江苏2013届高三数学(文)试题分类汇编： 数列

广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编

数列 一、选择、填空题

1、（潮州市2013届高三上学期期末）等比数列{an}中a11?512，公比q??，记

2?n?a1?a2???an（即?n表示

数列{an}的前n项之积），?8 ，?9，?10，?11中值为正数的个数是 A．1 B．

2 C． 3 D． 4

B 答案：等比数列{an}中a1∴?11?0，公比q?0，故奇数项为正数，偶数项为负数．

?0，?10?0，?9?0，?8?0．

2、（东莞市2013届高三上学期期末）已知数列

?an?满足：点(n,an)(n?N?)都在曲线

y?log2x的图象上，则a2?a4?a8?a16?

A．9 B10 C20 D30 答案：B

3、（广州市2013届高三上学期期末）已知等差数列{an}的前n项和为

Sn，若

a3?a4?a5?12，则S7的值为

A．56 B．42 C．28 D．14 答案：C

4、（惠州市2013届高三上学期期末）设{an} 是公差为正数的等差数列，若a1?a2?a3且a1a2a3?15，

?80，则a11?a12?a13等于（ ）

A．120 B． 105 C． 90 D．75 【解析】a1?a2?a3?15?a2 ?5，a1a2a3?80?a1a3??5?d??5?d??25?d2?16，

?d?3?a1?2，a11?a12?a13?3a1?33d?6?99?105．故选B．

5、（湛江市2013届高三上学期期末）在等比数列{an}中，已知a1?aj＝25，则aj＝ A、5 B、5或－5 C、－5 D、25 答案：B

6、（肇庆市2013届高三上学期期末）已知等差数列{an}中，a3?a5?32,a7?a3?8,则此

1

数列的前10项之和S10解析：190

?________

?2a?6d?32?a1?10?? a3?a5?32,a7?a3?8即?1?4d?8?d?2所以S101?10?10??10?9?2?190

27、（中山市2013届高三上学期期末）等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2则S13的值是( ) A．130 答案：A

B．65

C．70

D．75

?a7?a12?30，

8、（珠海市2013届高三上学期期末）在递增等比数列{an}中，a2比q＝

?2,a4?a3?4，则公

1 2 A．-1 B．1 C．2 D．答案：C

二、解答题

n2151、（潮州市2013届高三上学期期末）数列{an}的前n项和Sn?，若a1?， a2?．

an?b26（1）求数列{an}的前n项和Sn；（2）求数列{an}的通项公式；

a（3）设bn?2n，求数列{bn}的前n项和Tn．

n?n?1111444解：（1）由S1?a1?，得?；由S2?a1?a2?，得?．

2a?b232a?b3?a?b?2?a?1n2 ∴?，解得?，故Sn?； ………… 4分

2a?b?3b?1n?1??n2(n?1)2n3?(n?1)2(n?1)n2?n?1???2（2）当n?2时，an?Sn?Sn?1?．…… n?1nn(n?1)n?n7分

n2?n?11 由于a1?也适合an?． ……… 8分 2n?n2n2?n?1 ∴an?； ……… 9分

n2?na111（3）bn?2n． ……… 10分 ???n?n?1n(n?1)nn?1∴数列{bn}的前n项和

1111111 Tn?b1?b2???bn?1?bn?1?????????223n?1nnn?11n ?1?． ……… 14分 ?n?1n?1

2

2、（东莞市2013届高三上学期期末）已知数列的等差中项是??an?的前项n和为Sn，a1?1，Sn与?3Sn?12(n?N?)． 3 (1)证明数列?Sn (2)求数列

??2???为等比数列； 3??an?的通项公式；

?Sn恒成立，求实数k的最大值．

3， 2 (3)若对任意正整数n，不等式k解:（1）因为Sn和?3Sn?1的等差中项是?1Sn?1， …………2分 33131113 由此得Sn?1??(Sn?1)??Sn??(Sn?)（n?N*），………3分 2323232 所以Sn?3Sn?1??3（n?N*），即Sn?1?32?1（n?N*） 即， ……………4分 33Sn?2Sn?1?又S1?331?a1???， 222311?}是以?为首项，为公比的等比数列. ……………5分 223311311 （2）由（1）得Sn????()n?1，即Sn??()n?1（n?N*），………6分

2232233113111 所以，当n?2时，an?Sn?Sn?1?[?()n?1]?[?()n?2]?n?1，…8分

2232233 所以数列{Sn 又n?1时，a1?1也适合上式，

1*(n?N). ……………9分 n?13 （3）要使不等式k?Sn对任意正整数n恒成立，即k小于或等于Sn的所有值.

