2008年江苏高考数学试题

高考真题

2008年普通高等学校招生全国统一考试

数学（江苏卷）

参考公式：

样本数据x1，x2， ，xn的标准差

锥体体积公式

s=

1V=Sh

3

其中S为底面面积、h为高 球的表面积、体积公式

其中x为样本平均数 柱体体积公式

V=Sh S=4πR2，V=

43πR 3

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．f(x)=cos(ωx

π

6

最小正周期为

π

5

，其中ω>0，则ω= ▲

2．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 3．

1+i

表示为a+bi(a,b∈R)的形式，则a+b= ▲ 1 i

2

4．A=x(x 1)<3x 7，则集合A∩Z中有个元素

则5a b=

5．a,b的夹角为120a=1,b=3，

{}

6．在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大

于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率 ▲ 7．某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），现随机地选择50位老人做调查，下表是50位老人日睡眠时间频率分布表： 序号 分组 （i） 睡眠时间

组中值 （Gi）

频数 （人数）

频率 （Fi） ，5），6），7），8），在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为 ．

高考真题

8．直线y=

1

x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为 ▲ 2

9．在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0)，点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设a,b,c,p均为非零实数，直线BP,CP分别交AC,AB于点E,F，一

同学已正确算的OE的方程：

11 11

x+ y=0，请你求OF的方程： bc pa

x+

11

y=0 pa

10．将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 。 。 。 。 。

按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为 ▲

y2

11．x,y,z∈R,x 2y+3z=0,的最小值为

xzx2y2

12．在平面直角坐标系中，椭圆2+2=1(a>b>0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径的

ab

a2

圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率e= ▲ c,0

*

13．若AB=2,AC=

3

2BC，则SΔABC的最大值 ▲

14．f(x)=ax 3x+1对于x∈[ 1,1]总有f(x)≥0成立，则a=

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二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（14分）如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B

（1）求tan(α+β)的值； （2）求α+2β的值。

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16．（14分）在四面体ABCD中，CB=CD,AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点， 求证：（1）直线EF//面ACD

（2）面EFC⊥面BCD

E

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17．（14分）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。 （1）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式； ②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；

（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

B

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18．（16分）设平面直角坐标系xoy中，设二次函数f(x)=x+2x+b(x∈R)的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。求： （1）求实数b的取值范围 （2）求圆C的方程

（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论。

2

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19．（16分）（1）设a1,a2,......an是各项均不为零的等差数列（n≥4），且公差d≠0，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：

a1

的数值；②求n的所有可能值； d

（2）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列b1,b2,......bn，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。

①当n=4时，求

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20. （16分）

f1(x),f1(x)≤f2(x)

,f2(x)=2 3，x∈R，p1,p2为常数，且f(x)= 若f1(x)=3

fxfxfx(),()>()12 2

（1）求f(x)=f1(x)对所有实数x成立的充要条件（用p1,p2表示） （2）设a,b为两实数，a<b且p1,p2∈(a,b)若f(a)=f(b)

b a

求证：f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度和为（闭区间[m,n]的长度定义为n m）

2

x p1

x p2

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卷2

．（选做题）从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分． A．选修4—1 几何证明选讲 如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：ED=EBiEC．

B．选修4—2 矩阵与变换

A

2

DE

2 0 22

在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x+y=1在矩阵A= 0 1 对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．

C．选修4—4 参数方程与极坐标

x2

在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆+y2=1上的一个动点，求S=x+y的最大值．

3

D．选修4—5 不等式证明选讲 设a，b，c

为正实数，求证：

111

+3+3+abc≥ 3

abc

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必做题

22．记动点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上一点，记为钝角时，求λ的取值范围．

23．请先阅读：在等式cos2x=2cosx 1（x∈R）的两边求导，得：

2

D1P

=λ．当∠APCD1B

(cos2x)′=(2cos2x 1)′ ，

由求导法则，得( sin2x)i2=4cosxi( sinx)，化简得等式：sin2x=2cosxisinx．

n

（1）利用上题的想法（或其他方法），试由等式（1＋x）＝Cn+Cnx+Cnx+ +Cnx（x∈R，

n

0122nn

，证明：n[(1+x)正整数n≥2）

n 1

k 1

1]＝∑kCk． nx

k=1

（2）对于正整数n≥3，求证： （i）

∑( 1)

k=1n

n

k

k

kCn＝0；

（ii）

∑( 1)

k=1n

k

kk2Cn＝0；

12n+1 1k

． Cn=（iii）∑

kn+1+1k=1

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绝密★启用前

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数 学

本试卷分第I卷（填空题）和第II卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上． 2.选择题答案使用2B

铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择

题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．

5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式: 锥体体积公式 样本数据x1,x2, ,xn的标准差

s=

1

V=Sh

3

其中SS为底面积，h为高 球的表面积、体积公式

其中x为样本平均数 柱体体积公式

4

S=4πR2，V=πR3

3

V=Sh

其中S为底面积，h为高

一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.f(x)=cos ωx

π

6

的最小正周期为

π

5

，其中ω>0，则ω= ▲ ．

【解析】本小题考查三角函数的周期公式.T=

2π

ω

=

π

5

ω=10

【答案】10

2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ．

【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，

31= 6×6121

【答案】

121+i3.表示为a+bi(a,b∈R)，则a+b== ▲ ． 1 i

故P=

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1+i(1+i)【解析】本小题考查复数的除法运算．∵==i ，∴a＝0，b＝1，因此a+b=1 1 i2

【答案】1

4.A={x(x 1)<3x 7}，则A ∩Z 的元素的个数 ．

【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由(x 1)<3x 7}得x 5x+8<0,∵

2

2

2

2

Δ＜0，∴集合A 为 ，因此A ∩Z 的元素不存在． 【答案】0

5.a，b的夹角为120°，a=1，b=3 则5a b=

2

【解析】本小题考查向量的线性运算．5a b=5a b

()

2

2 2

=25a 10aib+b

1 2

=25×1 10×1×3× +3=49，5a b=7

2

2

【答案】7

6.在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲ ． 【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E

π×12π表示单位圆及其内部，因此．P==

4×416

【答案】

π 16

7.算法与统计的题目

1

x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝ 2

111'

【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．y= ，令=得x=2，故切点（2，

xx2

8.直线y=

ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．

【答案】ln2－1

9在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE的方程：

11 11

x+ y=0，请你求OF的方程： cb pa

（ ▲ ）x+

11

y=0. pa

11

．事实上，由截距式可cb

【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填

高考真题

得直线AB：

xyxy 11 11

+=1，直线CP：+=1 ，两式相减得 x+ y=0，显然bacp bc pa

直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程． 【答案】

11 bc

10．将全体正整数排成一个三角形数阵：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

． ． ． ． ． ． ．

按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ▲ ．

【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）

n2 n+6n2 nn2 n

个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为．

222n2 n+6

【答案】

2

y2

11.已知x,y,z∈R，x 2y+3z=0，则的最小值 ▲ ．

xz

+

x+3zy2

【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由x 2y+3z=0得y=，代入得

xz2x2+9z2+6xz6xz+6xz

≥=3，当且仅当x＝3z 时取“＝”．

4xz4xz

【答案】3

x2y2

12.在平面直角坐标系中，椭圆2+2=1( a>b>0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径的圆，

ab

a2

? 过点 ,0 作圆的两切线互相垂直，则离心率e= ▲ ． ?

c

【解析】设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以△OAP

是等腰直角三角形，故

ca2

=

，解得e==．

ca2

【答案】

2

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13．若

BC ，则SΔABC的最大值 ▲ ． ?

【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝x，则AC

， 根据面积公式得SΔ

ABC=

1

ABiBCsinB=，根据余弦定理得 2

AB2+BC2 AC24+x2 2x24 x2

cosB===，代入上式得

2ABiBC4x4x

SΔ

ABC=

=

+x>2

解得 2<x<

2， 由三角形三边关系有

x+2>

故当x=SΔABC

最大值

【答案】14.f(x)=ax 3x+1对于x∈[ 1,1]总有f(x)≥0 成立，则a=

3

【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x＞0 即x∈[ 1,1]时，f(x)=ax 3x+1≥0可化为，a≥

3

31

3 2xx

设g(x)=

3(1 2x)31 1 1 '

0,,1 ，则gx=， 所以gx 在区间上单调递增，在区间 ()() 22x4x2x3

1

=4，从而a≥4； 2

3

上单调递减，因此g(x)max=g

当x＜0 即[ 1,0)时，f(x)=ax 3x+1≥0可化为a≤

3(1 2x)31'

= ，gx>0 ()423

xxx

g(x) 在区间[ 1,0)上单调递增，因此g(x)man=g( 1)=4，从而a≤4，综上a＝4

【答案】4

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位

圆相交于A,B

两点，已知A,B

的横坐标分别为

． ,

105

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（Ⅰ）求tan(α+β)的值； （Ⅱ）求α+2β的值．

【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．

由条件的cosα=

，因为α,β为锐角，所以sinα

= ,cosβ=,sinβ=

105105

1

2

因此tanα=7,tanβ=（Ⅰ）tan(α+β)=

tanα+tanβ

= 3

1 tanαtanβ

（Ⅱ） tan2β=

2tanβ4tanα+tan2β

tan2=，所以+== 1 αβ()2

1 tanβ31 tanαtan2β

3π3π

，∴α+2β= 24

∵α,β为锐角，∴0<α+2β<

16．在四面体ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，且E ,F分别是AB,BD 的中点，

求证：（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ；

（Ⅱ）面EFC⊥面BCD ．

【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定． （Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AD，

∵EF 面ACD ，AD 面ACD ，∴直线EF∥面ACD ． （Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF∥AD，∴ EF⊥BD. ∵CB=CD, F 是BD的中点，∴CF⊥BD.

