小 处 不 可 随 便

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1、“属于关系”与“包含关系”的符号易混，元素与集合的关系用“?或?”，集合与集合之间用“?、?? ”

2、善用元素分析法来认识集合，对于描述法表示的集合,要紧抓竖线前的代表元素以及它所具备的性质。 3、易忽略?的三种情况： ①在由A∪B=B? A∩B=A?A?B时，易忽略A=?的情况；

②当A∩B=?时，易忽略A=?或B=?的极端情况；③求集合的子集时易忘记?。 4、当区间（a+1,2a）表示非空集合时，极易忽视2a＞a+1的隐含条件，类似问题应注意。 5、设M={x︱f（x）≥0},则a?M?a?eRM，而非等价于a?{x|f(x)?0}

6、证明充要条件既要证明充分性又要证明必要性；先分清条件与结论，由条件到结论是证明充分性，由结

论到条件是证明必要性。如何分清条件与结论呢？从字面上就可得知，如“A的××条件是B”说明B是条件，而“A是B的××条件”说明A是条件。

7、学会从集合的观点来判断充要条件的思考方法：若条件p以集合A的形式出现，结论q以集合B的形

式出现，则p是q的充分不必要条件?A??B；其它情况可类似分析。

8、全称命题与特称命题

⑴全称命题：?x?M,p?x?;它的否定?p：?x?M,?p（x）； 特称命题：?x?M,p?x?;它的否定?p：?x?M,?p（x）；

⑵若?x1、x2∈D，f（x1）＞g（x2）恒成立，则f(x)Min?g(x)Max；

但“若?x∈D，f（x）＞g（x）恒成立，则f(x)Min?g(x)Max”则不正确，而应该转化为 h（x）=f（x）－g（x）＞0恒成立来研究，即须h(x)Min?0；

⑶若?x1∈D1、x2∈D2，使f（x1）=g（x2）成立，则{y|y=f(x) }?{y|y=g(x) }??； 若?x1∈D1，总?x2∈D2，使f（x1）=g（x2）成立，则{y|y=f(x) }?{y|y=g(x) }； 若?x1∈D1，总?x2∈D2，使f（x1）＞g（x2）成立，则g(x)Min

(通俗的说：对于f（x）的任一个值，g（x）总有一个值比它小) 若?x1∈D1，总?x2∈D2，使f（x1）＜g（x2）成立，则f(x)Max9、命题的否定与否命题

①任何命题均有否定（即┓p），而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。

②命题的否定是原命题的矛盾命题，两者真假互反；而否命题与原命题的真假无必然联系。 ③命题的否定条件不变，只否定结论；而否命题既否定条件又否定结论。 10、二分法

f(b)<0，则y=f(x)在区间（a,b）内至少有一个⑴零点存在定理：在区间[a,b]上连续的函数f(x)满足f(a)·零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0

⑵若给定精确度为ε,且已知零点的初始区间为(a,b)，则欲达到该精确度需将区间(a,b)二分的次数n应满

?g(x)Max；

（)（b-a)?? 足

11、零点、极值点都不是点，零点是方程的根，极值点是取极值时x的值。

12、判断对应是否为映射要看A中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”。①A中不同元素可有相同象，

即允许多对一；②B中的元素可无原象，即B中元素可有剩余。 y 13、一般地，形如

12ny?x?(a?R)的函数称为幂函数，其中?y?x??>1 ?=1

0???1 ?<0

1 x 为常数． 1 的形式，其特征可归纳为

注意：幂函数的解析式必须是“两个系数为１，只有１项”．

0 14、解函数问题勿忘定义域优先的原则。如求函数解析式时，要标注定义域；判断奇偶性时，须注意到定

义域关于原点对称这个必要不充分条件；求复合函数的单调区间、求导函数等都要注意定义域的限制。 15、求定义域、值域、不等式的解集时，结果一定要用集合或区间表示，不能用不等式表示。 16、根据定义证明函数的单调性的规范格式是：取值、作差、判正负、下结论。

1

17、求函数单调区间时，易错误地在多个单调区间之间添加“∪”、“或”；另外单调区间不能用集合或不等

式表示，必须表示成区间。

18、①求函数增区间用f?(x)＞0，此解集与定义域的交集即为所求；

已知函数在某区间上递增求参数的范围，则用f?(x)≥0恒成立来求； ②因为f?(x0)=0

? f（x）在x?x处取极值；所以已知函数在x处取极值求参数的值时，由

00?f?(x0)=0解得参数值后还须检验参数取该值时函数是否真的在x0处取极值；

③函数存在极值等价于f?(x)有变号零点；

④函数存在增区间等价于f?(x)≥0有解区间即f?(x)＞0有解；

⑤可导函数在闭区间上的最值不一定恰在极值点取得，还有可能在区间端点处取得。

19、涉及到二次函数、方程或不等式，须注意二次项系数a≠0；若原题中没有指出是“二次”，须考虑到二次

项系数为0的情形。

判别式??20、根的分布基本规律：当两根同区间时―― ；

?对称轴

??f(端点)r

s

r+s

r

s

当两根异区间时――f（端点）；

21、解对数函数时，须注意真数与底数的限制条件（真数＞0，底数＞0且不等于1），字母底数还须讨论。 22、指数幂的两个运算性质易混：a﹒a= a，（a）= a。 23、n次方根的两个性质：①

