2016高考数学二轮复习微专题强化练习题：26函数与方程的思想、分

第一部分 二 26

一、选择题

1．(文)方程m＋1－x＝x有解，则m的最大值为( ) A．1 C．－1 [答案] A

[解析] m＝x－1－x，令t＝1－x≥0，则x＝1－t2， 15

∴m＝1－t2－t＝－(t＋)2＋≤1，故选A．

24

(理)已知对于任意的a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是( )

A．1

[解析] 将f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a看作是a的一次函数，记为g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4.

当a∈[－1,1]时恒有g(a)>0，只需满足条件

2

???g?1?>0，?x－3x＋2>0，?即?2 ?g?－1?>0，???x－5x＋6>0，

B．0 D．－2

B．x<1或x>3 D．x<2或x>2

解之得x<1或x>3.

[方法点拨] 1.函数与方程的关系

函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通过方程进行研究．

2．应用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题，是多元问题中的常见题型，常见的解题思路有以下两种：

(1)分离变量，构造函数，将不等式恒成立、方程求解等转化为求函数的最值(或值域)，然后求解．

(2)换元，将问题转化为一次不等式、二次不等式或二次方程，进而构造函数加以解决． 2．(文)(2014·哈三中二模)一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1处，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是( )

A．(1)(2) C．(2)(4) [答案] C

B．(1)(3) D．(3)(4)

[解析] 爬行路线为(4)，故选C．

时正视图为(2)；爬行路线是时，正视图为

[方法点拨] 若几何图形的位置不确定时，常常要对各种不同情况加以讨论． (理)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是( )

A．(0，6＋2) C．(6－2，6＋2) [答案] A

[解析] 若构成三棱锥有两种情形．

一种情形是三条长为2的线段围成三角形作为棱锥的底面，过BC的中点M作与BC垂直的平面α，在平面α内，以A为圆心AP＝2为半径画圆，点P在此圆周上，且不在平面ABC内时，构成三棱锥P－ABC，此时PB＝PC＝a，易求得6－2

B．(1,22) D．(0,22)

AB＝AC＝BD＝DC＝2， AD＝BC＝a，

此时2a24－>a，

4

∴0

又∵6＋2>22>6－2， 取两者的并集得，0

[方法点拨] 1.分类讨论时，标准必须统一，分类后要做到无遗漏、不重复，还要注意不越级讨论，层次分明，能避免分类的题目不要分类．

2．分类讨论的步骤：(1)确定分类讨论的对象和分类标准；(2)合理分类，逐类讨论；(3)归纳总结，得出结论．

3．分类讨论的常见类型

(1)由数学概念引发的分类讨论：如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数、一次、二次函数、正比例函数、反比例函数、幂函数、复数的概念、三角函数的定义域．

(2)由性质、定理、公式、法则的限制条件引起的分类讨论，如等比数列前n项和公式、不等式的一些性质、函数的单调性、根式的性质．

(3)由数学运算引起的分类，如除数不为0，偶次方根的被开方数非负，对数函数的底数a>0且a≠1，指数运算中对底数的限制，不等式两边同乘以一个正数(负数)，排列组合中的分类计数．

(4)由图形的不确定性引起的讨论，如图形的类型、位置，角的终边所在象限、点线面位置等，点斜式(斜截式)直线方程适用范围，直线与圆锥曲线的位置关系．

(5)由参数的变化引起的分类讨论：含参数的问题(方程、不等式、函数等)，由于参数的不同取值会导致结果不同或不同的参数求解、证明的方法不同等．

(6)由实际问题的实际意义引起的分类讨论．

y2x21

3．(文)圆锥曲线＋＝1的离心率e＝，则a的值为( )

8a＋72A．－1 11

C．－1或

3[答案] C

[解析] 因焦点在x轴上和y轴上的不同，离心率e关于a的表达式发生变化，故需分类．当焦点在x轴上时，

a＋7－8111e2＝＝，解得a＝；

43a＋7当焦点在y轴上时，

8－?a＋7?1

e2＝＝，解得a＝－1.故选C．

84

11

B． 3

D．以上均不正确

(理)将1,2,3,4,5排成一列a1a2a3a4a5(如43215中，a1＝4，a2＝3，a3＝2，a4＝1，a5＝5)，则满足a1a3，a3a5的排列个数是( )

