广东省深圳外国语学校2009届高三上学期第二次统测（数学文）

广东省深圳外国语学校2009届高三上学期第二次统测

（数学文）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室

号、座位号填写在答题卡上。

2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息

点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指

定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后在写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的无效。

4、作答选做题时，请现用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息

点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式V?1sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。 3第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题：（本大题共10小题，每题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1、设集合M?xx2?3?0，则下列关系式正确的是（ ） A.0?M B.0?M C.0?M D.3?M 2、设复数z1?1?i,z2?2?bi，若z1?z2为实数，则b=( ) A.2 B.1 C.-1 D.-2 3、下列四个命题中，真命题的个数为（ ） （1）若两平面有三个公共点，则这两个平面重合； （2）两条直线可以确定一个平面；

（3）若M??，M??,????l,则M?l；

（4）空间中，相交与同一点的三条直线在同一平面内。 A.1 B.2 C.3 D.4 4、下列函数中，最小正周期为?，且图像关于直线x?A.y?sin(2x????3对称的是（ ）

) B. y?sin(2x?) 36?x?C.y?sin(2x?) D. y?sin(?)

6265、公差不为0的等差数列?an?中，有2a3?a7?2a11?0，数列?bn?已知是等比数列，

2??且b7?a7则b6b8= ( )

A.2 B.4 C.8 D.16

6、在△ABC中，a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边，设向量m=(b-c,c-a),n=(b,c+a),若m⊥n,则角A的大小为（ ） A.

2???? B. C. D.

36327、若a,b是常数, 则“a?0且b2?4a?0”是“对任意x?R,有ax2?bx?1?0”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)?f(x?2)，当x??3,4?时，f(x)?x?2，则（ ）

A.f(sin)?f(cos) B. f(sin)?f(cos) 2233C. f(sin1)?f(cos1) D. f(sin)?f(cos)

22x?0?x?2y?3?y?09、设x,y满足约束条件?，则的取值范围是（ ）

x?1?4x?3y?12?A.?,11? B. ?,11? C.?,11? D.?,11? ?2??2??2??2?1212???3??3??3??3?10、已知函数f(x)?2x2?(4?m)x?4?m,g(x)?mx，对于一切实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个是正数，则实数m的范围是（ ）

4? B.（-4，4） C.???，4? D.???，?4? A.??4，第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、 填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分）

（一） 必做题（11—13题） 11、已知集合P??0，m?,Q?x2x2?5x?0,x?Z，若P?Q??,则m= 。 12、函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x?2)???1，若f(x)开始K=1S=0f(1)??5，则f(f(5))= 。

13、已知整数对的序列如下：(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1), (1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,则第60个数对是 。 （二） 选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）

14、如果执行如图所示的程序框图，则输出的S= 。

k?20？NYS=s+2kK=k+1输出s结束

15、若复数z同时满足z?z?2i,z?iz(i为虚数单位），则z? 。

三、解答题：本大题6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16、（本小题满分12分） 已知A,B,C是三角形ABC三内角，向量m=(-1,3),n=(cosA,sinA),且m·n=1. (1) 求角A; (2) 若

1?sin2B??3,求tanB。 22cosB?sinB 17、（本小题满分13分）

某市环保局为贯彻十七大报告提出加大保护环境力度方针。调查了该市水泥厂的污染情况，调查发现，水泥厂的烟囱向其他周围地区散落烟尘造成环境污染。已知A,B两座水泥厂烟囱相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘是A烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比（比例系数均为k）。若C是AB连线上的点，设AC=x km,C点的烟尘浓度记为y。 （1）写出y关于x的函数表达式；

（2）是否存在这样的点C，使该点的烟尘浓度

CB最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，A说明理由。 18、（本小题满分14分）

A1如图所示，已知矩形ABCD中，AB=10,BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上。 DC（1） 求证：BC⊥A1D;

（2） 求证：平面A1BC⊥平面A1BD; （3） 求三棱锥A1-BCD的体积。

BA

19、（本小题满分13分） 已知开口向上的二次函数f(x)，对任意x?R，恒有f(2?x)?f(2?x)成立，设向量

a=(x?2?2x?1,1)，b=(1,2)。求不等式f(a·b)

20、（本小题满分14分）

数列?an?满足a1?2,an?1?an?6an?6(n?N*)。

2（1） 求数列?an?的通项公式； （2） 设bn?11?2，数列?bn?的前n项和为Tn，求证： an?6an?6an?51?Tn??。 164

21、（本小题满分14分） 已知f(x)?x3?bx2?cx?2。

（1）若f(x)在x=1时有极值-1，求b,c的值；

（2）当为b非零实数时，证明f(x)的图像不存在与直线

（b2?c)x?y?1?0平行的切线；

(3)记函数f'(x)(?1?x?1)的最大值为M，求证：M?

