安徽省合肥市2017届高三第三次质检（数学理）（含答案）word版

安徽省合肥市

2017年高三第三次教学质量检测

数学试题（理科）

（考试时间：120分钟，满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生先使用黑色字迹的签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在指定

位置；核对条形码上本人的姓名和准考证号码，无误后，将共粘贴在指定的方框内。

2．非选择题答题书写要工整，字迹清晰。修改答案时禁止使用涂改液或涂改胶条。 3．请在题号指定的答题区域内作答，在题号指定区域以外答题或超出答题区域书写的

答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．考试结，监考人将答题卷收回，试卷不收回。

第Ⅰ卷（满分50分）

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的） 1．已知集合A?{0,1,2}，集合B?{0,2,4}，则A∪B=

A．{0}

C．{0，2，4}

B．{2}

D．{0，1，2，4}

（ ）

（ ）

2．已知a,b?R,

A．0 C．2

3?i?a?bi(i为虚数单位），则a?b? 1?i

B．1 D．3

3．“a??12”是“函数f(x)?ax?x?1只有一个零点”的 4 （ ）

A．充要条件

B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．右图几何体的正视图和侧视图可能正确的是

（ ）

x2y2??1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距5．如果双曲线

412

离是 A．4

B．12

C．4或12

D．6

（ ）

????????6．圆O中，弦PQ满足|PQ|=2，则PQ?PO?

A．2 C．

B．1 D．4

22（ ）

1 21?317．已知a?(?),b?log?,c?(?3)3，则执

223行右边的程序框图后输出的结果等于 （ ）

1?A．(?)3

2C．(?3)

232B．log131 2 D．其它值

8．在2010年某大学的小语种提前招生考试中，某中 学共获得了5个推荐名额，其中俄 语2名， 日语2名，西班牙语1名，并且日语和俄语都要 求必须有男生参加考试。学校通过选拔定下3男 2女五个推荐对象，则不同的推荐方案共有（ ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种 9．如果两个方程的曲线经过若干次平移或对称变换后能够完全重合，则称这两个方程为“互

为生成方程对”。给出下列四对方程：

①y?sinx?cosx和y?22222sinx?1；

②y?x?2和x?y?2； ③y?4x和x?4y； ④y?ln(x?1)和y?e?1.

x22

其中是“互为生成方程为”有 （ ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 10．三棱锥S—ABC的4个顶点和6条棱的中点共有10个点，其中4点共面有m组，从m组

中任取一组，取到含点S组的概率等于 （ ）

10 2311C．

23A．

10 215D．

11B．

第Ⅱ卷（满分100分）

二、填空题（本大题共5题，每小题5分，共25分。） 11．函数y?2sin(2x??3)在[0，?]上的单调增区间为 。

12．某公司第一年获得1万元的利润，以后每年比前一年增加30%的利润，如此下去，则该

公司10年间共获得利润为 。（精确到万元） （参考数据：1.39?10.60,1.310?13.78,1.311?17.92）

?x?y?2?0?13．在平面直角坐标系中，若不等式组?y?1?0（a为常数）所表示的平面区域的

?ax?y?2?0?面积被y轴分成1：2两部分，则a的值为 。

14．函数f(x)?x3?x2?x?1在点（1，2）处的切线与函数g(x)?x2围成的图形的面积

等于 。

15．给出下列命题：

①在极坐标系中，圆??cos?与直线?cos??1相切；

?x?2???②在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为??y?3???为

t23t2，则它的倾斜角(t为参数）

?； 3

③不等式|x?1|?|x?2|?5的解集为(??,?2]?[3,??).

其中正确命题的序号是 。

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）

已知sin(???2)??5,??(0,?).） 5)242 （1）求的值；

sin(???)?cos(3???)4 （2）求cos(2??

cos2(???)?cos2(???3?)的值。 4

17．（本小题满分12分）

某市图书馆有三部电梯，每位乘客选择哪部电梯到阅览室的概率都是

1。现有5位乘客3准备乘电梯到阅览室。

（1）求5位乘客选择乘同一部电梯到阅览室的概率；

（2）若记5位乘客中乘第一部电梯到阅览室的人数为?，求?的分布列和数学期望。 18．（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD是正方形，MA?平面ABCD，MA//PB，PB=AB=2MA=2。 （1）P、C、D、M四点是否在同一平面内，为什么？ （2）求证：面PBD ?面PAC；

