数列的综合应用

g3.1028数列的综合应用

一、知识回顾

1. 数列的概念，等差、等比数列的基本概念； 2. 等差、等比数列的通项、前n项和公式； 3. 等差、等比数列的重要性质； 4. 与数列知识相关的应用题；

5. 数列与函数等相联系的综合问题。

二、基本训练

?an?2,　n是奇1. 数列{an}中，a1?2,an?1?? ，则a5? 。

2a,　　n是偶?n2. 等差数列{an}中，a1?2，公差不为零，且a1,a3,a11恰为某等比数列的前3项，那么该等比数列的公比等于 。

23. Sn是等差数列{an}的前n项和，an?0，若am?1?am?am?1?0,S2m?1?38，则m

= 。

4. 设{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且b1?0，数列{cn}的前三项依次是1,1,2，且

cn?an?bn，则数列{cn}的前10项和为 。

5. 如果函数f(x)满足：对于任意的实数a、b，都有f(a?b)?f(a)f(b)，且f(1)?2，则

f(2)f(5)f(9)f(14)f(1274)??????? 。 f(1)f(3)f(6)f(10)f(1225)

三、例题分析

例1设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.

3

（1）若首项a1? ，公差d?1，求满足S2?(Sk)2的正整数k；

2k（2）求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有S

k2?(Sk)2成立.

例2 如图，64个正数排成8行8列方阵．符号aij(1?i?8,1?j?8,i、j?N*)表示位于第i行第j列的正数．已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q．若a11?11，a24?1，a32?， 24（1）求{aij}的通项公式；

（2）记第k行各项和为Ak，求A1的值及数列

a11 a12 a13 ? a18a21 a22 a23 ? a28? ? ? ?a81 a82 a83 ? a88{Ak}的通项公式；

（3）若Ak?1，求k的值。

例3 函数f(x)对任意x?R都有f(x)?f(1?x)?.

12n?1) (n?N*)的值． n12n?1（2）数列?an?满足：an=f(0)?f()?f()????f()?f(1)，数列?an?是等差

nnn（1）求f()和f()?f(121n数列吗？ （3）令bn?

例4. （05福建卷）已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+不

同

的

数

列

，

如

当

a=1

时

44an?122,Tn?b12?b2?b32????bn,Sn?32?16，试比较Tn与Sn的大小． n1我们知道当a取不同的值时，得到an，

得

到

无

穷

数

列

：

35111,2,,,?;当a??时,得到有穷:?数,?1,0列.

2322（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；

（Ⅱ）设数列{bn}满足b1=－1, bn+1=

1(n?N?)，求证a取数列{bn}中的任一个bn?1数，都可以得到一个有穷数列{an}； （Ⅲ）若

四、作业 g3.1028数列的综合应用

1. 等差数列?an?的前n项和为Sn，若a2?a4?a15的值为常数，则下列各数中也是常数的是（ ）

A.S7 B.S8 C.S13 D.S15

2. 已知等差数列{an}和等比数列{bn}各项都是正数，且a1?b1,a2n?1?b2n?1，那么，一定有（ ） A.an?1?bn?13?an?2(n?4)，求a的取值范围. 2B.an?1?bn?1 C.an?1?bn?1D.an?1?bn?1

1. （05广东卷）已知数列?xn?满足x2?x11，xn??xn?1?xn?2?，n?3,4,?．若22limxn?2，则 x1等于 (B)

n??（Ａ）

3（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５ 23. 等差数列所有项的和为210，其中前4项的和为40，后4项的和为80，则项数为 。

4. 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列{an}是等和数列，且a1?2，公和为5，那么a18的值为______，这个数列的前n项

和Sn的计算公式为 。

5. 三个实数6,3,?1排成一行，在6和3之间插入两个实数，3和?1之间插入一个实数，使得这六个数中的前三个、后三个分别成等差数列，且插入的三个数本身依次成等比数列，那么所插入的这三个数的和可能是：①

719；②3；③；④7。其中正确的序号44是 。

6. 用数字0, 1, 2, 3, 5组成没有重复数字的五位偶数，把这些偶数从小到大排列起来，得到一个数列{an}，则a25? 。

7. 已知等差数列{an}的公差d?0，数列{bn}是等比数列，又a1?b1?1,a2?b2,a4?b4。 （1）求数列{an}及{bn}的通项公式；

（2）设cn?an?bn，求数列{cn}的前n项和Sn（写成关于n的表达式）。

8. 设有数列{an}，a1?5，若以a1,a2,?,an为系数的一元二次方程6an?1x2?anx?1?0(n?N*，且n?2)都有根?,?满足3?????3??1。

（1）求证：数列{an?}是等比数列； （2）求an；

（3）求{an}的前n项和Sn。

129. 已知定义在R上的函数f(x)和数列?an?满足下列条件： a1?a,an?f(an?1)n， (?2,3,4,...a2?),a1 f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)(n?2,3,4,...), 其中a为常数，k为非零常数。

（1）令bn?an?1?an(n?N*)，证明数列{bn}是等比数列； （2）求数列?an?的通项公式。 答案： 基本训练

1、20 2、4 3、10 4、978 5、2?2 例题分析：

例1、（1）4 （2）an?0或an?1或an?2n?1 例2、（1）

5011aij?j?()i(1?i,j?8,i,j?N*) （2）Ak?18?()k?1(1?k?8,k?N*) （3）

22n?1111n?116,7，8 例3、（1）f()?，f()?f(为等差数列 )? （2）an?424nn2（3）当n?1时，Tn?Sn；当n?2时，Tn?Sn

