2011届高三数学一轮复习教案：(教师用)第七章立体几何1

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第七章 立体几何初步

【知识图解】

【方法点拨】

立体几何研究的是现实空间，认识空间图形，可以培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。空间的元素是点、线、面、体，对于线线、线面、面面的位置关系着重研究它们之间的平行与垂直关系，几何体着重研究棱柱、棱锥和球。在复习时我们要以下几点： 1．注意提高空间想象能力。在复习过程中要注意：将文字语言转化为图形，并明确已知元素之间的位置关系及度量关系；借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系；能从复杂图形中逻辑的分析出基本图形和位置关系，并借助直观感觉展开联想与猜想，进行推理与计算。

2．归纳总结，分门别类。从知识上可以分为：平面的基本性质、线线、线面、面面的平行与垂直、空间中角与距离的计算。

3．抓主线，攻重点。针对一些重点内容加以训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心的核心，角与距离的计算已经降低要求。

4．复习中要加强数学思想方法的总结与提炼。立体几何中蕴含着丰富的思想方法，如：将空间问题转化成平面图形来解决、线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的判断及角与距离的求解转化成空间向量的运算。

第1课 空间几何体

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【考点导读】

1．观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；

2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；

3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式； 4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。 【基础练习】

1．一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有 14 条棱， 8 个面；②如果它是棱柱，那么它有 12 条棱 6 个面。

2. A B C 是正 ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若

A B C ，那么 ABC的

面积为。

3.（1）如图，在正四面体A－BCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 ③④ 。

B

C

D

① ② ③ ④

（2）如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图的 ②③ （要求：把可能的图的序号都填上）

.

．

侧面积是其

底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为

5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在

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【范例导析】 例1．（1）下列结论中，正确的是 。 （1）各个面都是三角形的几何体是三棱锥

（2）以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 （3）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥 （4）圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是圆锥的母线 （2）下列命题中，假命题是 （1）（3） 。（选出所有可能的答案） （1）有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 （2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形

（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 （4）若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体

分析：准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键。 （1）（4）是正确的。（1）中可以是把两个三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但不是三棱锥。（2）中要取决于三角形的形状，以及旋转方式，比如等腰直角三角形中以直角边为旋转轴进行旋转就不是圆锥。（3）中若棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形可知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长。 （2） （1）和（3）是错误的。（1）中将两个斜棱柱对接在一起就是反例。（3）中是不是棱台还要看侧

棱的延长线是否交于一点。

点评：对于概念判断的类型，举反例是非常有效的方法。

例2． A B C 是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若 A B C 的面积为3，那么△ABC的面积为_______________。 解析：26。

点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。

例3．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面 内，其余顶点在 的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到 的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面 的距离可能是： ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7

以上结论正确的为____________________（写出所有正确结论的编号）

解析：如图，B、D、A1到平面 的距离分别为1、2、4，则D、A1的中

D点到平面 的距离为3，所以D1到平面 的距离为6；B、A1的中点到

A1 1

5

平面 的距离为，所以B1到平面 的距离为5；则D、B的中点到平

2

D

3

面 的距离为，所以C到平面 的距离为3；C、A1的中点到平面 的B

2

7

距离为，所以C1到平面 的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一

2

点，所以选①③④⑤。

点评：该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得的综合题目。 例4．（1）画出下列几何体的三视图

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（2）某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状

分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。 解析：（1）这两个几何体的三视图分别如下：

（2）该几何体为一个正四棱锥。

点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。

例5．如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）的球心O，且与BC，DC分别交于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是 S1=S2 。 解析：连OA、OB、OC、OD，

则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD

VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC

又VA－BEFD＝VA－EFC，

而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，

B故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC

又面AEF公共，故选C

点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。

备用题：1。如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=。

3

（

（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；

（2）求这个平行六面体的体积。

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图2 解析：（1）如图2，连结A1O，则A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M， 作ON⊥AD交AD于N，连结A1M，A1N。

易得A1M⊥AB，A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN， ∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N，