A．10 C．14 [答案] D

[解析] ∵a3a1，a2>a3入手讨论)，

(1)当a3＝3时，a2，a4只能是4,5，共有A2A22·2种；

(2)当a3＝2时，a2，a4可以为3,4,5，∵a5

1∴共有A12A3种；

B．12 D．16

(3)当a3＝1时，从剩下4个元素中选两个排在a1，a2位置，只有一种排法，余下两个排在a4，a5位置也只有一种排法，∴有C24种．

212综上知，共有A2A12A2＋A2·3＋C4＝16种．

x2y24．若a>1，则双曲线2－＝1的离心率e的取值范围是( )

a?a＋1?2A．(1，2) C．[2，5] [答案] B

22

c2a＋?a＋1?11

[解析] e＝()＝＝1＋(1＋)2，因为当a>1时，0<<1，所以2

2

B．(2，5) D．(3，5)

5．如图所示，在△AOB中，点A(2,1)，B(3,0)，点E在射线OB上自O开始移动．设OE＝x，过E作OB的垂线l，记△AOB在直线l左边部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )

[答案] D

1112

[解析] 当0

224111

当2

2223

是开口向下，以(3，)为顶点的抛物线．

2当x>3时，f(x)是确定的常数，图象为直线． 二、填空题

→→→

6．如图，正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点．设AP＝αAB＋βAF(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．

[答案] [3,4]

[解析] 建立如图所示的直角坐标系，设正六边形边长为2，则C(2,0)，A(－1，－3)，B(1，－3)，D(1，3)，E(－1，3)，F(－→→→2,0)，设P(x，y)可得AP＝(x＋1，y＋3)，AB＝(2,0)，AF＝(－1，3)，

?x＋1＝2α－β，x＋1＋3y＋31→→→∵AP＝αAB＋βAF，∴?则α＋β＝＝22?y＋3＝3β，

x＋

313

y＋2，当点P在如图阴影部分所示的平面区域内时，可作平行直线系x＋y＋2＝z，222

13

当直线过点E或C时，α＋β取得最小值，(α＋β)最小值＝×2＋×0＋2＝3；当直线过点D

2213

时，α＋β取得最大值，(α＋β)最大值＝×1＋×3＋2＝4，则α＋β的取值范围是[3,4]．

22

[方法点拨] 和函数与方程思想密切关联的知识点

(1)函数与不等式的相互转化．对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．

(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．

(3)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．

111＝(t－m)2－m2－， 222ππ又因为x∈[，]，

42

π

t＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)，

4所以1≤t≤2.

当m<1时，g(t)在[1，2]上单调递增， 当t＝1时g(t)取得最小值，得－m＝2， 所以m＝－2，符合题意；

当m>2时，g(t)在[1，2]上单调递减， 1

当t＝2时，g(t)取得最小值，得－2m＝2，

232所以m＝－，与m>2矛盾；

4

11

当1≤m≤2时，g(t)在t＝m处取得最小值，得－m2－＝2，所以m2＝－5，无解．

22ππ

综上，当函数f(x)在区间[，]上的最小值等于2时，实数m的值等于－2.

42

11．(文)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a.(a∈R)，设数列的前n项和为Sn

111

且，，成等比数列． a1a2a4

(1)求数列{an}的通项公式及Sn；

11111111

(2)记An＝＋＋＋?＋，Bn＝＋＋＋?＋，当n≥2时，试比较An与

S1S2S3Sna1a2a22a2n－1

Bn的大小．

111

[解析] 设等差数列{an}的公差为d，由()2＝·，得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)．

a2a1a4因为d≠0，所以d＝a1＝a. an?n＋1?

所以an＝na，Sn＝.

21211

(2)因为＝(－)，所以

Snann＋1

111121An＝＋＋＋?＋＝(1－)．

S1S2S3Snan＋1

1111－

因为a2n－1＝2n1a，所以Bn＝＋＋＋?＋

a1a2a22a2n－11

1－??n

2121

＝·＝(1－n)， a1a21－2

1n

由n≥2时，2n＝C0n＋Cn＋?＋Cn>n＋1，

即1－

11

<1－n，

2n＋1

所以，当a>0时，AnBn. (理)已知f(x)＝

x1

，数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)(n∈N*)，

33x＋1

?1?