例4.（I）解法一：?a1?a,an?1?1?1, an§3.7 数列的综合应用 11a?112a?1?a2?1? ?1??,a3?1??一、知识回顾a1aaa2a?11. 数列的概念，等差、等比数列的基本概念； 13a?22a4?1??.故当a?n?项和公式；时a4?0. 2. 等差、等比数列的通项、前a32a?133. 等差、等比数列的重要性质； 14. 解法二与数列知识相关的应用题； ,?a3??1.:?a4?0,?1??0a35. 数列与函数等相联系的综合问题。 11122 ?a3?1?,?a2?.?a2?1?,?a??.故当a??时a4?0.a2a33二、课前预习 2b1(II)解法一:?b1??1,bn?1??a?2,,?b??1.nn?1　n是奇bbn?1 ，则a? 。 1. 数列{an}中，a1?2,an?1??n5是偶2a,　　nn?a取数列{bn}中的任一个数不妨设a?bn.11a?bn,?a?1??1??bn?1.2. ?等差数列中，，公差不为零，且{a}a?2a1,a3,a11恰为某等比数列的前3项，那么该等比数n21ab1n列的公比等于1 1。 ?a3?1??1??bn?2.2ab2n?1?am?1?0,S2m?1?38，则m = 。{an}的前3. Sn是等差数列n项和，an?0，若am?1?am ??{bn}是等差数列，4. 设{an}是等比数列，且b1?0，数列{cn}的前三项依次是1,1,2，且cn?an?bn，11?an?1??1??b1??1.{c}则数列的前10项和为abn n?12 。 ?an?1?0.f(x)满足：对于任意的实数a、b，都有f(a?b)?f(a)f(b)，且f(1)?2，则 5. 如果函数故a取数列{bn}f中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an} f(2)f(5)(9)f(14)f(1274)??????? 。 f(1)f(3)f(6)f(10)f(1225) 作业： 三、例题分析 n(n为偶数）??23B 4、14 5、S?1，○4 7、1、C 1 2、B a 13 ； 6、○?、?(Sk)2的正整数k（）若首项 ，公差d?1，求满足nS?2k2?5n?1(n为奇数）??2（2）求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有Sk2?(Sk)2成立. n?1n32150 8、（1）an?4?3n,bn?(?2) （2）Sn?1?(n?1)?(?2) 9、（1）

1n1n?11?略 （2）an?()? （3）Sn? n例1设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn. ?5 ?(n?1)f(n)?(n?2)a(k?1) ?10、（ 1）略 （2）an??(f(a)?a)(1?kn?1)?a(k?1)? 1?k? 3222?3

§3.7 数列的综合应用 11a?112a?1?a2?1? ?1??,a3?1??一、知识回顾a1aaa2a?11. 数列的概念，等差、等比数列的基本概念； 13a?22a4?1??.故当a?n?项和公式；时a4?0. 2. 等差、等比数列的通项、前a32a?133. 等差、等比数列的重要性质； 14. 解法二与数列知识相关的应用题； ,?a3??1.:?a4?0,?1??0a35. 数列与函数等相联系的综合问题。 11122 ?a3?1?,?a2?.?a2?1?,?a??.故当a??时a4?0.a2a33二、课前预习 2b1(II)解法一:?b1??1,bn?1??a?2,,?b??1.nn?1　n是奇bbn?1 ，则a? 。 1. 数列{an}中，a1?2,an?1??n5是偶2a,　　nn?a取数列{bn}中的任一个数不妨设a?bn.11a?bn,?a?1??1??bn?1.2. ?等差数列中，，公差不为零，且{a}a?2a1,a3,a11恰为某等比数列的前3项，那么该等比数n21ab1n列的公比等于1 1。 ?a3?1??1??bn?2.2ab2n?1?am?1?0,S2m?1?38，则m = 。{an}的前3. Sn是等差数列n项和，an?0，若am?1?am ??{bn}是等差数列，4. 设{an}是等比数列，且b1?0，数列{cn}的前三项依次是1,1,2，且cn?an?bn，11?an?1??1??b1??1.{c}则数列的前10项和为abn n?12 。 ?an?1?0.f(x)满足：对于任意的实数a、b，都有f(a?b)?f(a)f(b)，且f(1)?2，则 5. 如果函数故a取数列{bn}f中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an} f(2)f(5)(9)f(14)f(1274)??????? 。 f(1)f(3)f(6)f(10)f(1225) 作业： 三、例题分析 n(n为偶数）??23B 4、14 5、S?1，○4 7、1、C 1 2、B a 13 ； 6、○?、?(Sk)2的正整数k（）若首项 ，公差d?1，求满足nS?2k2?5n?1(n为奇数）??2（2）求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有Sk2?(Sk)2成立. n?1n32150 8、（1）an?4?3n,bn?(?2) （2）Sn?1?(n?1)?(?2) 9、（1）

1n1n?11?略 （2）an?()? （3）Sn? n例1设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn. ?5 ?(n?1)f(n)?(n?2)a(k?1) ?10、（ 1）略 （2）an??(f(a)?a)(1?kn?1)?a(k?1)? 1?k? 3222?3

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