概率统计练习题14-15-1

＿概 率 统 计 习题

一、填空题（每空3分 共33分）

1．某工厂一班组共有男工6人，女工4人，从中任选两名代表，则其中恰有一名女工的概率为__ 8/15 _____.

2．已知事件A、B相互独立，且P(A)=0.7，P(B)?0.4，则A、B至少有一个发生的概率为 0.58 .

3．设A、B为两个事件，且P(A)=0.7,P(B)?0.6,P(A?B)=0.4，则P(AB)? 0.5 .

?kx2,0?x?14．设随机变量X的密度函数为p(x)??，则常数k为 3 .

?0,其它??0,x?0???5. 设随机变量X的分布函数为F(x)??Asinx,0?x?，则常数A? 1 ,

2???1,x???2??cosx,0?x??X的密度函数为p(x)? ?2 .

?其它?0,1(3)、Y~B(8,),且X与Y相互独立，6．设X~P则D(X?3Y?1)? 19 , 3?XY? 0 ．

7. 设X的分布列为

X ?2 ?1 0 1 2 pK 0.2 0.1 0.4 0.2 0.1 Y 4 1 0 且Y?X,则Y的分布列为 .

2p 0.3 0.3 0.4 8. 设总体X~N(?,?)， X1,X2,X3为来自总体X的样本，则当常数a? 1/4 时

2??11X1?aX2?X3是总体均值?的无偏估计量。 42 Xm是来自总体X~N(?1,?12)的样本，X为样本均值，S12为样本方差，

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9. X1,X2,

Y1,Y2,Yn是来自总体Y~N(?2,?22)的样本，Y为样本均值，S22为样本方差，其中

?12,?22已知，对于给定的?，检验假设H0:?1??2H1:?1??2的拒绝域为

X?Y?21n1??22?Z? 。

n2二、选择题（每小题3分，共15分）

1．掷一颗均匀的骰子5次，则“一点”一次都不出现的概率为（ B ）

（A）() (B) () (C) 1?() (D) 1?() 2．已知D(X)?1，D(Y)?25,?XY?0.4,则D(X?Y)?（ A ）

（A） 22 (B) 6 (C) 30 (D) 46

3. 设E(X)?8000,D(X)?1600,则利用切比雪夫不等式估计概率

165565165565P?7800?X?8200??( C )

（A） 0.04 (B) 0.20 (C) 0.96 (D) 1.00 4．X1,X2,（ B ）

Xn是来自总体X~N(?,?)的样本，X为样本均值，则E(X)?22?2（A）??? (B) ?? (C) ? (D)

nn222?225．设X1,X2,X3,X4是来自总体X~N(0,1)的样本,则统计量为（ D ）

X1?X2X3?X422服从的分布（A）F(1,2) (B) F(2,2) (C) t(3) (D) t(2)

三（8分）已知男人中有5%色盲，女人中有0.25%色盲，今从男女人数相等的人群中

随机地挑选一人，问：（1）此人是色盲的概率是多少？

（2）若已知此人是色盲，则此人是男性的概率是多少？ 答案：(1)设B表示“此人是色盲”，A表示“此人是男人”， ---------1分 则由题意知：P(A)?0.5，P(A)?0.5， P(B|A)?5%，P(B|A)?0.25% 由全概率公式得

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P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.5?5%?0.5?0.25%=2.625% --------5分

(2) 由贝叶斯公式得

P(A|B)?P(A)P(B|A)0.5?5 ???0.952 -----------8分 2.625!P(B)四（9分）、设二维随机向量(X,Y)的联合密度函数为

?1?xy,?1?x?1,?1?y?1；?p(x,y)??4

? ?0, 其它，求：（1）边沿密度函数pX(x)，pY(y)； （2）判断X与Y是否相互独立；（3）计算P(X?Y?1)。

?11?xy?1??dy,?1?x?1??,?1?x?1??2答案：（1）pX(x)??p(x,y)dy????14，

????0,其它??0,其它11?xy??1??dx,?1?y?1?,?1?y?1???1pY(y)??p(x,y)dx????2 ---------4分 4????0,其它??0,其它5111（2）由于在p(x,y),pX(x)和pY(y)均连续的点(1处，p(1，pX(1，2,2)2,2)?162)?21111，即p(1,故X与Y不相互独立。 ---------6分 pY(12,2)?pX(2)pY(2)2)?2（3）

P(X?Y?1)?1?P(X?Y?1)?1?x?y?1??p(x,y)dxdy?1??dx?01791?xy dy?1?x9641 ---------9分

五（8分）、设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为

X Y 0 1 0 0.1 0.2 1 0.2 2 0.1 ? ?

