概率论课后习题答案 - 图文

大学概率论课后习题答案

（A）

1、写出下列随机现象的基本事件空间

（1）一次（没有顺序）抛两枚完全相同的硬币，观察每枚硬币出现正面还是反

面；

（2）先后投两颗骰子，观察每颗骰子出现的点数； （3）向某目标射击直到命中目标为止，观察射击的次数； 解（1）若?i?“有i枚正面朝上”i?0,1,2，则??{?0,?1,?2)

（2）用(x,y)表示“第一次投出x点，第二次投出y点”，则

??{(x,y)x,y?1,2,?,6}

?（3）若

?i???{?ii?N“射击i次才命中目标”i?1,2,?，则

，N为自然数集}。

?2、在分别标有0,1,?,9数字的10张卡片中任取一张，令A表示事件“抽得一张标号不大于3的卡片”；B表示事件“抽得一张标号为偶数的卡片”；C表示事件

“抽得一张标号为奇数的卡片”。请用基本事件表示下列事件：

A?B，AB，B，A?B，B?A，BC，B?C，(A?B)?C

解 令i表示“抽得一张标号为i的卡片”i?0,1,?,9，则

A?{0,1,2,3}，B?{0,2,4,6,8}，C?{1,3,5,7,9}。

A?B因此，

?{0,1,2,3,4,6,8}AB，

?{0,2}B，

?C?{1,3,5,7,9}A?B?{1,3}B?，，?{1,3}A?{4,6,8}，

BC??，B?C??，(A?B)?C

3、某厂生产流水线上甲、乙、丙3部机床是独立工作的，并由一人看管，若用

A,B,C分别表示某段时间内甲、乙、丙机床不需要照顾。试用A,B,C表示下列事

件:

1

（1）这段时间内有机床需要看管；（2）这段时间内因机床故障看管不过来而

停工。

解 （1）ABC或A?B（2）ABC?ABC?ABC?ABC?C

?AC?BC或AB

4、判断下列结论是否正确

（1）A?B?A?AB?AB （2）(A?B)?B?A

（3）(A?B)?B?A （4）(A?B)?C?A?(B?C)

解 （1）√ （2）× （3）× （4）√ 5、先用图示法简化下列各式，在利用定义或运算律证明

（1）(A?B)(B?C) （2）(A?（3）(A?B)(A?B)(A?B)

解 （1）(A?B)(B?C)?证明：(A?B)(B?C)?B?ACB)(A?B)

（图示略）

A(B?C)?B(B?C)

?AB?AC?B?AB?B?AC

?(AB?B)?AC?B?AC

（图示略）

（2）(A?证明：(A?B)(A?B)?AB)(A?B)?A(A?B)?B(A?B)?A?BA?BB?A?BA?A

（图示略）

（3）(A?证明：(A?B)(A?B)(A?B)?ABB)(A?B)(A?B)?(A?B)(AA?AB?BA?BB)?(A?B)(AB?BA)

?AAB?ABA?BAB?BBA

2

?AB?AB?AB

6、先后抛两枚匀称的硬币，求至少出现一个正面的概率。

解

P(A)?34

7、盒中有a个白球，及b个黑球，从中任取n?m（n?a,m?b），求所取的球恰

有n个白球和m个黑球的概率。

P(A)?CaCbCa?bn?mnm解

?1次（k?1?a?b8、盒中有a个白球，及b个黑球，从中任意接连取k），球被

取出后不还原，求最后取出的球是白球的概率。

P(A)?CaPa?b?1Pa?bk?11k?aa?b解

9、 有r封信随机地投入n个邮筒，求下列事件的概率:

（1）某指定k（2）有k(k?r)个邮筒中各只有一封信；

(k?r)个邮筒中各只有一封信；

(k?r)封信.

（3）某指定的一个邮筒中恰有k解 因为每一封信都有n个邮筒可供选择，所以r封信投放到n个邮筒共有nkr?kr种。

（1）某指定k(k?r)个邮筒中各只有一封信，其可能的总数为Crk!(n?k)是，所求的概率为

P1?Crk!(n?k)nrkr?k，于

kkr?k（2）有k(k?r)个邮筒中各只有一封信，其可能的总数为CnCrk!(n?k)所求的概率为

P2?CnCrk!(n?k)nrkkr?k，于是，

3

（3）某指定的一个邮筒中恰有k(k?r)封信，其可能的总数为Cr(n?1)kr?k，于是，

所求的概率为

P3?Cr(n?1)nrkr?k

10、从正整数1、2、?、N中有放回地抽取n个数，求抽到的最大数恰好是k的

概率

解 “所取数不大于k”与“所取数不大于k?1”的差额即“所取数的最大者k”。

因此，所求的概率

kp?n?(k?1)Nnn

11、自前n个正整数中随意取出两个数，求两个数之和是偶数的概率p。 解 这是一道古典型概率的题．引进事件A?{取出的两个数之和是偶数}．若

n?2k为偶数，则自前n个正整数中随意取出两个数有Cn22种不同取法，其中导致

Ck2事件A的有2Ck种（“取到两个偶数”和“取到两个奇数”各种），因此

P(A)?2C2k2Cn?n?22(n?1)．

2若

n?2k?1为奇数，则自前n个正整数中随意取出两个数有Cn222种不同取法，其中

Ck?12导致事件A的有Ck?Ck?1种（“取到两个偶数”的Ck种），因此

P(A)?Ck?Ck?1Cn222种，“取到两个奇数”的

?2k2n(n?1)?n?12n．

于是，两个数之和是偶数的概率为

?n?2?2(n?1)，若n为偶数，?p??? n?1 ，若n为奇数．??2n

4

12、从n双不同的手套中任取2k只，求其中恰有2m(m?k)只配成m双的概率。

p?CnCn?mm2(k?m)22(k?m)解

C2n2k

13、某地铁每隔五分钟有一列车通过，某乘客对列车通过该站时间完全不知道，

求该乘客到站等车时间不多于2分钟的概率。

T1解 设A={每一个乘客等车时间不多于2分钟}，乘客到该站时刻为T?(T1,T2]，

为前一列车开出时刻，T2为后一列车到达时刻，T2何概型的概率得

P(A)?25?T1?5，A?(T2?T?2)，由几

.

，求P(AB)，P(A?B)，P(AB)，

14、设事件A与B互不相容，且P(A)?p，P(B)?qP(AB)

解 P(AB)?0，P(A?B)?p?q，P(AB)?p，P(AB)?1?p?q15、盒中有10个球，6个白球，4个黑球，从中一次任取3球。求至少有一个

白球的概率。

解 记A?“至少有一个白球”，则A?“均为黑球”。

P(A)?1?P(A)?1?C433C10?2930

16、投两颗匀称的骰子,求至少有一颗的点数大于3的概率。

解 记Ai?“第i颗的点数大于3”i?1,2，

P(A1)?P(A2)?36?12，

34P(A1A2)?3622?14。

P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)?12?12?14?。

17、设A,B,C为事件,证明:

P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)

5

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