新教材人教版高中物理必修第二册教案设计-万有引力理论的成就

3.万有引力理论的成就

学习目标：1.[物理观念]理解“称量地球质量”的基本思路，了解万有引力定律在天文学上的重要应用。 2.[科学思维]理解计算太阳质量的基本思路，能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解。 3.[科学态度与责任]认识万有引力定律的科学成就，体会科学的迷人魅力，进一步认识运动与相互作用观念。

阅读本节教材，回答第55页“问题”并梳理必要知识点。

教材第55页“问题”提示：利用GMm R 2＝mg 得M ＝R 2g G ，g 为地球表面重力加速度，R 为地球半径，G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，代入数据可以算出地球的质量。

一、“称量”地球的质量

1．合理假设：不考虑地球自转。

2．“称量”依据：地面上质量为m 的物体所受的重力mg 等于地球对物体的

引力，即mg ＝G mm 地R 2，由此可解得m 地＝gR 2G 。 卡文迪什把测引力常量的实验称为“称量地球的质量”是不无道理的。

二、计算天体质量

1．计算太阳的质量：行星做匀速圆周运动的向心力由太阳与行星间的万有引

力提供，列出方程G mm 太r 2＝m 4π2r T 2，由此可解得m 太＝4π2r 3

GT 2

。 这种方法我们称之为“rT ”法(小r 大T 法，小r 是行星轨道的半径，大T 是行星的公转周期)。

质量。

3．计算行星的质量：与计算太阳的质量一样，若已知卫星绕行星运动的周期

T 和轨道半径r ，就可计算出行星的质量m 行＝4π2r 3

GT 2

。 三、发现未知天体及预言哈雷彗星回归

1．海王星的发现

英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。

2．其他天体的发现

近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。

3．预言哈雷彗星回归

英国天文学家哈雷依据万有引力定律，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年。

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)利用地球绕太阳转动，可求地球的质量。(×)

(2)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。(√)

(3)科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析。(√)

(4)冥王星被称为“笔尖下发现的行星”。(×)

2．下列说法正确的是()

A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的

B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的

C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的

D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星

D[由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星。由此可知，A、B、C错误，D 正确。]

3．已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有()

A．月球的质量B．地球的质量

C ．地球的半径

D ．地球的密度 B [由天体运动规律知G Mm R 2＝m 4π2T 2R 可得地球质量M ＝4π2R 3

GT 2

，由于不知地球的半径，无法求地球的密度，故选项B 正确。]

计算天体的质量与密度

(教师用书独具) 教材第56页“思考与讨论”答案提示：G Mm r 2＝m 4π2

T 2r ，M ＝4π2r 3

GT 2

，T 为地球绕太阳公转的周期，代入数据可计算太阳的质量，换用其他行星的相关数据计算，结果相近。因为各行星以太阳为中心天体，有r 3地T 2地＝r 3行T 2行

＝k ，k 为定值，可知估算结果相似。

(1)假设地球绕太阳做匀速圆周运动，如果知道万有引力常量G 、地球绕太阳运动的周期T 和轨道半径r ，可以计算出地球的质量吗？

(2)如果要估算出太阳的密度，应该知道哪些条件？

提示：(1)不可以。

(2)万有引力常量G 、太阳半径R 、地球绕太阳运动的周期T 和轨道半径r 。

(1)重力加速度法

若已知天体(如地球)的半径R 及其表面的重力加速度g ，根据在天体表面上物

体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg ＝G Mm R

2，解得天体的质量为M ＝gR 2

G ，g 、R 是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。

(2)环绕法

借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：

(1)利用天体表面的重力加速度求天体密度

由mg ＝G Mm R 2和M ＝ρ·4πR 33，得ρ＝3g 4πGR

。 (2)利用天体的卫星求天体密度

若已知中心天体的半径R ，环绕天体的运转周期T ，轨道半径r ，则可得G Mm r

2＝m 4π2T 2r ，中心天体质量M ＝ρ·43πR 3，联立可得ρ＝3πr 3

GT 2R

3。 特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r 可认为等于天体半径R ，则ρ＝3πGT 2

。 【例1】 (多选)若宇航员在月球表面附近自高h 处以初速度v 0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L 。已知月球半径为R ，万有引力常量为G 。则下列说法正确的是( )

