高中数学公式及知识点超级速记
更新时间:2023-05-10 12:02:01 阅读量: 实用文档 文档下载
数学学习必备
高中数学公式及知识点速记
一、函数、导数
1、函数的单调性
(1)设x1、x2 [a,b],x1 x2那么
f(x1) f(x2) 0 f(x)在[a,b]上是增函数; f(x1) f(x2) 0 f(x)在[a,b]上是减函数.
(2)设函数y f(x)在某个区间内可导,若f (x) 0,则f(x)为增函数;若f (x) 0,则f(x)为减
函数.
2、函数的奇偶性
对于定义域内任意的x,都有f( x) f(x),则f(x)是偶函数; 对于定义域内任意的x,都有f( x) f(x),则f(x)是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称。
3、函数y f(x)在点x0处的导数的几何意义
函数y f(x)在点x0处的导数是曲线y f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f (x0),相应的切线方程是y y0 f (x0)(x x0).
4、几种常见函数的导数
'
①C 0;②(xn)' nxn 1; ③(sinx)' cosx;④(cosx)' sinx;
x'xx'x
⑤(a) alna;⑥(e) e; ⑦(logax)
'
11'
;⑧(lnx) xlnax
5、导数的运算法则
u'u'v uv'
(v 0). (1)(u v) u v. (2)(uv) uv uv. (3)() 2
vv
'
'
'
'
'
'
6、会用导数求单调区间、极值、最值
7、求函数y f x 的极值的方法是:解方程f x 0.当f x0 0时: (1) 如果在x0附近的左侧f x 0,右侧f x 0,那么f x0 是极大值; (2) 如果在x0附近的左侧f x 0,右侧f x 0,那么f x0 是极小值.
二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
8、同角三角函数的基本关系式
sin2 cos2 1,tan =
sin
. cos
9、正弦、余弦的诱导公式
k 的正弦、余弦,等于 的同名函数,前面加上把 看成锐角时该函数的符号;
k
2
的正弦、余弦,等于 的余名函数,前面加上把 看成锐角时该函数的符号。
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10、和角与差角公式
sin( ) sin cos cos sin ;
cos( ) cos cos sin sin ;
tan tan
. tan( )
1 tan tan
11、二倍角公式
sin2 sin cos .
cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 .
2tan
tan2 .
1 tan2
1 cos2
2cos2 1 cos2 ,cos2 ;
2
公式变形:
1 cos2
2sin2 1 cos2 ,sin2 ;
2
12、三角函数的周期
函数y sin( x ),x∈R及函数y cos( x ),x∈R(A,ω, 为常数,且A≠0,ω>0)的周期
T
2
;函数y tan( x ),x k
2
,k Z(A,ω, 为常数,且A≠0,ω>0)的周期T
.
13、 函数y sin( x )的周期、最值、单调区间、图象变换
14、辅助角公式
y asinx bcosx a2 b2sin(x ) 其中tan
15、正弦定理
b a
abc
2R. sinAsinBsinC
16、余弦定理
a2 b2 c2 2bccosA; b2 c2 a2 2cacosB; c2 a2 b2 2abcosC.
17、三角形面积公式
S
111
absinC bcsinA casinB. 222
18、三角形内角和定理
在△ABC中,有A B C C (A B) 19、与的数量积(或内积)
|| ||cos
20、平面向量的坐标运算
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB OB OA (x2 x1,y2 y1).
(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a b=x1x2 y1y2. (3)设a=(x,y),则a
x2 y2
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21、两向量的夹角公式
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b 0,则
cos
a bab
x1x2 y1y2x1 y1 x2 y2
2
2
2
2
22、向量的平行与垂直
// x1y2 x2y1 0.
a b(a 0) 0 x1x2 y1y2 0.
三、数列
23、数列的通项公式与前n项的和的关系
n 1 s1,
( 数列{an}的前n项的和为sn a1 a2 an). an
s s,n 2 nn 1
24、等差数列的通项公式
an a1 (n 1)d dn a1 d(n N*);
25、等差数列其前n项和公式为
sn
n(a1 an)n(n 1)d1
na1 d n2 (a1 d)n. 2222
26、等比数列的通项公式
an a1qn 1
a1n
q(n N*); q
27、等比数列前n项的和公式为
a1(1 qn) a1 anq
,q 1,q 1
sn 1 q 或 sn 1 q.
na,q 1 na,q 1 1 1
四、不等式
x y
xy,当x y时等号成立。 2
(1)若积xy是定值p,则当x y时和x y有最小值2p;
12
(2)若和x y是定值s,则当x y时积xy有最大值s.