又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD 面BCD，∴面EFC⊥面BCD ．

17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为ykm．

D

O

P

C

（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；②设OP=x(km) ，将y表示成xx的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定

污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 【解析】本小题主要考查函数最值的应用．

A

B

（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad) ，则OA=

AQ10

, 故 =

cosθcosθ

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10

，又OP＝10 10tanθ10－10taθ， cosθ

1010

所以y=OA+OB+OP=++10 10tanθ，

cosθcosθ

OB=

所求函数关系式为y=

20 10sinθπ

+10 0<θ<

cosθ4

②若OP=x(km) ，则OQ＝10－x，所以

=

所求函数关系式为y=x+0<x<10) （Ⅱ）选择函数模型①，y=令y=0 得sin 当θ∈ 0,以当θ=

'

'

10cosθicosθ (20 10sinθ)( sinθ)10(2sinθ 1)

=22

cosθcosθ

θ=，因为0<θ<

1

2

π

4

，所以θ=

π

6

，

π ππ ''

时，y<0 ，y是θ的减函数；当θ∈ , 时，y>0 ，y是θ的增函数，所

6 64

π

6

时，ymin=10+P 位于线段AB 的中垂线上，且距离

AB 边

km处。 3

18．设平面直角坐标系xoy中，设二次函数f(x)=x+2x+b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个

2

交点，经过这三个交点的圆记为C．求： （Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；

（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论． 【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法． （Ⅰ）令x＝0，得抛物线与y轴交点是（0，b）； 令f(x)=x+2x+b=0，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

2

（Ⅱ）设所求圆的一般方程为x+y+Dx+Ey+F=0

令y＝0 得x+Dx+F=0这与x+2x+b＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝b． 令x＝0 得y+Ey＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1． 所以圆C 的方程为x+y+2x (b+1)y+b=0. （Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．

2

2

22

2

22

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证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0， 所以圆C 必过定点（0，1）．

同理可证圆C 必过定点（－2，1）．

，且公差d≠0，若将此数列删19.（Ⅰ）设a1,a2, ,an是各项均不为零的等差数列（n≥4）去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当n =4时，求

22

a1

的数值；②求n的所有可能值； d

（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列

b1,b2, ,bn，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．

【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用．

（Ⅰ）①当n＝4 时，a1,a2,a3,a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d＝0．

若删去a2，则有a3=a1ia4,即(a1+2d)=a1i(a1+3d)

2

2

化简得a1d+4d＝0，因为d≠0，所以

2

2

a1

=4 ； d

2

若删去a3，则有a=a1ia4，即(a1+d)=a1i(a1+3d)，故得综上

a1

=1． d

a1

=1或－4． d

②当n＝5 时，a1,a2,a3,a4,a5 中同样不可能删去首项或末项．

若删去a2，则有a1ia5＝a3ia4，即a1i(a1+4d)=(a1+2d)i(a1+3d)．故得若删去a3，则a1ia5＝a2ia4，即a1i(a1+4d)=(a1+d)i(a1+3d)． 化简得3d＝0，因为d≠0，所以也不能删去a3；

若删去a4，则有a1ia5＝a2ia3，即a1i(a1+4d)=(a1+d)i(a1+2d)．故得

2

a1

=6 ； d

a1

= 2 ． d

当n≥6 时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列a1，a2，a3，…，an 2，an 1，an 中， 由于不能删去首项或末项，若删去a2，则必有a1ian＝a3ian 2，这与d≠0 矛盾；同样若删 去an 2也有a1ian＝a3ian 2，这与d≠0 矛盾；若删去a3，…，an 2 中任意一个，则必有

a1ian＝a2ian 1，这与d≠0 矛盾．

综上所述，n∈{4，5}．

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（Ⅱ）略 20.若f1(x)=3且f(x)=

x p1

，f2(x)=2i3

x p2

，x∈R,p1,p2为常数，

f1(x),f1(x)≤f2(x)

>,fxfxfx 2() 2()1()

； （Ⅰ）求f(x)=f1(x)对所有实数成立的充要条件（用p1,p2表示）（Ⅱ）设a,b为两实数，a<b且p1,p2(a,b),若f(a)=f求证：f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度和为

(b)

b a

[m,n]的长度定义为n m）． 2

x p1

【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用． （Ⅰ）f(x)=f1(x)恒成立 f1(x)≤f2(x) 3