3。 2（数学文）答案及评分标准

一、选择题：本大题考察基本知识和基本运算。共10小题，每小题5分，满分50分。 题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 B 5 D 6 B 7 A 8 C 9 A 10 C 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分。其中14-15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只记前一题得分。 11.1或2 12. ?1 13.（5，7） 14.420 15.?1?i 5解答：

21、由x?3?0??3?x?3。故选A。

2、z1?z2??1?i??2?bi???2?b???2?b?i?R,?2?b?0,b??2。

3、（1）是假命题，两平面也可能相交；（2）是假命题，若两直线是异面直线，不可能确定一个平面；（4）是假命题，两相交直线确定一个平面，第三条直线过该交点，可与该平面相交。 4、由T?2??得??2，排除D，将x?22?3带入另三项，得B的值为1，故选B。

5、由2a3?a7?2a11?0得4a7?a7?0?a7?0或a7?4，

?a7?b7?0,?a7?4,?b6b8?b7?a7?16。

6、m⊥n? m·n=0?(b?c)b?(c?a)(c?a)?0?b2?c2?a2

22?bc?cosA?1??A?。 237、 “对任意x?R,有ax2?bx?1?0”的等价命题是：a=0时，必有b=0；或a?0时，

b2?4a?0。

8、设x???1,0?，则x?4??3,4?，f(x)?f(x?2)?f(x)?f(x?4)?(x?4)?2

?x?2，故当x???1,0?时为单调增函数，同时又为偶函数，

?y?f(x)在?0,1?上为单调减函数，又?1?sin1?cos1?0，

故f(sin1)?f(cos1)。

9、?y4xx?2y?32?y?1?y?1o3，而表示过点(x,y)与（-1.-1）?1?x?1x?1x?1C(-1,-1)y?1连线的斜率,所以可作出可行域，知的最小值是

x?1?1?01?1?4?3??，最大值是?5，故所求范围是?,11?。

?1?34?1?2?10、法一：取m=-4，?f(x)?2x2?8x?8?2?x?2?,g(x)??4x，在x??2时，恒

2有f(x)>0，在x=-2时,g(x)=8>0,故m=-4符合题意，淘汰B,D。又取m=4,f(x)?2x2, g(x)=4x,在x=0时,f(x)=g(x)=0,故m=4不合题意，淘汰A，选C。

法二：m=0时，f(x)?2x2?4x?4?2(x?1)2?2?0；当-40;当m??4时,f(x)?2x2?(4?m)x?4?m的两根x1?0,x2?0,?当

x1?x?x2?0时,g(x)=mx>0(此时m,x均为负数),当x?x1或x?x2时,f(x)>0.故

m??4符合题意,综上所述,m<4。

11、?Q??x0?x????5,x?Z???1,2?，又?0?Q,P?Q??,?m?Q,?m?1或2. 2?12、由f(x?2)?11?f(x),?f(5)?f(1)??5,?f(f(5)) 得f(x?4)?f(x?2)f(x)

=f(?5)?f(?1)?11??。

f(?1?2)513、从构成数对的两数和来分类，和为2的有1对，和为3的有2对，和为4的有3对，…,

依次类推，1+2+3+…+10=55，即和小等于11的共有55对，第56对开始依次为（1，11）， （2，10），（3，9），（4，8），（5，7），第60个数对为（5，7）。 14、（略） 15、设z?x?yi,则?2yi?2i??x?yi??(x?yi)?2i??x??1 ?????x?yi?i(x?yi)?x?yi??y?xi?y?1?z??1?i。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步

骤。 16、（本小题满分12分） （1）? m·n=1，?(?1,3)?(cosA,sinA)?1?3sinA?cosA?1,即

31?1?cosA?)?1,sin(A?)?,?（3分）2262

??5??0?A??,??A??（,?4分）6662(sinA??A??631?2sinBcosB22（2）由题意：??3?sinB?sinBcosB?2cosB?0,…（8分） 22cosB?sinB??6,?A??。…（6分）