rs

?a?nn?n?a?a；②na????an为奇数 。

n为偶数24、对数恒等式：

alogaN?N（a＞0且a≠1，N＞0）。

25、要看清数列的项数（如求和1+2+22+…+2n，是求n+1项的和）。

26、在应用等比数列求和公式时，须注意q=1、q≠1的讨论，另外q≠0也是个盲点。 27、用an=

(n?1)??s1时勿忘a1=s1及an=s?s中n?2的条件。 ?nn?1?(n?2)??snsn?128、一般的，三个数成等比，可设为a/q、a、aq ；四个数成等比，若设为a/q3、a/q、aq 、aq3，则漏掉了

公比为负值的情形，因为这样设的公比为q2。 29、设

?an??an?等差数列，求??的前n项和时须找?an?的正负分界点，将?an?分成两段处理。

30、你记得扇形面积公式吗？弧长公式呢？

31、三角函数中：①注意正切函数的定义域及正、余弦函数的有界性；②要善于挖掘隐含条件，缩小角的

范围，同时注意角的分拆与重组技巧；③勿忘关于sinθ、cosθ齐次式的处理方法；④解简单的三角方程或不等式时要注意数形结合、整体代换的思想；⑤在求单调区间等问题时，勿忘K?Z等。

32、图象变换规律：①平移、伸缩都是对变量本身操作的，即先把变量的系数提出来如y=f（－2x）

向右平移3个单位y=f[－2（x－3）]；②平移方向是正向移则减，负向移则加，且加减都是对变量本身

进行的。如y=f（3x）向左平移1个单位，再向上平移2个单位 y－2=f[3（x+1）]；③y=f（x）；而点P（x,y）按向量（h，k）平移 P′(x+h,y+k）。 按向量（h，k）平移 y－k=f（x－h）33、向量平行与垂直的充要条件要记准：a//b?x1y2?x2y1?0，a?b?x1x2?y1y2?0

2

34、向量数量积的运算律：a?b但(a?b)?c?b?a，(?a)?b??(a?b)=a?(?b)，(a?b)?c?a?c?b?c，

也不一定得到a?a?(b?c)，由a?c?b?c?b。向量数量积从形式上看，实数中的两

数和、差的平方公式依然成立，多项式的去括号法则也成立。 35、规定0与任一向量平行，但对于0一般不谈垂直问题，所以a?b=0与a可推出a?b并不等价，因为由a?b=0

?0 或 b?0或﹤a,b﹥=

?。 236、a?b＜0（＞0）

?a与b的夹角为钝角（锐角），注意a与b反向（同向）的特殊情形。 ?37、三个平面向量两两成的角相等，则此角可能为120°或0°。

38、“某向量在另一向量方向上的投影”与几何中 “射影”有别。一般的向量a在b方向上的投影为

︱a︱·cos〈a，b〉；显然，当〈a，b〉为钝角或等于?时，投影为负数。 39、你知道a2；解决向量?|a|2的作用吗？ABC中AB与BC的夹角是?B吗？（不是，你懂的）

问题的两种基本方法是什么？（基底法与建系法）

40、在运用不等式性质时，如a＞b，c＞0?ac＞bc，须注意c的正负对不等号方向的影响。 41、在运用均值不等式时，须注意“一正、二定、三相等”的条件，取等号的条件也要注明。

42、用根轴法解不等式，在绕根时须注意奇重根穿过偶重根穿而不过，在写解集时对端点值的取舍要慎重。 43、解含参不等式讨论完后要综合，即写出：综上所述，原不等式的解集是…;凡分类讨论最后都要综合. 44、解恒成立问题时不要忘了分离变量、主参换位等方法，并且须注意等号的取舍。

45、要弄清直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，以及各种形式的局限性（如

点斜式不适用于斜率不存在的直线等），有时方程可设为x=ty+m的形式。

46、截距与距离易混，截距可为正数、负数或0；直线在两坐标轴上的截距相等，勿忘过原点的直线在两

坐标轴上的截距也相等且都为0。

47、在解析几何中研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合；而在立体几何中一般提到两条直

线可以理解为它们不重合。

48、注意表示圆的方程的先决条件，如过点P（1,2）总能作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切，求k