4
五、解析几何
28、已知x,y都是正数,则有
29、直线的五种方程
k(1)点斜式 y y1 k(x x1) (直线l过点P1(x1,y1),且斜率为). (2)斜截式 y kx b(b为直线l在y轴上的截距).
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y y1x x1
(y1 y2)(P 1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1 x2)).
y2 y1x2 x1xy
(4)截距式 1(a、b分别为直线的横、纵截距,a、b 0)
ab
(5)一般式 Ax By C 0(其中A、B不同时为0).
(3)两点式
30、两条直线的平行和垂直
若l1:y k1x b1,l2:y k2x b2
①l1||l2 k1 k2,b1 b2;
②l1 l2 k1k2 1. 31、平面两点间的距离公式
dA,B
A(x1,y1),B(x2,y2)).
32、点到直线的距离
d
(点P(x0,y0),直线l:Ax By C 0).
33、 圆的三种方程
(1)圆的标准方程 (x a)2 (y b)2 r2.
(2)圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0(D E 4F>0). (3)圆的参数方程
2
2
x a rcos
.
y b rsin
34、直线与圆的位置关系
直线Ax By C 0与圆(x a)2 (y b)2 r2的位置关系有三种:
d r 相离 0; d r 相切 0;
d r 相交 0. 弦长=2r2 d2
Aa Bb C
其中d .
22A B
35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
x acos cx2y2222
椭圆:2 2 1(a b 0),a c b,离心率e 1,参数方程是 .
aaby bsin
cx2y2b222
双曲线:2 2 1(a>0,b>0),c a b,离心率e 1,渐近线方程是y x.
aaab
pp2
抛物线:y 2px,焦点(,0),准线x 。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.
22
36、双曲线的方程与渐近线方程的关系
x2y2x2y2b
(1)若双曲线方程为2 2 1 渐近线方程:2 2 0 y x.
aabab
xyx2y2b
(2)若渐近线方程为y x 0 双曲线可设为2 2 .
abaab
x2y2x2y2
(3)若双曲线与2 2 1有公共渐近线,可设为2 2 ( 0,焦点在x轴上, 0,
abab
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焦点在y轴上).
37、抛物线y2 2px的焦半径公式
p
.(抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。) 2
pp
38、过抛物线焦点的弦长AB x1 x2 x1 x2 p.
22
六、立体几何
抛物线y2 2px(p 0)焦半径|PF| x0
39、证明直线与直线平行的方法
(1)三角形中位线 (2)平行四边形(一组对边平行且相等) 40、证明直线与平面平行的方法
(1)直线与平面平行的判定定理(证平面外一条直线与平面内的一条直线平行) (2)先证面面平行
41、证明平面与平面平行的方法
平面与平面平行的判定定理(一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行) ....42、证明直线与直线垂直的方法 转化为证明直线与平面垂直 43、证明直线与平面垂直的方法
(1)直线与平面垂直的判定定理(直线与平面内两条相交直线垂直) ....
(2)平面与平面垂直的性质定理(两个平面垂直,一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面) 44、证明平面与平面垂直的方法
平面与平面垂直的判定定理(一个平面内有一条直线与另一个平面垂直) 45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积=2 rl,表面积=2 rl 2 r 圆椎侧面积= rl,表面积= rl r
2
2
1
V柱体 Sh(S是柱体的底面积、h是柱体的高).
31
V锥体 Sh(S是锥体的底面积、h是锥体的高).
3
432
球的半径是R,则其体积V R,其表面积S 4 R.
3
46、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算 47、点到平面距离的计算(定义法、等体积法)
48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质:侧棱平行且相等,与底面垂直。
正棱锥的性质:侧棱相等,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。
七、概率统计
49、平均数、方差、标准差的计算
x1 x2 xn12222
方差:s [(x1 x) (x2 x) (xn x)]
nn
1
标准差:s [(x1 x)2 (x2 x)2 (xn x)2]
n
平均数:x 50、回归直线方程
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nn
xi yi xiyi nxy
b i 1n i 1n
2. y a bx,其中
xi xi2 2 i 1i 1
a n(ac bd)22
51、独立性检验 K
(a b)(c d)(a c)(b d)
52、古典概型的计算(必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来,不重复、不遗.........漏)
八、复数
53、复数的除法运算
a bi(a bi)(c di)(ac bd) (bc ad)i
. 22
c di(c di)(c di)c d
54、复数z a bi的模|z|=|a
bi|
九、参数方程、极坐标化成直角坐标
2 x2 y2
cos x 55、 y
sin y tan (x 0)
x
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