2016考研数学-线代重点题型讲义 - 图文

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重点题型---线性代数

重点题型1：行列式的综合计算 1．行列式的性质在计算中的应用

2．矩阵变换法在行列式计算（以及线性相关性） 中的应用

3．利用矩阵的性质计算抽象行列式 4．利用矩阵的特征值计算行列式 例：

?a11?设A??a21?a?31?A? B?a12a22a32A23a13??A11??a23?，B??A21?Aa33???31A12A22A32A13??A23?，则( )A33??

?B? B?A?C? B?A?D? B?0例：

已知?1,?2,?3为3维列向量，A???1?2?3?B???1??2??3,?1?3?2?9?3?1?4?2?16?3? 已知|A|??1，则|B|?____例：

设A，B为三阶矩阵，A与B相似，?1??1,?2?11为矩阵A的两个特征值，又B?1?，则3-1（A-3E）O1?1=____*OB?(?B)4例：

A，B均为n阶矩阵，满足A2?E，B2?E，|A|?|B|?0则|A?B|?____例：

设A为三阶正交矩阵，且A?0，及|B?A|??4则|E?AB|?____例：

T

1

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12341123计算1x121x1xx1xxnn?1n?2n?31

设实方阵A=(aij)4?4，满足aij?Aij，又a44??1例：(1)求|A|

?0???0(2)求方程组Ax=??的解?0????1?重点题型2：矩阵的综合运算

1．几种特殊矩阵之间的关系、性质的综合应用 2．矩阵方程

3 ．具体、抽象矩阵求逆矩阵

4．几种特殊矩阵在矩阵的逆等问题中的渗透 5．初等变换在矩阵运算中的应用 例：

0?1An?n?00nn00?10000?1?100，Aij为aij的代数余子式，

0则??Aij=_____i?1j?1例：

若??(a1,a2,a3)，??(b1,b2,b3)，?211? ??TTnA??????2?1?1?，求??及A?211???例：

?12?1??T?,?均为3维列向量，且??T??24x，求??，x及y

????1?2y???例：

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?120???A,B都是三阶矩阵，A??230??123? ??(A*)?1B?ABA?2A2，求矩阵B例：

?010???计算?100??001???例：

2014?123??001?????456010?????789??100?????2015

?100??104?????100A为可逆矩阵，P01?，P2??010?，求A?1PAP2?1 1??01?010??001?????例：

n阶矩阵A满足A3?6A2?11A?6E?0，则下列命题正确的是（A）3E?A可逆，3E?A也可逆 （B）2E?A可逆，2E?A也可逆 （C）E?A可逆，E?A也可逆 （ D）4E?A可逆，4E?A也可逆 例：

设A为n阶反对称矩阵，证明（1）对任意n维列向量?，均有?TA??0（2）若A为实反对称矩阵，k为非零实数，证明A?kE可逆重点题型3：矩阵的秩的综合判定与应用

1 ．具体矩阵秩的判定

2 ．矩阵秩的性质在抽象矩阵秩的判定中的渗透 3． 线性方程组解的理论在矩阵秩的判定中的渗透 4． 线性相关性在矩阵秩的判定中的渗透

注：秩的概念更多地会渗透到其他知识点中，在综合大题中作为判定问 题的一个重要工具。

例：?是n维单位列向量，A?E???，证明：r(A)?n

T

?121???设A=?01a?，B是3阶非零矩阵，满足BA?0，求矩阵B

?1a0???例：

3

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设A是m?n矩阵，且r(A)?n，则下列结论不正确的是（A）若AB?0，则B?0(B) 任意矩阵B，有r(AB)?r(B)(C) 存在B，使得BA?E（D）对任意矩阵B，有r(BA)?r(B)重点题型4：线性相关性的判定与应用

1．向量组线性相关性的具体判定与理论判定 2．秩的工具在判定中的应用

3．线性方程组解的理论在向量组的线性相关性判定中的应用 例：

设?1，?2，?3线性无关，?1可由?1，?2，?3线性表示，?2不能由?1，?2，?3线性表示，对任意常数k，有（A）?1，?2，?3，k?1??2线性无关(B) ?1，?2，?3，k?1??2线性相关（C）?1，?2，?3，?1?k?2线性无关（D）?1，?2，?3，?1?k?2线性相关例：

设n维列向量组?1，?2，，?m(m?n)线性无关，则n维列向量组?1，?2，，?m线性无关的充要条件是A.向量组?1，?2，，?m可由向量组?1，?2，，?m线性表示B.向量组?1，?2，，?m可由向量组?1，?2，，?m线性表示C.向量组?1，?2，，?m与向量组?1，?2，，?m等价D.矩阵A=（?1，?2，，?m）与矩阵B=（?1，?2，，?m）等价例：