的取值范围；有人刚刚悟出点P在圆外，就以为看出命题意图，结果忽视了圆半径大于零的先决条件。 49、圆：（x－a）2+（y－b）2= r2，直线（x0－a）（x－a）+（y－b）（y0－b）= r2；当P （x0，y0）在圆上

时，直线表示过P的圆的切线；当P（x0，y0）在圆外时，直线表示从点P向圆引的两切线的切点弦。 50、两圆方程相减所得方程，在两圆相交时表示相交弦，在两圆相离时表示到两圆切线长相等的点的轨迹。 51、在利用圆锥曲线定义解题时，要注意定义中的定比的分子分母的顺序。

52、圆锥曲线的定义如椭圆的定义 “平面上到两定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹” 中易忽略

︱F1F2︱＜2a ；双曲线中︱F1F2︱＞2a 。

53、椭圆和双曲线的焦半径公式易记混，它们都可以用其第二定义推导。

54、在用圆锥曲线与直线联立消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为0 以及判别式⊿≥0的限制，

求交点、弦长、中点、对称等存在性问题都是在⊿＞0下进行的。

55、若直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点；若直线与抛物线的对称轴平行时，

直线与抛物线相交，只有一个交点。此时两方程联立消元后为一次方程。 56、椭圆和双曲线中的a、b、c的关系易记混；椭圆中a2－b2=c2，双曲线中a2+b2=c2。

3

57、①异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的范围依次是（0，

??]、[0，]、[0，π]；②直线的22?倾斜角、l1到l2的角、l1与l2的夹角、两向量的夹角的范围依次是[0，π）、[0，π）、 [0，]、[0，π]。

258、用传统方法解答立体几何问题的四步曲：作→证→求→结，缺一不可。

59、三角形的“五心”：重心、垂心、内心、外心、旁心分别是中线、高线、内角平分线、中垂线、外角平

分线所在直线的交点。

60、注意对立与互斥的关系，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。 61、频率分布条形图中，其纵轴表示频率；频率分布直方图中，

频率其纵轴表示，各矩形的面积表示相应的频率，各矩形的面积之和为1。

组距互斥事件对立事件 62、什么是众数、中位数、平均数？如何用直方图估计它们的值？（请自己在此处注明）

63、用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性，如令x+1=t，则t≥1；分式化为整式时，要附加分母不

为零的条件等。

64、①线性相关系数r的性质：︱r︱≤1；︱r︱越接近1，相关程度越大；︱r︱越接近0，相关程度越小。

回归直线一定过哪个点？

②用独立性检验（2×2列联表法）来考察两个分类变量x,y是否有关系时，算出的随机变量大，说明x,y有关系成立的可能性越大。

③独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系．则在H0成立的情况下，估算概率P（K2≥6.635）≈0.01表示的意义是两个变量有关系的可信度是1-0.01=99%

④在回归分析中，可用指数系数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，则残差平方和越小,模型的拟合效果越好；

65、茎叶图的画法：①将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分；②茎相同者共用一个茎，茎

按从小到大的顺序从上向下列出；③共茎的叶一般按大小顺序同行列出（也可不按大小次序，相同的数据要重复记录，不能遗漏）．

特点： (1)无信息损失，所有原始数据都可以从图中得到； (2)便于随时记录，能展示数据的分布情况； 66、系统抽样的步骤：（1）采取随机方式将总体中的个体编号；（2）将整个的编号均衡地分段，确定分段

间隔k：

的值越

2

N是整数时，NNk?；不是整数时，从N中剔除一些个体，使得其为整数为止；

nnn（3）第一段用简单随机抽样确定起始号码l(l≤k)；（4）按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号L加上间隔k得到第2个个体编号L+K，再加上K得到第3个个体编号L+2K，…直到获取整个样本； 67、复数相等的充要条件：a+bi=c+di?a=c且b=d，要注意a、b、c、d?R。 68、两复数不全是实数，则不能比较大小；若两复数能够比较大小，则它们全是实数。 69、复数Z＝a＋bi（a、b?R）的实部为a，虚部为b，而不是bi。 70、部分编程符号的意义：

① “\\”“MOD”是指做除法之后所得的商和余数,如a=23\\10=2， b=23 MOD 10 =3； ② SQR（x）=

x; ③ABS(x)?x；④an?a^n；2*3即2×3；⑤3>=2即3≥2；

71、①辗转相除法与更相减损术：都是求最大公约数，但辗转相除法是以相除余数为0则得到，而更相减损

术则以减数与差相等而得到

②秦九韶算法：一个n次多项式，即使某些项的系数为1或缺某些项，利用 秦九韶算法求值都需n次乘法和n次加法 ③十进制化K进制——除K取余法，格式如右

72、你知道什么是流程图与组织图吗？知道组织结构图中的上、下位要素吗？

K数K商?余数K商?余数0?余数4

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