备战2019高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题09 函数零点问题的解题模板（原卷版） - 图文

【高考地位】

函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查.

【方法点评】

一、零点或零点存在区间的确定

使用情景：一般函数类型

解题模板：第一步 直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否大于0；

第二步 若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可.

例1 函数f?x??e?4x?3的零点所在的区间为（ ）

xA．?0,??1??11??13??3? B． C． D．,,??????,1? 4?4224?????4?【变式演练1】方程2x?x?2?0的解所在的区间为（ ）

A．(?1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)

【变式演练2】函数f(x)?log2x?1的零点所在区间（ ） x11(0,)(,1)2 B．2 C．(1,2) D．(2,3) A．

二、零点的个数的确定

方法1：定义法

使用情景：一般函数类型

解题模板：第一步 判断函数的单调性；

第二步 根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，

则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其零点；

第三步 得出结论.

例2.函数f(x)?e?3x的零点个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3

【变式演练3】函数f(x)?2?x?2在区间（0,1）内的零点个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3

【变式演练4】方程x?3sinx的根的个数是（ ）

x3xA．3 B．4 C．5 D．6

【变式演练5】已知函数f?x??xlnx，g?x??xe?x．

（1）记F?x??f?x??g?x?，求证：函数F?x?在区间?1，???内有且仅有一个零点； （2）用min?a，b?表示a，b中的最小值，设函数h?x??min?f?x?，g?x??，若关于x的方程h?x??c（其中c为常数）在区间?1，???有两个不相等的实根x1，x2，?x1?x2?，记F?x?在?1，???内的零点为x0，试证明：

方法2：数形结合法

使用情景：一般函数类型

解题模板：第一步 函数g(x)有零点问题转化为方程f(x)?m(x)有根的问题；

第二步 在同一直角坐标系中，分别画出函数y?f(x)和y?m(x)的图像； 第三步 观察并判断函数y?f(x)和y?m(x)的图像的交点个数；

第四步 由y?f(x)和y?m(x)图像的交点个数等于函数g(x)?0的零点即可

得出结论.

例3. 方程()x?|log3x|的解的个数是 （ ） A．3 B．2 C．1 D．0

【变式演练6】已知定义在R上的偶函数f?x?满足f?x?4??f?x?，且当0?x?2时，

x1?x2?x0． 213若方程f?x??mx?0恰有两个根，则m的取值范围是（ ） f?x??min??x2?2x,2?x?，

1A．(??,?)3111(,+?) B．(??,?][,+?) 3331111C．(?2,?)?(,2) D．[?2,?][,2]

3333?2?x?1(x?0)【变式演练7】已知函数f(x)??，若方程f(x)?x?a有且只有两个不相等

?f(x?1)(x?0)的实数根，则实数a的取值范围为（ ）

A.(??,0] B.[0,1) C.(??,1) D.[0,??)

?x2?6x?6,x?0【变式演练8】设函数f(x)??，若互不相等的实数x1，x2，x3满足

3x?4,x?0?f(x1)?f(x2)?f(x3)，则x1?x2?x3的取值范围是（ ）

A.(

202620261111,] B.(,) C.(,6] D.(,6) 333333【高考再现】

?x2?(4a?3)x?3a,x?0,1. 【2019高考天津理数】已知函数f（x）=?（a>0,且a≠1）在R

?loga(x?1)?1,x?0上单调递减，

且关于x的方程|f(x)|?2?x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ） （A）（0，

22312] （B）[，] （C）[，]33433{

312}（D）[，）433{

3} 4x?m?|x|,2.【2019高考山东理数】已知函数f(x)??2 其中m?0，若存在实数b，

x?2mx?4m,x?m?使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________. 3. 【2019高考新课标1卷】（本小题满分12分）已知函数f?x???x?2?ex?a?x?1?有两个零点.

(I)求a的取值范围；

(II)设x1,x2是f?x?的两个零点,证明：x1?x2?2.

2

4. 【2019高考江苏卷】（本小题满分16分）

已知函数f(x)?ax?bx(a?0,b?0,a?1,b?1). 设a?2,b?1. 2（1）求方程f(x)?2的根;

（2）若对任意x?R,不等式f(2x)?mf(x)?6恒成立，求实数m的最大值； （3）若0?a?1,b＞1，函数g?x??f?x??2有且只有1个零点，求ab的值。

??2?x,x?2,5.【2019高考天津，理8】已知函数f?x??? 函数g?x??b?f?2?x? ，2???x?2?,x?2,其中b?R，若函数y?f?x??g?x? 恰有4个零点，则b的取值范围是( )

（A）?7??7???7??7?,??? （B）???,? （C）?0,? （D）?,2?