所以an? 又因为Sn311??()n?1是单调递增数列, ……………10分 223 且当n?1时，Sn取得最小值S1?3111?1?()?1, ……………11分 223 要使k小于或等于Sn的所有值，即k?1, ……………13分

所以实数k的最大值为. ……………14分 3、（佛山市2013届高三上学期期末）数列

?an?的前n项和为Sn?2an?2，数列?bn?是首

3

项为a1，公差不为零的等差数列,且b1,b3,b11成等比数列． （1）求a1,a2,a3的值； （2）求数列

?an?与?bn?的通项公式；

bb1b2b3?????n?5． a1a2a3an（3）求证：

解析：（1）∵Sn?2an?2，

解得a2?4； ?a1?a2?2a2?2，

∴当n?1时，a1?2a1?2，解得a1?2；当n?2时，S2当n?3时，S3?a1?a2?a3?2a3?2，解得a3?8． -----------------3分

-----------------5?Sn?Sn?1?(2an?2)?(2an?1?2)?2an?2an?1，

（2）当n?2时，an分 得an列，

?2an?1又a1?S1?2a1?2，a1?2，∴数列{an}是以2为首项，公比为2的等比数

?2n． -----------------7分

所以数列{an}的通项公式为anb1?a1?2，设公差为d，则由b1,b3,b11成等比数列，

得(2?2d)2?2?(2?10d)， -----------------8分

?3， ----------------9分

解得d?0（舍去）或d所以数列{bn}的通项公式为bn（3）令Tn?3n?1．-----------------10分

?2583n?1bb1b2b3?????n?1?2?3???n，

2a1a2a3an2222Tn?2?两式式相减得

583n?1????，-----------------11分 21222n?13333n?1?????n， 12n?1222231(1?n?1)3n?13n?52?∴Tn?2?2，-----------------13分 ?5?nn1221?23n?5?0，故Tn?5．-----------------14分 又n2Tn?2?

4

4、（广州市2013届高三上学期期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn?1}是公比

为2的等比数列，a2是a1和a3的等比中项. （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列

?nan?的前n项和Tn.

（1）解：∵{Sn?1}是公比为2的等比数列，

∴Sn?1?(S?11?1)?2n?(a1?1)?2n?1. ∴Sn?(a1?1)?2n?1?1. 从而a2?S2?S1?a1?1，a3?S3?S2?2a1?2. ∵a2是a1和a3的等比中项 ∴(a1?1)2?a1?(2a1?2)，解得a1?1或a1??1. 当a1??1时，S1?1?0，{Sn?1}不是等比数列， ∴a1?1.

∴Sn?2n?1. 当n?2时，an?Sn?Sn?1?2n?1. ∵a1?1符合an?2n?1， ∴an?2n?1. （2）解：∵nan?n?2n?1， ∴Tn?1?1?2?21?3?22???n?2n?1. ①

2T21?2?22?3?23???n?2nn?1?.② ①?②得?Tn?1?2?22???2n?1?n?2n ?1?2n1?2?n?2n

5

…………… 1分

…………… 3分

…………… 4分

…………… 5分 …………… 6分

…………… 7分

…………… 8分

…………… 9分

…………… 10分…………… 11分

…………… 12分

? ∴Tn

?1?n??2n?1. …………… 13分

??n?1??2n?1. …………… 14分

?????nn?1*5、（惠州市2013届高三上学期期末）已知向量p?(an,2),q?(2,?an?1),n?N,向量p ?与q 垂直，且a1?1.