A ．月球表面的重力加速度g 月＝2h v 20L

2 B ．月球的质量m 月＝2hR 2v 20GL 2

C ．月球的自转周期T ＝2πR v 0

D ．月球的平均密度ρ＝3h v 202πGL 2

AB [根据平抛运动规律，L ＝v 0t ，h ＝12g 月t 2，联立解得g 月＝2h v 20L

2，选项A 正确；由mg 月＝G mm 月R 2解得m 月＝2hR 2v 20GL 2

，选项B 正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C 错误；月球的平均密度ρ＝m 月43

πR 3＝3h v 202πGL 2R ，选项D 错误。]

求解天体质量和密度时的两种常见误区

(1)根据轨道半径r 和运行周期T ，求得M ＝4π2r 3

GT 2

是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量。

(2)混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R 表示，轨道半径用r 表示，这样就

可以避免如ρ＝3πr 3

GT 2R

3误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r 才可以认为等于天体半径R 。

[跟进训练]

1．(计算中心天体质量)中国古代的“太白金星”指的是八大行星中的金星。已知引力常量G ，再给出下列条件，其中可以求出金星质量的是( )

A ．金星绕太阳运动的轨道的半径和周期

B ．卫星绕金星表面附近运动时的线速度

C ．金星的半径和金星表面的重力加速度

D ．金星绕太阳运动的周期及地球绕太阳运动的轨道半径和周期

C [行星绕太阳运动时，万有引力提供其所需要的向心力，故有G Mm 金r

2＝m 金4π2r T 2，可得太阳的质量表达式为M ＝4π2r 3

GT 2

，而金星的质量m 金在等式中已消掉，故A 、D 错误；由G m 金m 卫R

2＝m 卫v 2R ，可得m 金＝v 2R G ，由于金星的半径不知，故不能求出金星的质量，故B 错误；在金星表面时，质量为m 的物体所受重力与金星对其

的万有引力相等，则mg ＝G m 金m R 2，得m 金＝gR 2

G ，若已知金星的半径与金星表面的

重力加速度，可以求出金星的质量，故C正确。]

2．(计算天体的密度)我国成功地进行了“嫦娥三号”的发射和落月任务，进一步获取了月球的相关数据。该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，卫星运动的路程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是θ(

弧度)，引力常量为G，月球半径为R，则可推知月球的密度是()

A．

3t2θ

4πGs3R3B．

3s3

4πθGt2R3

C．

4θπR3Gt2

3s3D．

4πR3Gs3

3θt2

B[该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，卫星运动的路程为s，卫星与月球中心连线转过的角度是θ(弧度)，所以该卫星的线速度、角速度分别为v＝

s

t，ω＝

θ

t，又因为v＝ωr，所以轨道半径为r＝

v

ω＝

s

θ。根据万有引力提供向心力，有G

Mm

r2＝m

v2

r，得月球的质量为M＝

v2r

G＝

s3

Gt2θ，又因为月球的体积为V＝

4

3

πR3，所以月球的密度ρ＝

M

V＝

s3

Gt2θ

4

3

πR3

＝

3s3

4πθGt2R3，故B正确。]

天体运动的分析与计算如图所示，太阳系的行星在围绕太阳运动。

(1)地球、火星等行星绕太阳的运动遵守什么规律？

(2)如何比较地球、火星等行星绕太阳的运动的线速度、角速度、周期及向心加速度等各量的大小关系？

提示：(1)地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力提供向心力。

设质量为m 的天体绕另一质量为M 的中心天体做半径为r 的匀速圆周运动。

(1)由G Mm r

2＝m v 2r 得v ＝GM r ，r 越大，天体的v 越小。 (2)由G Mm r

2＝mω2r 得ω＝GM r 3，r 越大，天体的ω越小。 (3)由G Mm r 2＝m ? ??

??2πT 2r 得T ＝2πr 3

GM ，r 越大，天体的T 越大。 (4)由G Mm r 2＝ma n 得a n ＝GM r

2，r 越大，天体的a n 越小。 2．天体运动的定量计算

(1)解决天体运动问题的基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立

基本关系式：G Mm r

2＝ma ，式中a 是向心加速度。 (2)常用的关系式：

①G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T

2r ，万有引力全部用来提供行星或卫星做圆周运动的向心力。

②mg ＝G Mm R

2即gR 2＝GM ，物体在天体表面时受到的引力等于物体的重力。该公式通常被称为黄金代换式。

【例2】 有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫作“矮行星”，而另外一些人把它们叫作“小行星”，谷神星就是小行星之一。现有两个这样的天体，它们的质量分别为m 1和m 2，绕太阳运行的轨道半径分别是r 1和r 2，求：

(1)它们与太阳间的万有引力之比；

(2)它们的公转周期之比。

[解析] (1)设太阳质量为M ，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引

力之比F1

F2＝

G

Mm1

r

2

1

G

Mm2

r22

＝

m1r22

m2r21。

(2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有G

Mm

r2＝m?