4??4???4??4??x3,x?a6.【2019高考湖南，理15】已知f(x)??2，若存在实数b，使函数g(x)?f(x)?b?x,x?a有两个零点，则a的取值范围是 .

7.【2019高考安徽，理15】设x3?ax?b?0，其中a,b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号）

①a??3,b??3；②a??3,b?2；③a??3,b?2；④a?0,b?2；⑤a?1,b?2.

?2x?a?x?1??fx?8.【2019高考北京，理14】设函数???

4x?ax?2a?x≥1.??????

①若a?1，则f?x?的最小值为 ；

．

②若f?x?恰有2个零点，则实数a的取值范围是

9.【2019高考江苏，13】已知函数f(x)?|lnx|，g(x)???0,0?x?1，则方程2?|x?4|?2,x?1|f(x)?g(x)|?1实根的个数为

【反馈练习】

1．【 2019年福建福州外国语学校高二上月考一数学试卷, 理2】函数f(x)?()x?x?2的零点所在的一个区间是（ ）

A．??1,0? B．?0,1? C．?1,2? D．?2,3? 2. 【2019届山西省名校高三9月联考数学试卷, 文4】函数f(x)?x?3|x|?1(x?1)的零点所在区间为（ ）

3121111111,?)和(,)

34223321111111C．(?,?)和(,1) D．(?,?)和(,)

2323432A．(?,?)和(,1) B．(?3. 【2019届福建福州外国语学校高三上月考一数学试卷, 理6】已知二次函数

f(x)?ax2?bx?c满足2a?c?b且c?0，则含有f(x)的零点的一个区间是（ ） 2A．(0,2) B．(?1,0) C．(0,1) D．(?2,0)

4. 【2019届甘肃肃南裕固族自治县一中高三10月月考数学试卷, 文12】已知函数

?x??2?1,?x?0?，若方程f?x??x?a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的f?x?????f?x?1?,?x?0?取值范围为（ ）

A．???,0? B．?0,1? C．???,1? D．?0,???

5. 【2019届河南郑州一中教育集团高三押题二数学试卷, 文12】已知定义域为R的偶函数

f(x)满足对任意的x?R，有f(x?2)?f(x)?f(1)，且当x?[2,3]时，

f(x)??2x2?12x?18．若函数y?f(x)?loga(x?1)在(0,??)上至少有三个零点，则实

数a的取值范围是（ ） A．(0,23) B．(0,)

3256) D．(0,) 56C．(0,?x2?4x,x?06. 【2019届山西康杰中学高三10月月考数学试卷, 文12】已知函数f(x)??，

?xlnx,x?0g(x)?kx?1，若方程f(x)?g(x)?0在x?(?2,2)有三个实根，则实数k的取值范围为

（ ）

A．(1,) B．(ln23,) C．(,2) D．(1,ln2e)3232323(,2) 27. 【2019届贵州遵义四中高三上月考一数学试卷, 文12】已知函数

?x2?(4a?3)x?3a,x?0,(a?0,且a?1)在R上单调递减，且关于x的方程f(x)???loga(x?1)?1,x?0|f(x)|?2?x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）

223] B.[，] 334123123C.[，]{} D.[，）{}

334334A.（0，

f(x)满足对任意的x?R，有f(x?2)?f(x)?f(1)，且当x?[2,3]时，

f(x)??2x2?12x?18．若函数y?f(x)?loga(x?1)在(0,??)上至少有三个零点，则实

数a的取值范围是（ ） A．(0,23) B．(0,)

3256) D．(0,) 56C．(0,?x2?4x,x?06. 【2019届山西康杰中学高三10月月考数学试卷, 文12】已知函数f(x)??，

?xlnx,x?0g(x)?kx?1，若方程f(x)?g(x)?0在x?(?2,2)有三个实根，则实数k的取值范围为

（ ）

A．(1,) B．(ln23,) C．(,2) D．(1,ln2e)3232323(,2) 27. 【2019届贵州遵义四中高三上月考一数学试卷, 文12】已知函数

?x2?(4a?3)x?3a,x?0,(a?0,且a?1)在R上单调递减，且关于x的方程f(x)???loga(x?1)?1,x?0|f(x)|?2?x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）

223] B.[，] 334123123C.[，]{} D.[，）{}

334334A.（0，

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