（1）求数列（2）若数列

?an?的通项公式；

?bn?满足bn?log2an?1 ，求数列?an?bn?的前n项和Sn.

…………2分

???解（1）? 向量p 与q 垂直

?2nan?1?2n?1an?0, 即?2nan?1?2n?1an

?an?1?2 ??an?是以1为首项，2为公比的等比数列…………4分 an?an?2n?1 。 …………5分

（2）?bn?log2a2?1 ，?bn?n ?an?bn?n?2n?1 ， …………8分

?Sn?1?2?2?3?22?4?23???n?2n?1, ……①

?2Sn?1?2?2?22?3?23?4?24???n?2n,……② ………10分

? 由①—②得，

?Sn?1?2?2?2?2???2234n?11?2n?n?2??n?2n?(1?n)2n?1……12分

1?2n?Sn?1?(n?1)2n?n?2n?1?1?(n?1)2n ………14分

6、（江门市2013届高三上学期期末）已知数列

?an?中a1?1，an?1?an?（n?N）．

2an?1?1?⑴求证：数列??为等差数列；

?an?⑵设bn正整数n． 证明与求解：⑴由a1，数列??an?an?1（n?N?）bn?的前n项和为Sn，求满足Sn?1005的最小2012?1与an?1?an得an?0……1分，

2an?12a?111?n?2?……3分， an?1anan 6

?1?11??2为常数，??为等差数列……5分 an?1an?an?11⑵由⑴得??2(n?1)?2n?1……7分

ana11111bn?an?an?1??(?)……8分

(2n?1)(2n?1)22n?12n?111111111?)…9分，所以Sn?b1?b2???bn?(1?)?(?)???(2323522n?12n?111n?(1?)……10分，?……11分， 22n?12n?11005n100510051??502……13分， 由Sn?即得n?20122n?12012221005所以满足Sn?的最小正整数n?503……14分．

2012所以?n?N，

?7、（茂名市2013届高三上学期期末）已知数列差中项，而数列

?an?的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等

?bn?的首项为1，

bn?1?bn?2?0．

(1)求a1和a2的值； (2)求数列

(3)设cn?an?，?bn?的通项an和bn；

?an?bn，求数列?cn?的前n项和Tn。

8、（汕头市2013届高三上学期期末）已知正项等差数列{an}中，a1成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

7

?1，且a3,a7?2,3a9

(2)设{an}的前n项和为Sn,出

Sf(n)?(n?18n)S，试问当n为何值时，

f(n)最大，并求

n?1f(n)的最大值．

解：(1)设公差为d，则a3?1?2d,a7?1?6d,a9?1?8d …………2分

?a3,a7?2,3a9成等比数列，?(3?6d)2?3(1?2d)(1?8d) …………3分 ?2d2?d?1?0,?d?0，?d?1,?an?1?(n?1)?1?n. …………6分

(2)?an?n,Sn?Snn(1?n)，?n?. …………8分

Sn?22n?1?f(n)?nn111Sn??2???……12分

(n?18)Sn?1(n?18)(n?2)n?20n?3636n??2012?2032n361，即n?6时，f(n)取得最大值. ………14分 n32当且仅当n?

9、（增城市2013届高三上学期期末）在等比数列{an}(q?1)中，已知a3（1）求{an}的通项公式； （2）求和Sn39?,S3?． 22?a1?2a2???nan．