?

?

?

?

2π

T

2

r

所以，天体绕太阳运动的周期T＝2π

r3

GM

则两天体绕太阳的公转周期之比

T1

T2＝

r31

r32。

[答案](1)

m1r22

m2r21(2)

r31

r32

上例中，若r1＞r2，则两行星的运行的角速度ω1、ω2和线速度v1、v2的关系怎样？

提示：ω1＜ω2，v1＜v2.

[跟进训练]

3．(天体运动的定性分析)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周

运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a

地

、a

火

，它们沿轨道运行的速率分别

为v

金

、v

地

、v

火

。已知它们的轨道半径R

金

＜R

地

＜R

火

，由此可以判定() A．a金＞a地＞a火B．a火＞a地＞a金

C．v地＞v火＞v金D．v火＞v地＞v金

A[金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有G

Mm

R2＝ma，解得a＝G

M

R2，结合题中R金＜R地＜R火，可得a金＞a地＞a火，选项A正确，B错误；同理，有G

Mm

R2＝m

v2

R，解得v＝

GM

R，再结合题中R金＜R地＜R火，可得v 金

＞v

地

＞v

火

，选项C、D错误。]

4．(天体运动的定量计算)我国古代神话传说中：地上的“凡人”过一年，天上的“神仙”过一天。如果把看到一次日出就当作“一天”，某卫星的运行半径为月球绕地球运行半径的

1

36，则该卫星上的宇航员24 h内在太空中度过的“天”

数约为(已知月球的运行周期为27天)( )

A ．1

B ．8

C ．16

D ．24

B [根据天体运动公式G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得r 31r 32＝T 21T 22

，解得卫星运行的周期为3 h ，故24 h 内看到8次日出，故B 正确。]

双星问题的分析与求解

2019年7月，美国天文学家在最新一期《自然》杂志撰文称，他们发现了迄今已知宇宙中“运行速度最快的白矮星双星系统”——“ZTF J1539＋5027”，这一发现或对研究引力波具有重要意义。

如图所示，宇宙中两个靠得比较近的天体称为双星，在相互引力作用下，形成相互环绕运行的一个系统。它们绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动。

(1)两个天体做圆周运动所需的向心力有什么特点？

(2)两个天体做圆周运动的周期和角速度有什么关系？

提示：(1)大小相等。

(2)双星做圆周运动的角速度和周期都相同。

图所示。

2．特点：

(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即

G m 1m 2L 2＝m 1ω21r 1，Gm 1m 2L 2

＝m 2ω22r 2。 (2)两颗星的周期及角速度都相同，即

T 1＝T 2，ω1＝ω2。

(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L 。

3．两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即

m 1m 2＝r 2r 1

，与星体运动的线速度成正比。

4．几个基本结论(建议自行推导)

(1)轨道半径：r 1＝

m 2m 1＋m 2L r 2＝m 1m 1＋m 2

L 。 (2)星体质量：m 1＝4π2r 2L 2

GT 2

m 2＝4π2r 1L 2

GT 2

。 (3)周期：T ＝2πL L G (m 1＋m 2)。 【例3】 (多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )

A ．质量之积

B ．质量之和

C ．速率之和

D ．各自的自转角速度

[思路点拨] 双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，结合牛顿第二定律求出双星总质量与双星距离和周期的关系式，从而分析判断。结合周期求出双星系统旋转的角速度和线速度关系。

BC [由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T ＝112

s ，两中子星的角速度均为ω＝2πT ，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m 1、m 2，轨道半径分别为r 1、r 2，速率分

别为v 1、v 2，则有：G m 1m 2L 2＝m 1ω2r 1、G m 1m 2L

2＝m 2ω2r 2，又r 1＋r 2＝L ＝400 km ，解得m 1＋m 2＝ω2L 3

G ，A 错误，B 正确；又由v 1＝ωr 1、v 2＝ωr 2，则v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωL ，C 正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D 错误。]

[跟进训练]

5．(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统。它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T ，两星到某一共同圆心的距离分别为R 1和R 2，那么，双星系统中两颗恒星的质量关系描述正确的是( )