?cosB?0,?tan2B?tanB?2?0,?tanB?2或tanB??1.…（10分）

又tanB??1?cos2B?sin2B?0,应舍去。?tanB?2。…（12分）

17、（本小题满分13分）

（1）不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出的烟尘量为8，由AC=x(0

kk?8?(0?x?20)。…（4分） 22x?20?x?2k16k2k(9x3?60x2?1200x?8000) …（8分） y??3??333x(20?x)x(20?x)'令y'?0，得(3x?20)(3x2?400)?0,?0?x?20,?x?20 …（11分） 3?当x?(0,2020)时y'?0，当x?(,20)时y'?0， 33?当x?20时，y有最小值。 …（12分） 320故存在点C，当AC?km时，该点的烟尘浓度最低。…（13分）

318、（本小题满分14分）

（1）?BC⊥CD,BC⊥A1O,?BC⊥平面A1CD, …（2分） 又A1D?平面A1CD,? BC⊥A1D; …（4分）

(2)? A1D⊥ A1B, A1D⊥BC, ? A1D⊥平面A1BC, …（6分） 又A1D?平面A1BD,?平面A1BC⊥平面A1BD; …（8分）

(3)由（1）可知：BC⊥平面A1CD，?BC⊥A1C, ?△A1CB为直角三角形。…（10分）

?BC=6, A1B=AB=10,? A1C=8, ? S?A1BC=?VA1?BCD?VD?A1BC?1×6×8=24, …（12分） 211?S?A1BC?DA??24?6?48。…（14分） 3319、（本小题满分13分）

???上是增函数，…（1分） 由题意知f(x)在?2，? a·b=x?2?2x?1?2?2 …（2分）

? f(a·b)

① 当x??2时，不等式(*)可化为?(x?2)?(2x?1)?3,?x??4，…（5分） 3此时x无解；…（6分）

1② 当?2?x?时，不等式(*)可化为x?2?(2x?1)?3,?x?0,…（8分）

21此时0?x?；…（9分）

212③ 当x?时，不等式(*)可化为x?2?2x?1?3,?x?，…（11分）

2312此时?x?。…（12分）

232综上可知：不等式f(a·b)

320、（本小题满分14分）

（1）由an?1?an?6an?6?an?1?3?(an?3)2…（2分）

2?an?3?(an?1?3)?(an?2?3)故an?52n?1222???(a1?3)2n?1,…（5分）

?3。…（7分）

1111?2??,…（9分） an?6an?6anan?6an?1?6（2）?bn??Tn?1111????2n，…（11分） a1?6an?1?645?9又0?152?9n?1151?（,?13分）?。…（14分） ??T??n16452?91621、（本小题满分14分）

（1）?f'(x)?3x2?2bx?c,由f(x)在x=1时有极值-1，从而

?f'(1)?0?b?1…（2分） ????f(1)??1?c??5，此时，f'(x)?(3x?5)(x?1)，当x>1时，f'(x)?0，当?从而符合在x=1时f(x)有极值。故b=1,c=-5。…（3分）

（2）假设f(x)图像在x=t处的切线与直线（b2?c)x?y?1?0平

5?x?1时，f'(x)?0，3（t）?3t2?2bt?c, …（4分） 行,?f‘（b2?c)x?y?1?0的斜率为c?b2，…（5分） 直线

?3t2?2bt?c?c?b2?3t2?2bt?b2?0（,?6分）???4(b2?3b2)??8b2，又

?b?0,???0，…（7分）

（b2?c)x?y?1?0从而方程3t2?2bt?b2?0无解，因此f(x)图像上不存在与直线

平行的切线。…（8分）

b2b2（3）f(x)?3(x?)?c?…（9分）

33'①若?b?1,M应是f'(?1)和f'(1)中最大的一个， 3?2M?f'(?1)?f'(1)?3?2b?c?3?2b?c?4b?12，

?M?6,从而M?3。…（11分） 23。…（12分） 2②当?3?b?0时，由不等式的性质可得2M?3,?M?③当0?b?3时，由不等式的性质可得2M?3,?M?综上所述，M?3。…（13分） 23。…（14分） 2

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