且E(Y)?1，求：(1) 常数?与?；（2）D(X)，D(Y)；(3) cov(X,Y)。 答案：（1） Y的边沿分布 Y 0 1 2 p?j 0.3 0.2+α 0.1+β

由E(Y)?1得 0.4???2??1 ① 由分布列的性质得 0.6?????1 ②

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解得 ??0.2，??0.2 -------------3分 （?）X的边沿分布?

X 0 1

0.6 E(X)?0?0.4?1?0.6?0.6 pi? 0.4 E(X2)?02?0.4?12?0.6?0.6

2所以 D(X)?E(X)??E(X)??0.6－0.36＝0.24

2E(Y2)?02?0.3?12?0.4?22?0.3?1.6

D(Y)?E(Y2)??E(Y)??1.6?1?0.6 -------------6分

（3）E(XY)?1?1?0.2?1?2?0.2?0.6

2(X,Y)?所以 COVE(X?Y)E(X)E(?Y)0.?6?0.?6 -------------8分

??,x?1；?六（9分）、设总体X的概率密度函数为p(x;?)??x??1，其中??1是未知

?? 0, 其它，参数，X1,X2,,Xn为来自总体X的容量为n的样本。求： （1）未知参数?的矩估计量；

（2）未知参数?的极大似然估计量。

答案：（1）E(X)?令X?E(X)??????xp(x)dx????1x?xdx???1???1

???1??，得?的矩估计量为?X --------------4分 X?1

（2）似然函数为L(?)??x?i?1ini?1n??1??n(?xi)??1i?1nlnL(?)?nln??(??1)?lnxi dlnL(?)nn令???lnxi?0

d??i?1??得?的极大似然估计量为?n?lnXi?1n ---------9分

i七（9分）、设某行业的一项经济指标服从正态分布N(?,?)，其中?，?均未知，今获取了该指标的9个数据作为样本，并算得样本均值x?56.93，样本标准差s?0.93，试求?的置信度为95%的置信区间。

（附：t0.05(8)?1.86，t0.025(8)?2.31，t0.05(9)?1.83，t0.025(9)?2.26）

22

第4页（共33页）

X??~t(n?1) --------------3分 S/n???X????t?(n?1?)??1? 由 P????S/n2?得?的置信度为95%的置信区间为

答案：因为?未知，所以设T?2

??SS ?X?t?(n?1),X?t?(n?1)? --------------6分

n2n2??由已知，得n?9,??0.05，t?(n?1)=t0.025(8)?2.31，x?56.93，s?0.93

2计算得X?Sn29S0.93 X?t(n?1)?56.9?3?2.?315 7.6461?n29所以，总体均值?的置信度为95%的置信区间为（56.2139，57.641） ---------9分 八（9分）、某镇居民日收入服从正态分布N(?,?2)，现随机调查该镇25位居民，得

知他们的平均收入x?66.4元，样本标准差s?15元。试问，在??0.05下，是否可以认为该镇居民日收入的方差为16？

2222（附：?0.025(24)?39.4?0.05(24)?36.4，?0.975(24)?12.4，?0.95(24)?13.8）

2t?(n?1)?56.93?0.93?2.31?56.2139，

22答案：检验假设：H0:?2??0 ---------2分 ?162，H1:?2??0?未知，用?检验，当H0为真时，选取统计量??22(n?1)S22?0~?2(n?1) -------5分

n?25，对于显著性水平??0.05，查表得临界值为 222??(n?1)??0.025(24)?39.4，?12??(n?1)??0.975(24)?12.4，

