韦达定理及其应用

韦达定理及其应用

一、知识要点

1、若一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 中，两根为x1，x2。则x1 x2

x1 x2

ca

ba

，

，；补充公式x1 x2

a

2、以x1，x2为两根的方程为x2 x1 x2 x x1 x2 0 3、用韦达定理分解因式ax bx c a x

2

2

ba

x

c

a x x1 x x2 a

二、例题

1、 不解方程说出下列方程的两根和与两根差：

2

（1）x 3x 10 0 （2）3x 5x 1 0 （3）2x 43x 22 0

2

2

2、 已知关于x的方程x (5k 1)x k 2 0，是否存在负数k，使方程的两个实

数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。

3、 已知方程x 5x 2 0，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各

根的平方的倒数。

11 1

4、 解方程组 xy12

xy 2

2

22

5、 分解因式：

（1）3x 5x 2 （2）4x 8x 1

2

2

三、练习

1、 在关于x的方程4x2 m 1 x m 7 0中，（1）当两根互为相反数时m的值；

（2）当一根为零时m的值；（3）当两根互为倒数时m的值

2、 求出以一元二次方程x 3x 2 0的两根的和与两根的积为根的一元二次方程。

3、 解方程组

x

y 3

2

xy 2

4、 分解因式

（1）4x

四、聪明题

1、 已知一元二次方程ax2

2bx c 0的两个实数根满足x1 x2

2，a，b，

2

5x 6= （2）2x 2xy y

22

（1）证明方程的两个根都是正根；（2）c分别是 ABC的 A， B， C的对边。若a c，求 B的度数。

2、在 ABC中， C 90 ，斜边AB=10，直角边AC，BC的长是关于x的方程

x mx 3m 6 0的两个实数根，求m的值。

2

韦达定理的应用：

1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数 2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值 3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中 字母系数的值

4.已知两数的和与积，求这两个数

5.已知方程的两根x1，x2 ，求作一个新的一元二次

方程x2 –(x1+x2) x+ x1x2 =0

6.利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c = a(x- x1)(x- x2) 题1：

（1）若关于x的一元二次方程2x2+5x+k=0 的一根是另一根的4倍，则k= ________

（2）已知：a,b是一元二次方程x2+2000x+1=0 的两个根，求：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = __________ 解法一：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)

= （1+2000a+a2 +6a)（1+2000b+b2 +5b) = 6a 5b=30ab 解法二：由题意知

∵ a2 +2000a+1=0； b2 +2000b+1=0 ∴ a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b ∴ （1+2006a+a2)（1+2005b+b2)

=（2006a - 2000a)（2005b - 2000b) =6a 5b=30ab ∵ab=1， a+b=-200

∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)

= （ ab +2006a+a2)（ ab +2005b+b2) =a(b +2006+a) b( a +2005+b)

=a(2006-2000) b(2005-2000) =30ab 解法三：由题意知

∵ a2 +2000a+1=0； b2 +2000b+1=0 ∴ a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b ∴ （1+2006a+a2)（1+2005b+b2)

=（2006a - 2000a)（2005b - 2000b) =6a 5b=30ab 题2：

已知:等腰三角形的两条边a,b是方程 x2-（k+2）x+2 k =0的两个实数根,另 一条边c=1， 求:k的值。

浅谈韦达定理在解题中的应用

韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理．纵观近年各省、市的中考(竞赛)试题可以发现，关于涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽．在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长．下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用，供大家参考．

一、直接应用韦达定理

若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．

例1 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB边上一点，且BC＝DC，设AD＝d． 求证：

(1)c＋d＝2bcosA； (2)c·d＝b2－a2．

分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明．

证明：如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有 a2＝b2＋c2－2bccosA；

a2＝b2＋d2－2bdcosA(CD＝BC＝a)． ∴ c2－2bccosA＋b2－a2＝0， d2－2bdcosA＋b2－a2＝0．

于是，c、d是方程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根． 由韦达定理，有

c＋d＝2bcosA，c·d＝b2－a2．

例2 已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．

分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解． 解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b． 由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．

故ab＋a＋b＝－2．

二、先恒等变形，再应用韦达定理

若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b形式的式子，则可考虑应用韦达定理．

例3 若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y． 证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．

由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根． ∵ x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0． 则z2≤0，又∵z为实数， ∴z2＝0，即△＝0．

于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．

由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0

的两个根，由韦达定理

三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理

例5 已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程．

解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有 a＋2a＝－P， ①

a·2a＝q， ② P2－4q＝1． ③

把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1．

∴ 方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0． 解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．

例6 设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4．

证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇． 由题意知α－β＝α＇－β＇，

故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2． 从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．①

把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p－q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0． 故p－q＝0或p＋q＋4＝0， 即p＝q或p＋q＝－4．

四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理

例7 m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．

解：设公共根为α，易知，原方程x2+mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α． 由韦达定理，得α(m＋α)＝3， ① α(4－α)＝－(m－1)． ② 由②得m＝1－4α＋α2， ③ 把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0， 即(α－3)(α2＋1)＝0．

∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3． 把α＝3代入③，得m＝－2．

故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．

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