（3）求直线BD和平面PMD所成角的正弦值。 19．（本小题满分13分）

已知函数f(x)?x?a?lnx(a?R) x （1）求函数f(x)的单调区间与极值点；

（2）若对?a?[,2e]，函数f(x)满足对?x?[1,e]都有f(x)?m成立，求实数m的

取值范围（其中e是自然对数的底数）。

1e2

20．（本小题满分13分）

在平面内，设到定点F（0，2）和x轴距离之和为4的点P轨迹为曲线C，直线l过点F，

交曲线C于M，N两点。

（1）说明曲线C的形状，并画出图形； （2）求线段MN长度的范围。 21．（本小题满分13分）

2已知数列{an}各项均为正数，其前n项和Sn满足2Sn?an?an(n?N*).

（1）证明：{an}为等差数列；

lnan2n2?n?1 （2）令bn?，记{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn?. 24(n?1)an

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．） 1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．C 8．C 9．D 10．C 二、填空题 11． [0,?12],[7?,?] 1212．43 13．?14．

1或-2 24 315．①② 三、解答题： 16．解：（1）sin(???2)??5，??(0,?) 5

?cos???52 ,??(0,?)?sin??55cos2(

?4242?sin(???)?cos(3???)??)?cos2(???)cos2(?424sin??cos???)?sin2(???2)

cos(??)?sin?22???? 6分

sin??cos?sin??cos?35254.sin???sin2???, 555? （2）?cos???

3cos2???

5

cos(2??3?222 12分 )??cos2??sin2???422101， 317．解：（1）因为每位乘客选择哪部电梯到阅览室的概率都是

所以5位乘客选择同一部电梯的概率

111?1?P?C3??. 6分 ??43813??135 （2）??~B(5,)，所以

32?1??2?0P(??0)?C5???????5

3?3??3?1?2?801P(??1)?C5?????5

3?3?3?1??2?80P(??2)?C??????5

3?3??3?2523405

40?2?3?1? P(??3)?C5??????5333?????1?210P(??4)?C????5

?3?3345432

1?1?5P(??5)?C5????()5

3?3?

5

15E??5?? 12分

3318．解（1）P、C、D、M四点不在同一平面内，

反证法：假设P、C、D、M四点在同一平面内， ?DC//AB.?DC//面ABPM ?面DCPM∩面ABPM=PM，

?DC//PM,又DC//AB

?AB//MP，这显然不成立。

?假设不成立，即P、C、D、M四点不在同一平面内 4分

（2）?MA//PB,MA?平面ABCD，

?PB?平面ABCD， ?PB?AC

又由AC?BD,?AC?面PBD，

?AC?面PAC，?面PBD?面PAC 8分 （3）如图，分别以BA，BC，BP为x,y，z轴

B为原点，建立空间直角坐标系。 则D（2，2，0），P（0，0，2），M（2，0，1）

?????????????BD?(2,2,0),PM?(2,0,?1),PD?(2,2,?2)

设面PMD的法向量n?(x,y,z)

?2x?z?0则?

2x?2y?2z?0?令x?1得n?(1,1,2)

????????n?BD3?????， cos?n,BD??|n|?|BD|3

????直线BD和平面PMD所成的角与?n,BD?互余，

所以直线BD和平面PMD所成的角的正弦值为

3。 3a1x2?x?a(x?0) 19．解：（1）f?(x)?1?2??2xxx

①a?0时，f?(x)?0,f(x)在（0，+∞）上单调递增， 此时函数f(x)无极值点；

②a?0，令f?(x)?0?x1?当0?x?x1时，f?(x)?0

1?4a?1?1?4a?1(x2??0舍去) 22

?f(x)在(0,x1)上单调递减；

当x?x1时，f?(x)?0

?f(x)在(x1,??)上单调递增；

即f(x)在(0,

1?4a?1)上单调递减， 2

在(1?4a?1,??)上单调递增， 21?4a?1 6分 22

此时函数f(x)仅有极小值点x1? （2）函数f(x)满足：?a?[,2e]，

函数f(x)满足对?x?[1,e]都有f(x)?m成立， 即f(x)在[1,e]上的最大值小于m 由（1）知：?x?[,2e]，

1e1e2

f(x)在(0,1?4a?11?4a?1)上单调递减，在(,??)上单调递增， 22

?1?a?m?f(1)?m?所以? ??af(e)?me??1?m??e?对?x?[,2e]恒成立

1e2

?m?1?2e2??