≤2i3

x p2

3x p1 x p2≤3log32

x p1 x p2≤log32（*）

因为x p1 x p2≤(x p1) (x p2)=p1 p2 所以，故只需p1 p2≤log32（*）恒成立

综上所述，f(x)=f1(x)对所有实数成立的充要条件是：p1 p2≤log32 （Ⅱ）1°如果p1 p2≤log32，则的图象关于直线x=p1对称．因为f(a)=f

(b)，所以区间

[a,b]关于直线x=p1 对称．

因为减区间为[a,p1]，增区间为[p1,b]，所以单调增区间的长度和为2°如果p1 p2>log32.

x p+log2x p

323,x∈[p2,b] 31,x∈[p1,b]（1）当p1 p2>log32时.f1(x)= p x，f2(x)= p x+log2

231

3,,3,,xapxap∈∈[1][2]

b a

2

当x∈[p1,b]，

f1(x)

=3p2 p1 log32<30=1,因为f1(x)>0,f2(x)>0，所以f1(x)<f2(x)， f2xx p1

故f(x)=f1(x)=3当x∈[a,p2]，

f1(x)

=3p1 p2 log32>30=1,因为f1(x)>0,f2(x)>0，所以f1(x)>f2(x) f2xp2 x+log32

故f(x)=f2(x)=3

高考真题

因为f(a)=f(b)，所以3b p

1

=3p2 a+log32，所以b p1=p2 a+log32,即

a+b=p1+p2+log32

当x∈[p2,p1]时，令f1(x)=f2(x)，则3当x∈ p2,

p1 x

=3x p2+log32，所以x=

p1+p2 log32

，

2

p1+p2 log32 x p2+log32

时，fx≥fx，所以fx=fx=3 ()()()()122 2

p+p2 log32

,p1 时，f1(x)≤f2(x)，所以f(x)=f1(x)=3p1 x x∈ 1

2

f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度和b p1+

=b

p1+p2 log32

p2

2

p1+p2+log32a+bb a

=b =

222

x p+log2x p

31,x∈[p1,b] 323,x∈[p2,b]，f2(x)= p x+log2 （2）当p2 p1>log32时.f1(x)= p x

231

,x∈[a,p2] 3,x∈[a,p1] 3

当x∈[p2,b]，

f1(x)

=3p2 p1 log32>30=1,因为f1(x)>0,f2(x)>0，所以f1(x)>f2(x)， f2xx p2+log32

故f(x)=f2(x)=3

f1(x)

当x∈[a,p1]，=3p1 p2 log32<30=1,因为f1(x)>0,f2(x)>0，所以f1(x)<f2(x)

f2x故f(x)=f1(x)=3因为f(a)=f

p1 x

1

2

3

(b)，所以3p a=3b p+log2，所以a+b=p1+p2 log32

x p1

当x∈[p1,p2]时，令f1(x)=f2(x)，则3当x∈ p1,

=3p2 x+log32，所以x=

p1+p2+log32

，

2

p1+p2+log32 x p1

时， fx≤fx，所以fx=fx=3 ()()()()121 2

p+p2+log32

,p1 时，f1(x)≥f2(x)，所以f(x)=f2(x)=3p2 x+log32 x∈ 1

2

f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度和b p2+

=b

p1+p2+log32

p1

2

p1+p2 log32a+bb a

=b =

222

高考真题

综上得f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度和为

b a

2

高考真题

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学附加题参考答案

21：从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分 A．选修4—1 几何证明选讲 如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：ED=EBiEC．

证明：如图，因为AE 是圆的切线， 所以，∠ABC=∠CAE,

又因为AD是∠BAC的平分线， 所以 ∠BAD=∠CAD

从而 ∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD 因为 ∠ADE=∠ABC+∠BAD, ∠DAE=∠CAD+∠CAE 所以 ∠ADE=∠DAE,故EA=ED.

因为 EA是圆的切线，所以由切割线定理知, EA=EC EB,

而EA=ED,所以ED=ECiEB

B．选修4—2 矩阵与变换

2 22

在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x+y=1在矩阵 0 F的方程．

解：设P(x0,y0)是椭圆上任意一点，点P(x0,y0)在矩阵A对应的变换下变为点

''

P'(x0,y0) 则有

'

x0

x 20 x0 x=2x0 x0=

，所以 2 ' = ，即 '

01y 0 y=y' y0 y0=y0

0 0

'

'02

2

2

A

DE

0

1 对应的变换作用下得到曲线F，求

又因为点P在椭圆上，故4x0+y0=1，从而(x0)+(y0)=1 所以，曲线F的方程是 x+y=1

C．选修4—4 参数方程与极坐标

2

2

22'2'2

x2

在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆+y2=1上的一个动点，求S=x+y的最大值．

3

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5j04.html