06-07线代试题及答案

河北科技大学2006--2007 学年第二学期

一 、填空题.（每小题4分，共16分）

1．若A为3阶方阵，且A?2,则?2A? .

?122．矩阵????020?4?1351??0??2??的秩为___________.

3．设A???2?13???1?，B???1?30??，则AB? ，BA'?2? .

4．设n阶方阵A的伴随矩阵为A*，且A?a?0,则A*? .

答案：1．-16 2．2 3. ??5a11a12a22a32a13a23?da33?66??3，???2??76?? 0? 4. an?1

二 、单选题.（每小题4分，共24分）

3a313a322a22?a123a332a23??a131．设a21a31，则2a21?a11（ ）

A.?6d B .6d C. 4d D. ?4d

2．设4阶方阵A的行列式值为2，则A?1的行列式值为（ ）

A. 2 B.

12 C.4 D.

14

3．设A与B均为n阶方阵，满足AB?O，则有（ ）

A.A?O或B?O B.A?B?O C.A?0或B?0 D.A?B?0

4. 设A,B,C为可逆方阵，则(ACB')?1为 （ ）

A.(B)'?1AC?1?1 B.B'C?1A?1 C.A?1C?1(B')?1 D.(B?1)'C?1A?1

5. 设A,B,C为n阶方阵，且ABC?E ，则有 （ ）

A.ACB?E B.CBA?E C.BAC?E D.BCA?E

6. 向量组?1,?2,?,?s(s?2)线性相关的充要条件是（ ）

A.?1,?2,?,?S中至少有一个零向量；B.?1,?2,?,?S中至少有两个向量成比例；

C.?1,?2,?,?S中至少有一个向量可由其余向量线性表示；

D.向量组?1,?2,?,?S的秩R(?1,?2,?,?S)?s.

答案：1.B 2.B 3.C 4.D 5.D 6.C

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三 、计算题.（共46分）

xax?a????aa?xa?a?1?1分）设方程????201?11．（6分）计算行列式：Dn?

2. （6

1??11????1X?01，求矩阵X????1????10??.

3．（8分）已知向量组?1?(1,1,1,3)'，?2?(?1,?3,5,1)'，?3?(3,2,?1,k?2)'，?4?(?2,?6,10,k)'. (1) 当k为何值时，该向量组线性无关？

(2) 当k为何值时，该向量组线性相关？并求出此时它的秩和一个最大线性无关组。 4．（8

?2x3???x1?2分）当?取何值时，线性方程组?2x2?x3???2??x3?4?2x1

有唯一解，无穷多解，或无解？ 5．（8

x1?x2?x3?x4?0??分）求非齐次线性方程组的通解：?x1?x2?x3?3x4?1

?x?2x?x?3x??0.5234?1?10分）设方阵A?????10111??1?2??6．（10,

（1）求方阵A的特征值与特征向量. （2）求一个正交阵P,使P?1AP为对角阵. 四 、证明题（14分）

1. （4分）若A与B均为n阶方阵,且A?0,求证: AB与BA相似.

2. （4分）已知方阵A满足A2?A，证明E?A的逆矩阵存在，并求出(E?A)?1. 3. （6分）设?1,?2,?3线性无关，证明：

(1)?1??3,?2??1,?2??3线性相关；(2)?1,?1??2,?1??2??3线性无关.

答案 三 、计算题.（共46分） 1．（6分）解：

xDn?a?aax?a????aa?x?x?(n?1)ax?(n?1)a?x?(n?1)an?1ax?a????aa?x?[x?(n?1)a]11?1ax?a????aa?x

?[x?(n?1)a](x?a)

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?101??11?2．（6

分）解：设A????111??,B???01??，则矩阵方程可写为AX?B, 1分

??2?11?????10??101于是 A??111?1?0, X?A?1B. ……………………………… 1分

2?11?101?100?0?2?1?1?(A?E)????111 10??10? 0?~??010?3?1?2??=?E?A?1? 2分

??2?11?001????001??111???2?1?1??1??31?X?A?1B=??3?1?2??1??01??=??52?? ……………………………… 2分

???111?????10?????20??3．解：（1）利用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵

?1?13?2??1?13?2??1?13?2??(?,??1?32?6??12,?3,4)????15?1~?0?2?1?4???0?2?1?4??10??06?412?~??0010???31k?2k????04k?7k?6????000k?2??显然，当k?2时，向量组?1,?2,?3,?4线性无关。……………………………… 4分 （2）当k?2时，R(?1,?2,?3,?4)?3?4，则向量组?1,?2,?3,?4线性相关，…2分