(1)求证：数列?a?是等差数列；

?n?

xx2xn

(2)记Sn(x)＝＋＋?＋(x>0)，求Sn(x)．

a1a2an[分析] (1)找出an与an＋1关系； (2)用错位相减法求和． [解析] (1)由已知得an＋1＝∴

1

an， 3an＋1

3an＋1111＝＝3＋.∴－＝3.

ananan＋1anan＋1

?n?

?1?

∴?a?是首项为3，公差为3的等差数列．

1

(2)由(1)得＝3＋3(n－1)＝3n，

an∴Sn(x)＝3x＋6x2＋9x3＋?＋3nxn.

3?n＋1?n

x＝1时，Sn(1)＝3＋6＋9＋?＋3n＝；

2x≠1时，Sn(x)＝3x＋6x2＋9x3＋?＋3nxn， xSn(x)＝3x2＋6x3＋?＋3(n－1)xn＋3nxn1，

＋

(1－x)Sn(x)＝3x＋3x2＋?＋3xn－3nxn1，

＋

3x－3?n＋1?xn1＋3nxn2

Sn(x)＝. ?1－x?2＋

＋

3

综上，当x＝1时，Sn(1)＝n(n＋1)，

23x－3?n＋1?xn1＋3nxn2

当x≠1时，Sn(x)＝.

?1－x?2＋

＋

[方法点拨] 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，均值定理、等比数列的求和公式等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否进行分类讨论．

12．(文)设函数f(x)＝ex－ax－2. (1)求f(x)的单调区间；

(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f ′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．

[分析] (1)求函数f(x)的单调区间，需判断f ′(x)的正负，因为含参数a，故需分类讨论；(2)分离参数k，将不含有参数的式子看作一个新函数g(x)，将求k的最大值转化为求g(x)的最值问题．

[解析] (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x)＝ex－a. 若a≤0，则f ′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．

若a>0，则当x∈(－∞，lna)时，f ′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f ′(x)>0， 所以，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增． (2)由于a＝1，所以(x－k)f ′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1. 故当x>0时，(x－k)f ′(x)＋x＋1>0等价于 x＋1

k0)． e－1x＋1

令g(x)＝x＋x，则

e－1

－xex－1ex?ex－x－2?

g′(x)＝x＋1＝. ?e－1?2?ex－1?2由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上单调递增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．故g′(x)在(0，＋∞)存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．

当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0.所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)．又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．

由于①式等价于k

[方法点拨] 本题考查导数的应用及参数的取值范围的求法．利用导数求参数的取值范围时，经常需将参数分离出来，转化为恒成立问题，最终转化为求函数的最值问题，求得参数的取值范围．

(理)设函数f(x)＝x3－kx2＋x(k∈R)． (1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)当k<0时，求函数f(x)在[k，－k]上的最小值m和最大值M. [解析] f′(x)＝3x2－2kx＋1.

(1)当k＝1时f′(x) ＝3x2－2x＋1，Δ＝4－12＝－8<0，

∴f′(x)>0，f(x)在R上单调递增．即f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，f(x)没有单调递减区间．

k

(2)当k<0时，f′(x)＝3x2－2kx＋1，其开口向上，对称轴x＝ ，且过(0,1)．

3

①

(i)当Δ＝4k2－12＝4(k＋3)(k－3)≤0，即－3≤k<0时，f′(x)≥0，f(x) 在[k，－k]上单调递增，

从而当x＝k时，f(x)取得最小值 m＝f(k)＝k，

当x＝－k时，f(x) 取得最大值M＝f(－k)＝－k3－k3－k＝－2k3－k.

(ii)当Δ＝4k2－12＝4(k＋3)(k－3)>0，即k<－3时，令f′(x)＝3x2－2kx＋1＝0 k＋k2－3k－k2－3

解得：x1＝，x2＝，注意到k

33

12k

(注：可用韦达定理判断x1·x2＝，x1＋x2＝>k，从而k

33判断)

∴m＝min{f(k)，f(x1)}，M＝max{f(－k)，f(x2)}

32

∵f(x1)－f(k)＝x1－kx21＋x1－k＝(x1－k)(x1＋1)>0，

∴f(x)的最小值m＝f(k)＝k，

23∵f(x2)－f(－k)＝x32－kx2＋x2－(－2k－k)

＝(x2＋k)[(x2－k)2＋k2＋1]<0， ∴f(x)的最大值M＝f(－k)＝－2k3－k.

