高中物理学的几个微积分解释
更新时间:2023-05-07 06:15:01 阅读量: 实用文档 文档下载
高中物理学的几个微积分解释
河南省汤阴县一中 张淑强
在普通高中数学课程中,有关于对函数求导和简单微积分知识的应用。而“应用数学知识解决物理问题”是要求高中学生所具备的能力,也是高考中所要求的“五种能力”之中很重要的一种。在物理教学中,教师可以大胆尝试,创新教法,利用简单微积分知识解释和解决一些物理学问题,既锻炼了学生的思维能力,又使一些复杂问题变得简单易懂。
一.转动金属棒电磁感应问题:
长为l 的金属棒在磁感应强度为B 的匀强磁场中垂直磁感线方向转动,角速度为ω,则该金属棒产生的感应电动势为:
ωωω20200B 21B 21d d E l l l l B l Bv l l l ====??
若围绕棒所在直线上的任一点转动,由以上积分式容易看出结果相同。
二.航天器变轨过程中能量变化问题
21121-2-2
P 2121212
1d d E r GMm r GMm r GMm r GMm r GMm GMmr r GMmr r r GMm r r r r r r r r -=???? ??--=-=-===??? 根据万有引力提供向心力公式,有关系:
r mv r GMm 2
2
= 所以轨道半径为r 的航天器的动能r GMm mv E 2212k ==
容易得到动能减少量为:???? ??==
?2121k -212-2r GMm r GMm r GMm r GMm E 对比易得:k p 2E E ?=? 机械能变化量0-2121k p >???
? ??=?+?=?r GMm r GMm E E E 即航天器由低轨道变轨为高轨道环绕地球运动时,势能增加量是动能减少量的2倍,总机械能增加。
三.弹簧弹性势能问题:
设弹簧劲度系数为k ,伸长量由x1增加为x2,则根据弹性势能增加量等于克服弹簧弹力做功,得:
212222
12121d )(2121kx kx kx x kx E x x x x p -==--=??
又因为:12p p p E E E -=? 故弹簧弹性势能表达式为22
1kx E p =
反之,如果缩短,亦可证明其表达式,只是要注意式中两个x 都是矢量,在此不再赘述。
四.动能及动能定理的积分解释
一个质量为m 的物体受力而运动加快,我们探究其所受合力做功问题:
???=*==v mv t
x t ma x ma W d d d d 求其定积分:
212222
12121d 2121mv mv mv v mv W v v v v -===? 这就是动能定理,我们很自然地看出:表示物体因运动而具有的能量的物理量--动能的表达式为22
1mv E k = 五.简谐运动中的微分理解: 例如:某简谐运动位移表达式为)sin(φω+=t A x ,其规律符合正弦函数规律,其速度即对位移求导,速度)cos()]'sin(['φωωφω+=+==t A t A x v ,易见速度变化情况符合余弦函数规律。
六.速度位移公式
位移、速度、加速度、时间是运动学中的四个关键物理量,它们的关系其实用微积分表达最准确,也便于学生真正对这几个物理量的理解。
1.积分理解:在匀速直线运动中,我们熟知位移x=vt,但对于匀变速直线运动,速度v 是变量,所以以上公式不适用,我们可以通过所学积分形式来计算,
200200002
121d )(d at t v at t v t at v t v x t
t t +=+=+==?? 2.微分理解:位移、速度、加速度、时间分别用x 、v 、a 、t 来表示,则可以写成:
a t
v v t x ==d d d d 即速度、加速度分别是位移、速度对时间的导数, 简记为 x’=v v ’=a
利用中学数学的微积分知识不难证明此关系式:
v at v at t v x at t v x =+=+=+=020202
121)’(’因为位移 这样我们利用微积分实现了运动学公式的整合,使之成为一个系统,对于学生理解物理公式以及学习数学知识非常有利,而且还开阔了学生的视野。
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