第六章、参数估计

第六章、参数估计

一、选择题：

1．若X1,X2,?,Xn是取自总体X的样本，且DX = ?，又X与S分别是样本均值与样本方差，则必有 （ ） A．S是?的矩法估计量 B．S是?的最大似然估计量 C．E(S2)?E(X) D．E(S2)??2

2．若总体X在（0，?）上服从均匀分布，?>0，X1,X2,?,Xn是取自总体X的样本，则?的矩法估计量为 （ ） A．X B．2X C．S D．2S

222222

}?3．若总体X的分布律为 P{X?x?xe??x!,x?0,1,?2 而1，2，5，7，8是X的

样本观测值，则?的最大似然估计值为 （ ）

A．4 B．5 C．23/5 D．3

4．若总体X~N(?,?) ，已知σ2 =σ20 ，则未知参数μ的置信区间为 （ ）

n?n22?(x??)(x??)?0i0??i?i?1i?1? B. A. ?,22x?x???1?22????2??22?(n?1)s(n?1)s?,2 ?x2?x????1??22?C. ?x????0nu?,x?2?0?u?? D. n2???sst?,x?t?? ?x?n2n2??5．若总体X~N(?,?) ，未知σ2，则未知参数μ的置信区间为 （ ）

n?n22?(x??)(x??)?0i0??i?i?1i?1? B. ,A. ?22x?x???1?22????2??22?(n?1)s(n?1)s?,2?x2? x????1??22?C. ?x????0nu?,x?2?0?u?? D. n2???sst?,x?t?? ?x?n2n2??6．若总体X~N(?,?2) ，已知μ=μ0 ，则未知参数σ2的置信区间为 （ ）

n?n22?(x??)(x??)?0i0??i?i?1i?1? B. A. ?,22x?x???1?22??????22?(n?1)s(n?1)s?,2?x2? x????1??22?C. ?x????0nu?,x?2?0?u?? D. n2???ssx?t,x?t????

n2n2??7．若总体X~N(?,?2) ，未知μ，则未知参数σ2的置信区间为 （ ）

n?n22?(x??)(x??)?0i0??i?i?1i?1? B. A. ?,22x?x???1?22??????22?(n?1)s(n?1)s?,2 ?x2?x????1??22?C. ?x????0nu?,x?2?0?u?? D. n2???sst?,x?t?? ?x?n2n2??8．若X1,XDX = σ2 ，则以下估计量中最有效的是（ ） X是取自总体X的一个样本，2,3122111X1?X2?X3 B．X1?X2?X3 555333111111C．X1?X2?X3 D．X1?X2?X3

632442A．

9．若X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本，EX = μ，DX = σ2 ，则 （ ） A．max{X1,X2,?,Xn}是μ的无偏估计量 B．X是μ的无偏估计量

22C．X12,X2都是σ2的无偏估计量 D．X是σ2的无偏估计量 ,?,Xn2

二、填空题：

1. 已知总体X~N(?,?)，已知???0，则参数?的置信度为1??的置信区间为 。 2. 已知总体X~N(?,?)，未知?，则参数?的置信度为1??的置信区间为 。

2223. 已知总体X~N(?,?2)，已知???0，则参数?的置信度为1??的置信区间为 。 4. 已知总体X~N(?,?2)，未知?，则参数?的置信度为1??的置信区间为 。 1

2

2三、判断题：

1. 若X1,X2,?,Xn是取自总体X的样本，且EX??,DX??2，则X是?的无偏估计

量。

2. 若X1,X2,?,Xn是取自总体X的样本，且EX??,DX??，则X是?的无偏估计

量。

3. 若??是?的有效估计量，则??是?的无偏估计量。 4. 若??是?的无偏估计量，则??一定是?的有效估计量。

5. 进行区间估计时，置信水平1??就是参数?的样本观测值落在置信区间的概率。 6. 进行区间估计时，置信区间就是参数?的置信水平1??的取值区间。 7. 统计量是样本函数。

8. 若样本函数中不含有总体分布的参数以外的任何参数，则它一定是统计量。

22

2

????(x,x,?,x)是参数?的最大似然估计值，则样本观测值x,x,?,x出现的概9. 若?12n12n率最大。

????(x,x,?,x)是?的矩法估计量，则??一定是?的无偏估计量。 10. 若?12n

四、计算题：

1.设总体X在[0,?]上服从均匀分布，即

?1?,f(x)?????0,0?x??其它

其中?＞0是未知参数，如果取得的样本观测值为x1,x2,?,xn，求?的矩估计值。 2. 设总体X服从正态分布N，即 （?，?）?1 f(x)?e?2?(x?u)22?22,???x???

其中?及?都是未知参数，如果取得的样本观测值为x1,x2,?,xn，求?及?的矩估计值。 3.设总体X服从参数为λ的泊松分布P(λ)，即

P{X?k}??kk!e??,k?0,1,2,?;??0

其中λ为未知参数，如果取得的样本观测值为x1,x2,?,xn，求参数λ的矩法估计值。 4．设总体X服从正态分布N，即 （?，?2） f(x)?21e?2??(x?u)22?2,???x???

2其中?及?都是未知参数，如果取得的样本观测值为x1,x2,?,xn，求?及?的最大似然估计值。

5.设总体X服从参数为λ的泊松分布P(λ)，即

P{X?k}??kk!e??,k?0,1,2,?;??0

其中λ为未知参数，如果取得的样本观测值为x1,x2,?,xn，求参数λ最大似然估计值。 6．设总体X服从指数分布e(λ),概率密度为

??e??x,x?0f(x)??

?0,x?0 其中λ＞0为未知参数，如果取得的样本观测值为x1,x2,?,xn，求参数λ的最大似然估计值。

7．设总体X服从“0—1”分布，即

P?x,p??px?1?p?1?x,x?0,1

如果取得的样本观测值为x1,x2,?,xn，求参数P的最大似然估计值。 8．设总体X服从几何分布，即

p?x,p??p?1?p?x?1,x?1,2???

如果取得的样本观测值为x1,x2,?,xn，求参数P的最大似然估计值。 9．设总体X的概率密度为

??x??1,0?x?1f(x)??

?0,其他 其中θ＞0，如果取得的样本观测值为x1,x2,?,xn，求参数θ的最大似然估计值。

10．设总体X的概率密度为

??x??1,0?x?1f(x)??

?0,其他 其中θ＞0，如果取得的样本观测值为x1,x2,?,xn，求：（1）EX；（2）参数θ的矩法估计值。

五、证明题：

1. 证明：样本均值X是总体均值?的无偏估计量。 2. 证明：样本方差S是总体方差?的无偏估计量。

3. 证明：样本均值X是总体均值?的一切线性无偏估计量中最有效的。 4. 证明：样本均值X是总体均值?的一致估计量。

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