A ．这两颗恒星的质量必定相等

B ．这两颗恒星的质量之和为4π2(R 1＋R 2)3

GT 2

C ．这两颗恒星的质量之比为m 1∶m 2＝R 2∶R 1

D ．必有一颗恒星的质量为4π2R 1(R 1＋R 2)2

GT 2

BCD [对于两星有共同的周期T ，由牛顿第二定律得Gm 1m 2(R 1＋R 2)2

＝m 14π2

T 2R 1＝m 24π2

T

2R 2，所以两星的质量之比m 1∶m 2＝R 2∶R 1，C 正确；由上式可得m 1＝4π2R 2(R 1＋R 2)2GT 2，m 2＝4π2R 1(R 1＋R 2)2GT 2，D 正确，A 错误；m 1＋m 2＝4π2(R 1＋R 2)3

GT 2

，B 正确。]

1．设太阳质量为M ，某行星绕太阳公转周期为T ，轨道可视作半径为r 的圆。已知万有引力常量为G ，则描述该行星运动的上述物理量满足( )

A ．GM ＝4π2r 3

T

2 B ．GM ＝4π2r 2T 2 C ．GM ＝4π2r 2

T 3 D ．GM ＝4πr 3T

2 A [本题根据行星所受的万有引力提供其做圆周运动的向心力列方程求解。

对行星有GMm r 2＝m 4π2T 2r ，故GM ＝4π2r 3

T

2，选项A 正确。] 2．土星最大的卫星叫“泰坦”，如图。每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km ，已知引力常量G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，则土星的质量约为

( )

A ．5×1017 kg

B ．5×1026 kg

C ．7×1033 kg

D ．4×1036 kg

B [卫星绕土星运动，土星对卫星的引力提供卫星做圆周运动的向心力。设

土星质量为M ，则有GMm R 2＝m 4π2T 2R ，解得M ＝4π2R 3

GT 2

，代入数据计算可得M ＝4×3.142×(1.2×106×103)3

6.67×10－11×(16×24×3 600)

2 kg ≈5×1026 kg ，故B 正确，A 、C 、D 错误。] 3．一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要( )

A ．测定飞船的运行周期

B ．测定飞船的环绕半径

C ．测定行星的体积

D ．测定飞船的运行速度

A [取飞船为研究对象，由G Mm R 2＝mR 4π2T 2及M ＝43πR 3ρ，知ρ＝3πGT

2，故A 正确。]

4．(多选)宇宙观测发现，在宇宙中甲、乙两个星体组成的双星系统，它们同时绕其连线上的某点O 做匀速圆周运动，已知甲、乙的质量之比为7∶1，由此可知( )

A ．甲、乙的线速度大小之比为7∶1

B ．甲、乙的向心力大小之比为1∶1

C ．甲、乙的运行轨道半径之比为1∶7

D ．甲、乙的周期之比为1∶7

BC [作为双星系统，甲、乙两星体周期是相等的，角速度也是相等的，它们之间的万有引力提供各自的向心力得mω2r ＝Mω2R ，甲、乙质量比为7∶1，所以甲、乙运行轨道半径之比为1∶7，根据v ＝ωr 可知，线速度之比为1∶7，故A 错误，C 正确；它们之间的万有引力提供各自的向心力，则甲、乙向心力大小相等，故B 正确；甲、乙两星体可视为双星系统，周期是相等的，故D 错误。]

5．情境：在不久的将来，人类乘坐飞船去月球旅行或许会成为一种时尚，一个体重(连同装备)为200 kg 的旅行者，在航行到离地球表面等于地球半径高度处。

问题：若已知地球表面的重力加速度为10 m/s 2，月球的质量约为地球质量的181，月球的半径约为地球半径的14

，求： (1)此时旅行者所受的地球引力是多少？

(2)旅行者登上月球后所受的月球引力是多少？

[解析] (1)设地球的质量为M ，半径为R ，

旅行者在地面所受引力

F 1＝

G Mm R 2＝mg ＝200×10 N ＝2 000 N 旅行者在离地球表面等于地球半径高度处所受引力

F 2＝

G Mm (R ＋R )2

＝G Mm 4R 2＝14mg ＝500 N 。 (2)旅行者在月球表面所受引力

F 3＝

G M 月m R 2月＝G 181Mm ? ??

??14R 2＝1681G Mm R 2＝1681mg ＝395 N 。 [答案] (1)500 N (2)395 N

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