22所以，检验假设的拒绝域为由观察值s?15得，

(n?1)S2?20?12.4，或

(n?1)S2?20?39.4， -------7分

(n?1)S22?024?152??21.09375 2162因为12.4?21.09375?39.4，所以接受原假设，即可认为该镇居民日收入的方差为16。

-----9分

第5页（共33页）

一、填空题（每空3分 共33分）

1．从0,1,2,3,4五个数中任取3个数，则这3个数中不含0的概率为__ 2 _. 52．设P(A)?0.5，P(B)?0.6,且P(BA)?0.4，则A、B至少有一个发生的概率为

0.9.

3．已知A、B相互独立，且P(A)=0.2,P(B)?0.5，则P(A-B)=0.1 .

?kx,0?x?24．设随机变量X的密度函数为p(x)??，则常数k为0.5，

?0,其它?1?Ae?x,x?05. 设随机变量X的分布函数为F(x)??，则常数A? 1 , X的密

?0,x?0?e?x,x?0度函数为p(x)? ? . ?0,x?06．设随机变量X服从参数为

1的指数分布, Y?3X?2,则E(Y)? 4 . 27.设X~N(1,4)、Y~P(5),且A与B相互独立，则D(2X?Y)? 21 ． 8.设X的分布列为

且Y?X,则P(Y?4)? 0.5 . 9.设X1,X2,X3,X4是来自总体X~N(0,1)的样本,设Y?(X1?X2)2?(X3?X4)2,则当c?

2X ?2 0 1 2 pK 0.1 0.2 0.3 0.4 12 时，cY~?(2) 2210.设总体X~N(?,?2)，其中?已知，X1,X2,Xn为来自总体X的样本，X为

样本均值，S2为样本方差，对于给定的?，检验假设H0:???0H1:???0的拒绝域为 X??0?n??z? 。

二、选择题（每小题3分，共15分）

第6页（共33页）

1．掷一枚均匀的硬币3次，则恰有一次出现正面的概率为（ C ）

（A）

1131 (B) (C) (D) 8482122．设X~B(10,)，Y~N(2,10),又E(XY)?14,则?XY?（ D ）

（A） ?0.8 (B) ?0.16 (C) 0.16 (D) 0.8 3. 设X在?0,1?上服从均匀分布，则利用切比雪夫不等式得P?X?1???21???( B ) 3?11113 (B) (C) (D) 1241244．设总体X~N(?,?2)，X1,X2,Xn是来自总体X的样本，X为样本均值，则

（A）

?2的无偏估计量为（ A ）

21n1n1n222（A） (B) (C) (D) (X?X)(X?X)XX?i?i?in?1i?1ni?1ni?1

5．已知X与Y相互独立,且X~?2(10)，Y~?2(20),则2X服从的分布为（ D ）

Y

（A）?2(30) (B)

?2(40) (C) F(20,10) (D) F(10,20)

三（8分）设8支枪中有3支未校正，5支已校正，一射手用校正过的枪射击，中靶率

为0.8，而用未校正的枪射击，中靶率为0.3，今该射手从8支枪中任取一支射击， 问：（1）中靶的概率？ （2）若已知中靶，则该射手使用校正过的枪的概率是多少？ 答案：设B表示“此人中靶”，A表示“此枪是校正过的”， ---------1分 则由题意知：P(A)?由全概率公式得

538P(B|A)?0.3 ，P(A)?， P(B|A)?0.，

885349 --------5分 P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)??0.8??0.3??88805?0.8P(A)P(B|A)840(2) 由贝叶斯公式得P(A|B)? --------8分??49P(B)4980四（9分）、设二维随机向量(X,Y)的联合密度函数为

第7页（共33页）

?x?y,0?x?2,0?y?1；? p(x,y)??3? ?0, 其它，求：（1）边沿密度函数pX(x)，pY(y)（2）判断X与Y是否相互独立；（3）计算P(Y?X)。