从而OM=ON。∴点O在∠BAD的平分线上。

AM13 3

（2）∵AM=AA1cos=3×= ∴AO==2。

2223

cos

又在Rt△AOA1中，A1O=AA1- AO=9－

322

22 2

499

2

=

2

，

322

∴A1O=，平行六面体的体积为V 5 4 302。

2．如图1是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．

A

A

C 正视图 正视图 侧视图 侧视图

A

图

1 图2 俯视图 俯视图

变式题1．如图2是一个几何体的三视图（单位：cm） （Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；

（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；

（Ⅲ）设异面直线AA 与BC 所成的角为 ，求cos ．

解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图3所示． （Ⅱ）这个几何体是直三棱柱． B3由于底面 ABC的高为1

，所以AB

B

图

3

故所求全面积S 2S ABC SBB C C

2SABB A

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2

12

2 1 3 2 2 3

1

8 (cm)．

3

2

这个几何体的体积V S ABC BB

2

（Ⅲ）因为AA //BB ，所以AA 与BC 所成的角是 B BC ．

2 1 3 3(cm)

在Rt

BB C 中，BC

故cos 【反馈演练】

BB BC

1．一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是

1 2 2

。

2．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则

Rr

=

233

。

解析：水面高度升高r，则圆柱体积增加πR·r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有

2

43

πr=π

3

R2r。故

Rr

233

。答案为

233

。

点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。 3．在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是 。

23

4．如图所示，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为

1

4

。

2

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5．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 六棱锥 。

6．正四棱柱的底面边长为a，高为b(a b)，一蚂蚁从顶点A出发，沿正四棱柱的表面爬到顶点C1，那么这只蚂蚁所走过的最短路程为

4a b

2

2

。

7．空间四边形ABCD中，AC 8，BD 12，E、且EFGHF、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的点，为平行四边形，则四边形EFGH的周长的取值范围是_(16

,24)

_________。

V

64

8．设棱长为4的平行六面体ABCD A1B1C1D1的体积为V，E、F、G分别是棱AB、AD、AA1

/

上的点，且AE 1，AF 2，AG 3，则三棱锥A EFG的体积V

。

9．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：(1)三角形；(2)菱形；(3)矩形；(4)正方形；(5)正六边形。其中正确的结论是____（2）（3）（4）（5）__________。（把你认为正确的序号都填上） P 10．三棱锥P ABC中，PC x，其余棱长均为1。 （1）求证：PC AB；

（2）求三棱锥P ABC的体积的最大值。 解：（1）取AB中点M，∵ PAB与 CAB均为正三角形，

C A ∴AB PM,AB CM， ∴AB 平面PCM。 ∴AB PC

(2)当PM 平面ABC时，三棱锥的高为PM， 此时Vmax

1

3

M

B

S ABC PM 13

34

32

18

11．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线.

（1）求圆锥的母线与底面所成的角； （2）求圆锥的全面积．

解: （1）设圆锥的底面半径为R，母线长为l，

由题意得： l 2 R,

即cosACO1

Rl 12

,

所以母线和底面所成的角为60.

(2)设截面与圆锥侧面的交线为MON， 其中O为截面与AC的交点，则OO1//AB且OO1

12AB.

在截面MON内，以OO1所在有向直线为y轴，O为原点，建立坐标系，

2

则O为抛物线的顶点，所以抛物线方程为x=－2py，

2

点N的坐标为（R，－R），代入方程得：R=－2p（－R）， 得：R=2p，l=2R=4p. ∴圆锥的全面积为 Rl R

2

8 p 4 p 12 p.

222

说明：将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意, 预示了高考命题的新动向.

12．已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB BC CA 2，求球的表面积。

解析：设截面圆心为O ，连结O A，设球半径为R，

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则O A

23

2

2

3

，

在Rt O OA中，OA2 O A2 O O2，

2

∴R (

43

3

2

14

R，

2

∴R ，

649

∴S 4 R2

。

点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5iu4.html