|x1?x2|?42， 15分2即平面图形OAFB面积的最小值为42. 321．（1）在x=1处取到极小值为ln2?，在x=0处取到极大值为0；（2）(1?ln2,??)．

4【解析】

试题分析：（1）将a?1代入函数f(x)解析式，求出函数f(x)的导函数，令导函数等于零，4求出其根；然后列出x的取值范围与f?(x)的符号及f(x)的单调性情况表，从表就可得到函数f(x）的极值；（2）由题意首先求得：f?(x)?x(2ax?(1?2a))，故应按a?0,a?0,a?0分类讨论：x?1当a≤0时，易知函数f(x)在(?1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减,从而当b∈(0,1)时f(b)0时，令f?(x)?0有x=0或x?x?1?1，又要按根2a1?1大于零，小于零和等于零分类讨论；对各种情况求函数f(x）x∈(?1,b]的最大值，使2a其最大值恰为f(b)，分别求得a的取值范围，然而将所得范围求并即得所求的范围；若求得的a的取值范围为空则不存在，否则存在．

11时，f(x)?ln(x?1)?x2-x， 44x(x-1)11?x?1，化简得f?(x)?则f?(x)?（x>?1） 2分

2(x?1)x?12试题解析：（1）当a?列表如下： x (-1,0) + 增 0 0 极大值 (0,1) - 减 1 0 极小值 (1,+?) + 增 f?(x) f(x) 答案第5页，总6页

∴函数f(x)在(?1,0)，(1,+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，且f(0)=0，f(1)?ln2?3∴函数y=f(x)在x=1处取到极小值为ln2?，在x=0处取到极大值为0； 5分

43，4分 4（2）由题意f?(x)?x(2ax?(1?2a)) x?1（1）当a≤0时，函数f(x)在(?1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减,

此时，不存在实数b∈(0,1)，使得当x∈(?1,b]时，函数f(x)的最大值为f(b)； 7分 （2）当a>0时，令f?(x)?0有x=0或x?(ⅰ)当1?1， 2a1???1?11?1?和(0,+∞)上单调递增，在??1,0?上单调递?1?0即a?时，函数f(x)在??1,2a?2a2??2a??1?减，要存在实数b∈(0,1)，使得当x∈(?1,b]时，函数f(x)的最大值为f(b)，则f??1?

4a1?1?11???ln2?1?a??，因g?(a)??1???0恒成立， a?4a?4a2??1?1?1故恒有g(a)?g???ln2??0，∴a?时，（1）式恒成立； 10分 22?2?令g(a)?ln2a?1111函数f(x)在(?1,0)和(在(0,?1)?1,??)上单调递增，?1?0即0

21∴此时实数a的取值范围是1?ln2

2综上，实数a的取值范围是(1?ln2,??)． 14分 （ⅱ）当答案第6页，总6页

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