m?3e?1?又1?2e?(3e?1)?(2e?3)e?0?1?2e?3e?1 故实数m的取值范围是(1?2e,??) 13分

222

20．解：（1）设动点P(x,y)，由已知得：

x2?(y?2)2?|y|?4 1分

22当y?0时，x?(y?2)?4?y，

化简得：x2??4(y?3)

22当y?0时，x?(y?2)?4?y?y?(?4)

化简得：x2?12(y?1) 3分

，准线分别为y??4和y?4 ?如图：曲线C是焦点在F（0，2）

顶点分别是（0，-1）和（0，3）的两条抛物线一部分组成的封闭图形ABCD

??6分

（2）当M、N在两支抛物线上时，过M、N分别作相应准线的垂线，垂足分别是M1、N1，

由抛物线定义，MM1=MF；NN1=NF，

设M、N的纵坐标分别为y1,y2,|MN|?8?(|y1|?|y2|) 当l过BD时，|MN|最小，最小值为4， 当l过C（或A）时，|MN|最大，

此时直线l的方程为?x?3y?23和抛物线x??4(y?3) 另一个交点M(2

1628,)，|MN|最大值为，

333

|MN|范围是[4,16] 10分 3

当M、N都在上支抛物线上时，易求|MN|范围也是[4,

16] 3?由上综述：|MN|范围是[4,16] 13分 3221．解：（1）?2Sn?an?an

2?2Sn?1?an?1?an?1(n?2)

22两式相减得2an?an?an?1?an?an?1

整理得(an?an?1)(an?an?1?1)?0

?an?an?1?0,?an?an?1?1（常数）

2又4S1?a1?a1

2即a1?a1?0，解得a1?1

?{an}是以1为首项1为公差的等差数列 6分

（2）方法一、由（1）知an?n

bn?lnanlnn?2 2ann

ln2ln3ln4lnn2n2?n?1即证：Tn?2?2?2???2?

4(n?1)234n设f(x)?lnx?x?1(x?0)， 则f?(x)?

11?x?1?. xx当x?(0,1),f?(x)?0,f(x)为单调递增函数， 当x?(1,??),f?(x)?0,f(x)单调递减函数；

?在x?1处f(x)取得极大值，也取得最大值。 ?f(x)?f(1)?0即lnx?x?1?0 ?lnx?x?1?lnxx?11??1? xxxn?N*,n?2时，令x?n2，得

lnn21lnn11?1?,??(1?)

2n2n2n2n2?ln2ln3lnn1111?????(1??1????1?) 222222223n23n

11111111?[(n?1)?(2?2???2)]?[(n?1)?(????)] 222?33?4n(n?1)23n1111111?[n?1?(???????)] 22334nn?1

1112n2?n?1 ?[n?1?(?)]?22n?14(n?1)2n2?n?1?0 ?当n?1，有Tn?4(n?1)故结论成立。 13分 方法二：由（1）知an?n,bn?

lnanlnn?2 2ann

2?12?1?1当n?1时，T1??0成立，

4(1?1)ln2ln3ln4lnn2n2?n?1当n?2时，即证： Tn?2?2?2???2?

4(n?1)234nln2ln3ln4lnn2n2?n?1令An?2?2?2???2?

4(n?1)234n即证：An?0

An?An?1lnn2n2?n?12(n?1)2?(n?1)?1lnnn2?n?1 ?2???2?4(n?1)4n2n(n?1)nn1?1?lnn?2?1???n?n?n(n?3) 2(n?1)lnx单减， x?n?1?

?

当x?e时，容易证明f(x)?

1ln38816?1?lnn?2?1????2?(1?)??ln3?lne2?

33999?n?n

?n?1?1133??3?1????0 n39?An?An?1?0,?|An|单减，

?An?A2?1?5?ln2????0 4?3?

?结论成立 13分

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