答案：（1）pX(x)??????1?1x?y?1dy,0?x?2(x?),0?x?2??，p(x,y)dy???03??32??0,其它0,其它??pY(y)???????2x?y?2dx,0?y?1?(1?y),0?y?1??0 ---------4分 p(x,y)dx????33??0,其它0,其它??11441144111，pX()?，644（2）由于在p(x,y),pX(x)和pY(y)均连续的点(,)处，p(,)?151111pY()?，即p(,)?pX()pY(),故X与Y不相互独立。

464444 ---------6分

1132111?(x?x?)dx?（3）P?Y?X????p(x,y)dxdy??dx?(x?y)dy ?0220x 336y?x11 ---------9分

五（8分）、设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为

X 0 1

求：(1) 常数?；（2）

Y -1 1 2 1 153 10? 15 1 15415 E(X)，E(Y)；(3) D(X)????COV(X,Y)。

15???1?3?1?4?1

1510515答案：（1）由分布列的性质得 1解得 ??1

10 ---------2分

8

（2）因为X的边沿分布列为 ?

所以E(X)?0?7X 0 1 pi? 7302330 30?1?2330?23Y 30

又因为Y的边沿分布列为 所

-1 1 2 p?j 11以

303 101 3E(Y)?(?1)?112?1?3?2?1?3 ---------4分 3010352(3) 因为E(X)?0?7

302?12?2330?2330

所以D(X)?E(X)?E(X)?23230?(23)2?161 ---------6分

30900

(4) COV(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)

?0?(?1)?1?0?1?1?0?2?1?1?(?1)?3?1?1?1?1?2?4

15101510515??3?1?8?13 ---------8分

1051530?2?x2??1,0?x?1；六（9分）、设总体X的概率密度函数为p(x;?)??，其中??0是未知

? 0, 其它，参数，X1,X2,,Xn为来自总体X的容量为n的样本。

求：（1）未知参数?的矩估计量；（2）未知参数?的极大似然估计量。 答案：（1）E(X)?令 X?E(X)??????xp(x)dx??x2?x2??1dx?012? 2??12?X??，得?的矩估计量为? --------4分 2??12(1?X) 9

（2）似然函数为L(?)??2?xi?1nn2??1i?(2?)(?xi)2??1

ni?1nlnL(?)?nln2??(2??1)?lnxi

i?1ndlnL(?)n令??2?lnxi?0

d??i?1???得?的极大似然估计量为?n2?lnXii?1n --------9分

七（9分）、一台自动车床加工的零件长度X服从正态分布N(?,?)，其中?，?均未知，从该车床加工的零件中随机抽取4个，测得样本方差s?22222，试求?的置信度为95%的152222置信区间。（附：?0.025(3)?0.22，?0.975(4)?0.48） (3)?9.35?0.025(4)?11.14，?0.975答案：因为?未知，所以设??2(n?1)S2?2~?2(n?1) --------------3分

?2?(n?1)S2??2??(n?1)由 P???(n?1)???1?? ?21?????22?得?2的置信度1??为的置信区间为

??22?(n?1)S(n?1)S?,2 ?2 -------------6分 ????(n?1)?1??(n?1)??22?222由已知，得n?4,??0.05，?0.025 (3)?0.22，s2?(3)?9.35，?0.9751523?2(n?1)S15?0.043， ?计算得2??(n?1)9.352 10

2(n?1S)15?1.82 ? 2??(n?1)0.2223?1?2所以，总体方差?2的置信度为95%的置信区间为（0.043，1.82） ---------9分

八（9分）、某日从饮料生产线随机抽取16瓶饮料，重量的平均值x?502.91克，样本标

准差s?12克，假设瓶装饮料的重量X服从正态分布N(?,?2)，试问，在??0.05下，是否可以认为该日生产的瓶装饮料的平均重量为500克？

（附：t0.05(15)?1.75，t0.025(15)?2.13，t0.05(16)?1.74，t0.025(16)?2.12，） 答案：检验假设：H0:???0?500，H1:???0 ---------2分

?2未知，用T检验，当H0为真时，选取统计量T?X??0S2n~t(n?1) -------5分

n?16，对于显著性水平??0.05，查表得临界值为t?(n?1)?t0.025(15)?2.13，

所以，检验假设的拒绝域为X??0Sn??2.13，或X??0Sn?2.13， -------7分

由观察值x?502.91，s?12得X??0Sn?502.91?5001216?0.97

因为?2.13?0.97?2.13，所以接受原假设，即可可以认为该日生产的瓶装饮料的平均重量为500克。 -----9分

一、填空题

1．设A、B、C为三个事件，这三个事件不都发生可表示为_ ABC__.