综上所述，当k<0时，f(x)的最小值m＝f(k)＝k，最大值M＝f(－k)＝－2k3－k. x2y213．(文)(2015·北京西城区二模)设F1，F2分别为椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦

ab点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，且|AB|＝2.

(1)若椭圆E的离心率为

6

，求椭圆E的方程； 3

(2)设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：|OP|>2. [解析] (1)设c＝a2－b2， c6由题意得a2＋b2＝4，且＝，

a3解得a＝3，b＝1，c＝2， x22

所以椭圆E的方程为＋y＝1.

3

x2y2

(2)证明：由题意得a＋b＝4，所以椭圆E的方程为2＋＝1，则F1(－c,0)，F2(c,0)，

a4－a22

2

c＝a2－b2＝2a2－4.

设P(x0，y0)，由题意知x0≠±c， y0则直线F1P的斜率kF1P＝，

x0＋cy0直线F2P的斜率kF2P＝，

x0－c所以直线F2P的方程为y＝

y0(x－c)， x0－c

－y0c－y0c

当x＝0时，y＝，即点Q(0，)，

x0－cx0－cy0所以直线F1Q的斜率为kF1Q＝，

c－x0因为以PQ为直径的圆经过点F1， 所以PF1⊥F1Q，

y0y0所以kF1P×kF1Q＝×＝－1，

x0＋cc－x0

22

化简得y20＝x0－(2a－4)， ①

又因为P为椭圆E上一点，且在第一象限内， x2y200所以2＋＝1，x0>0，y0>0， ②

a4－a2a21

联立①②，解得x0＝，y0＝2－a2，

221222

所以|OP|2＝x20＋y0＝(a－2)＋2， 2因为a2＋b2＝4<2a2，所以a2>2， 所以|OP|>2.

(理)(2015·新课标Ⅱ理，20)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.

(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

m?(2)若l过点??3，m?，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．

[立意与点拨] 考查直线的斜率、椭圆方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系．(1)问中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解；(2)根据(1)中结论，设直线OM方程并与椭圆方程联立，求得M坐标，利用xP＝2xM以及直线l

m

过点(，m)列方程求k的值．

3

[解析] (1)设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝x1＋x2kb

kx＋b代入9x2＋y2＝m2，得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故xM＝＝－2，yM＝kxM

2k＋9＋b＝

9byM9

.于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－9.所以直线OM的斜率与l的

xMkk＋9

2斜率的乘积为定值．

(2)四边形OAPB能为平行四边形．

m

因为直线l过点(，m)，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3.

39??y＝－kx，9

由(1)得OM的方程为y＝－x.设点P的横坐标为xP.由?k

??9x2＋y2＝m2，即xP＝

得x2P＝

k2m2

，

9k2＋81

m?3－k?mk?k－3?±kmm

.将点(，m)的坐标代入直线l的方程得b＝，因此x＝.四M

333?k2＋9?3k2＋9

±km

＝

3k2＋9

边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM.于是

mk?k－3?2×2.解得k1＝4－7，k2＝4＋7.因为ki>0，ki≠3，i＝1,2，所以当l的斜率为4－7

3?k＋9?或4＋7时，四边形OAPB为平行四边形．

m

过点(，m)列方程求k的值．

3

[解析] (1)设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝x1＋x2kb

kx＋b代入9x2＋y2＝m2，得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故xM＝＝－2，yM＝kxM

2k＋9＋b＝

9byM9

.于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－9.所以直线OM的斜率与l的

xMkk＋9

2斜率的乘积为定值．

(2)四边形OAPB能为平行四边形．

m

因为直线l过点(，m)，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3.

39??y＝－kx，9

由(1)得OM的方程为y＝－x.设点P的横坐标为xP.由?k

??9x2＋y2＝m2，即xP＝

得x2P＝

k2m2

，

9k2＋81

m?3－k?mk?k－3?±kmm

.将点(，m)的坐标代入直线l的方程得b＝，因此x＝.四M

333?k2＋9?3k2＋9

±km

＝

3k2＋9

边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM.于是

mk?k－3?2×2.解得k1＝4－7，k2＝4＋7.因为ki>0，ki≠3，i＝1,2，所以当l的斜率为4－7

3?k＋9?或4＋7时，四边形OAPB为平行四边形．

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