3? 1分 29 a1?a1q?a1q2? 2分

2（1）解：由条件得：a1q2 ?1?q?2 4分 q21 5分 2 ?q?1?q?? 当q??时，a1?6, 6分 所以an121?6(?)n?16分 7分

2或解：当q?1时由条件得：

8

3?2aq???12 2分

?3a(1?q)9?1??1?q2?1?q3 2?3，即2q3?3q2?1?0 3分

q(1?q) ?(2q?1)(1?q)2 ?a11?0 ?q?? 4分

2?6 5分

当q?1时，a13?符合条件 6分 2 所以 7分

1111?6[(?)0?2?(?)?3?(?)2???n(?)n?1] 8分

222211111??Sn?6[(?)?2?(?)2?3?(?)3???n(?)n] 10分

2222231111?Sn?6[1?(?)?(?)2???(?)n?1?n(?)n] 11分 222221n1?(?)312?Sn?6[?n(?)n] 13分

1221?2841?Sn??(3n?2)(?)n 14分

332（2）Sn

10、（湛江市2013届高三上学期期末）已知数列{

an}的前n项和为

353Sn?n2?n?5,cn?1?(n?N*)。

22an（1）求数列{an}的通项公式； （2）若ci?ci?1?0(i?N*)，则称i是一个变号数，求数列{cn}的变号数的个数；

（3）根据笛卡尔符号法则，有： 若关于实数x的方程

的所有素数均为实数，

则该方程的正根的个数等于{an}的变号数的个数或比变号数的个数多2的倍数， 动用以上结论证明：方程

9

没有比3大的实数根。

11、（肇庆市2013届高三上学期期末）已知数列{an}的前n项和Sn为等比数列，且满足b1?a2，3b3的前n项和Tn。

2解：（1）由已知Sn?n， 得a1?S1?1 (1分) 22当a?2时，an?Sn?Sn?1?n?(n?1)?2n?1 (3分) ?所以an?2n?1(n?N) (4分)

?n2(n?N?)，数列{bn}(2)求数列?an?bn??b4.(1)求数列?an?，?bn?的通项公式；

10

由已知b1?a2?3，设等比数列?bn?的公比为q，由2b3?b4得

b4?3，即q?3 b3故bn?3n (7分) （2）设数列则Tn?an?bn?的前n项和Tn,

?1?3?3?32?5?33????2n?1??3n (8分)

3Tn?1?32?3?33?5?34???(2n?1)?3n?1 (10分)

两式相减得?2Tn?1?3?2?32?2?33???2?3n?(2n?1)?3n?1

?3?2(23?33???n?1 33?)n(?2?n1)3(1?3n?1)?3?2??(2n?1)?3n?1??2(3n?2)?3n (13分)

1?3所以Tn?(3n?2)?3n (14分) 12、（中山市2013届高三上学期期末）已知等差数列?an?中，a2?3 ，a4?a6?18.

（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；

（Ⅱ）若数列?bn?满足：bn?1?2bn，并且b1?a5，试求数列?bn?的前n项和Sn. 解：（I）设数列?an?的公差为d，根据题意得：

?a1?d?3, ?2a?8d?18,?1?a?1解得：?1，

d?2???an?的通项公式为an?2n?1

（Ⅱ） ?bn?1?2bn，b1?a5?9

??bn?是首项为9公比为2的等比数列

9?(1?2n) ?Sn＝＝9?2n?9

1?2

13、（珠海市2013届高三上学期期末）在数列{an}中，a1?1,an?1?anan?1(n?N*).

（1）求证：数列??1??是等差数列，并求数列{an}的通项公式； a?n? （2）设bn?1，求数列{bn}的前n项和为Tn ； n2?an11

22P?1?a?a （3）设?ii?1i?12013，求不超过P的最大整数的值.

【解】：（1）由知得：

1an?1?111?1，即??1 anan?1an所以数列{1}为首项为1，公差为1的等差数列，……2分 an ?1?1?(n?1)?1?n an从而 an?1 …………………………………4分 n（2）bn?1n……5分 ?2n?an2n所以 Tn?123n+2+3+?+n ……………① ， 22221123nTn?2+3+4+?+n+1，……………② 22222由①?②，

11n[1?()]n11111n1n2+n22得Tn?+2+3+?+n?n+1??n+1?1?()n?n+1?1?n+1．

122222222221?2所以Tn?2?（3）

2n2+n． ……………………………………………9分 2n2n?11?a?a11n2(n?1)2?(n?1)2?n2 ??1?2?n(n?1)2n2(n?1)2?2013i?1n(n?1)?1111?1??1??，……11分

n(n?1)n(n?1)nn?1P??1?ai2?ai2?111111111?(1??)?(1??)?(1??)???(1??)12233420132014

1?2014?2014所以，不超过P的最大整数为2013． ………………………………14分

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