2．一盒中装有5个白球，3个黑球，从中任取两个球，恰有一个黑球的概

率为

15 . 2811

3．设A、B为两个事件，且P(A)=0.4,P(A?B)?0.7,若A与B互不

相容，则P(B)? 0.3 若A与B相互独立,则P(B)? 0.5 ?1?e?x,x?04．设随机变量X的分布函数为F(x)??，则X的密度函数

?0,x?0?e?x,x?0为p(x)??，P(X?2)? 1-e-2 . ?0,x?0 5.设二维随机变量(X,Y)的联合分布列为

0 Y 1 0.3 0.1 X 则COV(X,Y)? -0.06 .

0 1 0.3 0.3 6．设X、Y为相互独立的两随机变量，

且X~N(1,4)，Y~P(2),则D(2X?Y)? 18 ．

7.设总体X的密度函数为f(x;?)，其中?为未知参数，且E(X)?2?，

X1,X2,Xn为来自总体X的一个样本，X为样本均值，若cX为?的

无偏估计，则常数c? 0.5 . 8.设总体X~N(?,?2)，?已知，X1,X22

Xn为来自总体X的样本，

X为样本均值，S2为样本方差，对给定的?，检验假设

H0:???0H1:???0的拒绝域为 ?z?,??) 。

二、选择题（每小题3分，共15分）

??asinx,0?x??1．设X的密度函数为p(x)??2，则常数a=（ C ）

?0,其它?（A）3 (B)2 (C) 1 (D) 0

12

2．设随机变量X~B(3,)，则P(X?1)?（ C ）

（A）

13181926 (B) (C) (D) 272727273. 设E(X)?10,E(X2)?109,则利用切比雪夫不等式估计概率

P?X?10?6??( A )

（A）

153109 (B) (C) (D) 4184363．设总体X服从正态分布N(?,?2)，X1,X2,X3是从总体X中抽取的一个简单随机样本，则下列?的无偏估计量中最有效的是（ B ）

111111X1?X2?X3 (B)X1?X2?X3 442333115111(C) X1?X2?X3 (D) X1?X2?X3

84863214．设X~t(n)，(n?1)，Y?2，则Y~（ C ）

X（A）（A）

?2(n) (B) ?2(n?1) (C) F(n,1) (D) F(1,n)

三（8分）、某地区成年男性居民中肥胖者占25﹪，中等者占60﹪，瘦者占15﹪，他们患

高血压的概率依次为20﹪、8﹪、2﹪，今随机抽取一名该地区成年男性，求（1）他患高血压的概率；（2）若发现它恰好患高血压，则他是肥胖者的概率。 解：（1）设B=“此人患高血压”，

， A2?“此人是中等者”， A3?“此人是瘦者” ---------1分 A1?“此人是肥胖者”则根据全概率公式得P（B）??P(A)P(BA)

iii?13?0.25?0.2?0.6?0.08?0.15?0.02?0.101---------5分

?（2）则根据贝叶斯公式得P（A1B）

P（A1?B）0.25?0.2??0.5---------8分

P（B）0.10113

四（10分）、设二维随机向量(X,Y)的联合密度函数为

?cxy,0?x?2,0?y?2 p(x,y)??0,其它?求：（1）常数c；（2）判断X与Y是否相互独立；（3）计算P(X?Y?2)。 解：（1）???-?????-?p(x,y)dxdy????20?20cxydxdy?1，解得c?1 ---------2分 4?21?x??xydy,0?x?2?,0?x?2??2（2）?pX(x)??p(x,y)dy??04，

????0,其它??0,其它?21?y??xydx,0?y?2?,0?y?2pY(y)??p(x,y)dx??04??2

????0,其它??0,其它??且pX(x)pY(y)?p(x,y)，?X与Y相互独立。 ---------6分

（3）P(X?Y?2)?

x?y?2??p(x,y)dxdy??dx?022?x011xydy? ---------10分

64五（10分）、设随机变量X的分布律为 ?1 0 X?1

1 1 1且Y?X2

P 333 求：(1)

Y的分布列（2）D(X)，D(Y)(3)

?XY

14

解：（1）Y的分布列为 ?