设?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是（A） ?1??2?2??3?3??1（B）?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1（C）?1??2,?2??3（D）?1??3,?1??2,3?1?2?2??3

设?1，?2，?3，?4，?为4维列向量组，且A?(?1，?2，?3，?4)已知线性方程组Ax??的通解为?0?k?1?(?1,1,0,2)T?k(1,?1,2,0)T（1）?是否可由?1，?2，?3线性表示（2）求向量组?1，?2，?3，?4，?的一个极大无关组重点题型5：线性方程组解的理论与应用 1．齐次线性方程组基础解系的理论与应用

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2．各类具体与抽象线性方程组的求解

3．线性方程组解的理论与矩阵的秩、矩阵的特征值、特征向量的交叉 4．线性方程组的解的存在与结构与线性表示、线性相关性的交叉 例：

设Ax?b为三元非齐次方程组，A至少有两行不成比列，?1???1，?2，?3为Ax?b的三个线性无关解，?1???1??，?4????6???1??2??3??3??，求Ax?b的通解??3???例：

已知4阶矩阵A???1,?2,?3,?4?，其中4维向量?2,?3,?4线性无关，而a1?2a2?a3，???1??2??3??4,求AX??通解例：

已知?1??120?2?，?2???142a?，?3??33?1?6?与?1??151?a?，?2??182?2?，?3???52m10?是齐次方程组Ax?0的两个基础解系，求a,m的值例：

TTTTTT

已知A为一个m?n矩阵，r(A)?m,B为一个n?(n?m)矩阵，r(B)?n?m，又AB?0，?是满足A??0的一个n维列向量 证明：存在唯一的一个n?m维向量?，使得?=B??1?(AB)???1?1??????????100110201a?1111040b0??1??c???0?01???21012?122?142a4a?141?ab?40c21?c20??c? 1?????? ????aa?121?(a?1)2b?2a?1,b?2,c??2

例：

5

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设3阶矩阵A满足AT?4E?0，又设?1???2???3是非齐次方程组AX?b线性无关解向量（1）证明A可对角化（2）求AX?b通解重点题型6：矩阵特征值、特征向量的计算与应用 矩阵相似对角化及其应用 1．抽象矩阵特征值与特征向量的综合判定

2．矩阵特征值与特征向量在矩阵问题（行列式、秩等）中的应用 3．相似对角化的判定与应用 例：

设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4，且|E?A|?0则|2E?A|?____例：

2

设?=?a1,,an?，若a1?0，且A=??T

T（1）求Ax?0的通解（2）求A的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量例：

?32?2???设A=??k?1k?有三个线性无关特征向量?42?3???（1）求可逆矩阵P，使P?1AP为对角矩阵（2）求可逆矩阵Q，使Q?1(A2?A?2E)Q为对角矩阵例：

设二维非零向量?不是二阶矩阵A的特征向量（1）证明?,A?线性无关（2）若A2??A??6??0，求A特征值，并讨论A是否可对角化（3）在（2）的条件下，令P?(?,A?)，求B，使得P?1AP?B重点题型7：二次型的标准形正定性的判定与应用

1．二次型与实二次型的标准形及性质（与矩阵的秩、特征值的交叉） 2．正交变换下的二次型与正交相似对角化的应用 3．正定的判定、性质与应用 例：

设A为4阶实对称矩阵，且A2?2A?3E?0，若r?A?E??1,则二次型在正交变换下的标准形为____例：

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已知A是3阶实对称矩阵，a1?(1,-1,?1)T，a2?(-2,1,0)T是齐次方程组Ax?0的解，又（A-6E）??0，??0（1）求?及二次型xAx的表达式（2）求正交变换x?Qy，化二次型为标准形例：

T

设A是n阶正定矩阵，B是n阶实反对称矩阵，证明：矩阵A?B可逆例：

2

设有n元二次型f(x1,当a1,例：

22设二次型f(x1,x2,x3)?ax12?2x2?x3?8x1x2?2bx1x3?2cx2x3,xn)?(x1?a1x2)2?(x2?a2x3)2?,an满足何种条件时，f(x1,?(xn?1?an?1xn)2?(xn?anx1)2

,xn)为正定二次型?101???的矩阵A满足AB?O，其中B??000??101???（1）求正交变换X=QY化二次型为标准形（2）判断矩阵A与B是否合同

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