?1,?2,?3（或?1,?3,?4）为其一个最大线性无关组。 ………………………… 2分

4．解：将增广矩阵化为行阶梯形矩阵

02?~?1??102??A???02?1?2???~?02?1?2??， ……………… 2分

??20?24????00?2?44?2???（1）当?2?4?0,即???2时，R(A)?R(A~)?3，方程组有唯一解； ……… 2分

（2）当?2?4?0,且4?2??0，即??2时，R(A)?R(A~)?2?3，方程组有无穷多解；（3）当?2?4?0,且4?2??0，即???2时，R(A)?R(A~)，方程组无解。 …… 2分 5．（8分）对增广矩阵作初等行变换，得行阶梯形矩阵

?1?1?110??1?1?110??10?1?10.5?A????11?1?31??0?20.5???~?01?~??010?20.5??……4分

?1?2?13?0.5????00000????00000??因为R(A)?R(~A)?2?4，故方程组有无穷多解，且其对应的同解方程组为

?x?x3?x4?0.5?1x?2x?0.5 , ……………………………2分

?24( 06-07-2 ) 第 3 页 共 5 页

分

2 ?1??x3??0??x1???令?????，得????2?1?x4??0??x2????2?，故?0?1??2??1?????2??0??0???为原方程组的一个特解。…………1分

在对应的齐次方程组

?1??1?????01则?1???,?2????1??0?????0???1??x3?x4?x1?2x4?x2??x3??1??0?中，取?????,???x4??0??1??x1??1??1?，得出?????,???x2??0??1?

为导出组的基础解系， ………………………………… 2 分

从而原方程组的通解为x?k1?1?k2?2??0,k1,k2为任意实数。 ……………… 1 分 6．（1）（6分）解：方阵A的特征多项式为

1??A??E?0101??1112???(1??)?(??3)

所以A的特征值为?1?0,?2?1,?3?3。 …………………………………… 3 分 当?1?0时，解方程(A??E)x?0。

?10由A?????10111??1??1~0??2????00101??1?0???1???p1?1， ?????1?? 得基础解系

所以对应于?1?0的全部特征向量为k1p1(k1?0)。 ……………………… 1 分 当?2?1时，解方程(A??E)x?0。

?00由A?E?????10011??1??1~0??1????01001??1?0???1???p2??1????0??得基础解系 ，

所以对应于?2?1的全部特征向量为k2p2(k2?0). …………………… 1 分 当?3?3时，解方程(A??E)x?0。

??20由A?E?????10?211??1??1~0???1????0120?1???1得基础解系 ?0???1???p3?1????2?? ，

所以对应于?3?3的全部特征向量为k3p3(k3?0). …………………… 1 分 （2）（4分）显然p1,p2,p3是正交的，只需把它们单位化：

( 06-07-2 ) 第 4 页 共 5 页

?1?p1p1????????????3?1?,?2??31??3?1p2p2???????????1??2?1?,?3??2??0??1??6?1?6?2??6??p3p3?1???6??1?,???6??2????6?………………… 3 分

???于是，所求正交阵为P????????13131312120??00,易得出P?1AP?????00100??0?3??。…… 1 分

四 、证明题（14分）

1. 证明：因为A?0,故A有逆矩阵A?1, 所以 A?1(AB)A?(A?1A)BA?BA,… 3 分 由相似定义可知，AB与BA相似. ………………………………………… 1 分 2. 证明：因为A?A2?2E?2E,即(E?A)(2E?A)?2E, ……………………… 2 分 由定义，知E?A可逆，且(E?A)?1?E?12A.

……………………………… 2 分

3.（6分）证明（1）设k1(?1??3)?k2(?2??1)?k3(?2??3)?0，

即(k1?k2)?1?(k2?k3)?2?(k1?k3)?3?0. ………………………………… 2分

?0?k1?k2?因为?1,?2,?3线性无关，所以?k2?k3?0?k?k3?0?1， …………………………………2分

而该方程组的系数行列式＝0，故该方程组有非零解，

即存在不全为零的数k1,k2,k3，使得k1(?1??3)?k2(?2??1)?k3(?2??3)?0， 因此?1??3,?2??1,?2??3线性相关. ………………………………………1分 （2）设k1?1?k2(?1??2)?k3(?1??2??3)?0，

即 (k1?k2?k3)?1?(k2?k3)?2?k3?3?0. ……………………………………2分

?k1?k2?k3?0?k2?k3?0， 因为?1,?2,?3线性无关，所以??k3?0?…………………………… 2分

即k1?k2?k3?0，于是 ?1,?1??2,?1??2??3线性无关. ………………1分

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