Y?0 1 31 2 3P

---------2分

111122(2) ?E（X） ?（-1）??0??1??0,E（Y）?0??1??33333311121222E（X2）?（-1）??02??12??,E（Y2）?02??12??

33333332222?D（X）?E（X2）-E（X）?,D（Y）?E（Y2）-E（Y）? ---------7分

39(3)

?cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?E(X3)?E(X)E(Y)?0

??XY?

cov(X,Y)D(X)D(Y)?0 ---------10分

??c?x?(??1),x?c六（9分）、设总体X的概率密度函数为p(x)??，c?0已知，??1未

0,其它?知，X1,X2,,Xn为来自总体X的容量为n的样本。

求：（1）未知参数?的矩估计量； （2）未知参数?的极大似然估计量。 解：（1）

X?E（X）??xp(x)dx???c?x??dx?-?c????c? ??1??解得?的矩估计量为?nX ---------4分 X?cnn?n（2）L(?)???ci?1?xi?(??1)??c(?xi)?(??1)

i?1 15

lnL(?)?nln??n?lnc?(??1)?lnxi

i?1ndlnL(?)n令??nlnc??lnxi?0

d??i?1n??得?的极大似然估计量为?n?lnxi?1n ---------9分

i?nlnc七（9分）、已知灯泡的使用寿命X~N(?,?2)，某日测量10个灯泡，得x?1500h，

22s?20h，试求灯泡寿命的方差?的置信度为95%的置信区间。（附：?0.025(9)?19.023，

222(10)?3.247，?0.025?0.975(9)?2.700，?0.975(10)?20.483）

解：?(n?1)S2?2~?2(n?1) ---------3分

??21??2(n?1)?(n?1)S2?22???(n?1)?1?? 222(n?1)S(n?1)S??的置信度为1??的置信区间为(,2) ---------6分 2??(n?1)??(n?1)221?2又?n?10，s?20，1???0.95

9?2029?202??的置信度为1??的置信区间为(2.33) ,2)?(189.24,1333?0.025(9)?0.975(9)2 ---------9分

八（9分）、从1995年的新生儿中随机地抽取20个，测得平均体重x?3160克，样本标准差s?300克。根据过去统计资料知：新生儿体重服从正态分布，其平均体重为3140克，问现在与过去的新生儿体重有无显著性差异？(??0.01)？（附t0.005(19)?2.867，t0.01(19)?2.539，t0.005(20)?2.845，t0.01(20)?2.528）

解：H0：??3140 H1：??314 0 ---------2分

16

选取统计量T0?X-3140Sn, 当H0为真时，T0?X-3140Sn~t(n?1) ---------5分

对于显著性水平??0.01，拒绝域为T0?t?(n?1)?t0.005(19)?2.867 ---------7分

2又t0?3160?314030020?0.298?2.867

所以，接受H0,即现在与过去的新生儿体重没有显著性差异。---------9分

一、填空题（每空3分 共30分）

1．设A，B、C为三个事件，这三个事件至少有一个发生可表示为 __

A?B?C_____.

2．5人排成一排照相，其中a,b两人不相邻的概率为 3 . 5

3． 设事件A、B相互独立，且P(A)=0.5,P(B)?0.7,则P(A?B)?

0.35 ， P(A?B)? 0.85 ?cx2,-2?x?24．设随机变量X的密度函数为p(x)??，则常数

?0,其它c? 316 ，E(X)? 0 .

Y为相互独立的两个随机变量，Y~B(5,0.2),5．设X、且X~N(1,4)，

则D(X?2Y)? 7.2 ．

6.设随机变量X~P(5),试用切比雪夫不等式估计概率P(X?5?3)?

17

5 . 97.设X1,X2,Xn为来自总体X~N(?,?2)的一个样本，则当常数k?

21n-1 时，??k?(Xi?1ni?X)2为?2的无偏估计.

8.设总体X~N(?,?2)，?未知，X1,X2Xn为来自总体X的样本，

S2为样本方差，对给定的?，检验假设H0:?2?2H1:?2?2的拒绝

（n?1）S2??12??(n?1) 域为

2

二、选择题（每小题3分，共15分）

1．某人射击时，中靶概率为

4，如果射击直到中靶为止，则射击3次的概率为（ C ） 54342112413（A）() (B) ()? (C) ()? (D) ()

5555552．设随机变量X的密度函数为p(x)，分布函数为F(x)，则对任意的x?R,有（ B ）

? 1 (B) P(X?x)?0 （A） 0?p(x)(C) P(X?x)?F(x) (D) P(X?x)??p(u)du

0x3. 设(X,Y)~N(1,4;?1,9;?0.2),则cov(X,Y)?( A )

（A） ?1.2 (B) 1.2 (C) ?0.2 (D) 0.2

4．设总体X服从正态分布N(?,?)，X1,X2,X3,X4是从总体X中抽取的一个简单随机样本，则下列?的无偏估计量中最有效的是（ B ） （A）X1?2X2?2X3?4X4 (B)

21111X1?X2?X3?X4 444418

(C)

11112X1?X4 (D) X1?X2?X3 2210255．设T~t(n)，若P(T??)??，则P(T??)?（ D ）

（A）

? (B) 1?? (C)

?? (D) 1?

22三（8分）、某地区的人群吸烟的概率为0.2，不吸烟的概率为0.8，吸烟使人患某种疾病

的概率为0.008，不吸烟使人患某种疾病的概率为0.001，今从该地区随机抽取一人，求（1）他患该种疾病的概率；（2）若已知该人患此疾病，则他吸烟的概率是多少？ 解：解：（1）设B=“此人患该种疾病”， ， A2?“此人不吸烟”， A1?“此人吸烟”

则根据全概率公式得P（B）??P(A)P(BA)

iii?12?0.2?0.008?0.8?0.001?0.0024

?（2）则根据贝叶斯公式得P（A1B）

P（A1?B）0.00162??

P（B）0.00243四（10分）、设二维随机向量(X,Y)的联合密度函数为

?ke?x?y,x?0,y?0 p(x,y)??0,其它?求：（1）常数k；（2）判断X与Y是否相互独立；（3）计算P(0?X?1,0?Y?1)。 解：（1）???-?????-?p(x,y)dxdy??????0???0ke?x?ydxdy?1，解得k?1

???x???e?x?ydy,x?0?e,x?0??（2）?pX(x)??p(x,y)dy??0，

??0,其它?0,其它?????y???e?x?ydx,y?0?e,y?0??pY(y)??p(x,y)dx??0

???0,其它?0,其它??? 19

且pX(x)pY(y)?p(x,y)，?X与Y相互独立。

（3）P(0?X?1,0?Y?1)?

0?x?1,0?y?1?2?1?x?y?1?e?2e p(x,y)dxdy?dxedy????1100五（10分）、设随机变量(X,Y)的联合分布列为

Y X 求：(1)

-3 0 0 3 0 0.2 0 X,Y的边沿分布列 D(Y)；(3)

-3 0 3 0.2 0.2 0.2 （2）D(X)

解：（1）

X的边沿分布列为 X P -3 0.2 ?XY

0.2 0 0 0.6 3 0.2 ?

Y的边沿分布列为

Y P （2）

-3 0.2 0 0.6 3 0.2

E（X）?（-3）?0.2?0?0.6?3?0.2?0

E（Y）?（-3）?0.2?0?0.6?3?0.2?0

2E（X2）?（-3）?0.2?02?0.6?32?0.2?3.6

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