传感器的各章节解题指导

《传感器与传感器技术》计算题

解题指导（仅供参考）

第1章 传感器的一般特性

1—5 某传感器给定精度为2%F·S，满度值为50mV，零位值为10mV，求可能出现的最大误差?(以mV计)。当传感器使用在满量程的1/2和1/8时，计算可能产生的测量百分误差。由你的计算结果能得出什么结论? 解：满量程（F?S）为50﹣10=40(mV)

可能出现的最大误差为：

?m＝40?2%=0.8(mV)

当使用在1/2和1/8满量程时，其测量相对误差分别为：

0.8?1??100%?4%

140?20.8???100%?16%

240?181—6 有两个传感器测量系统，其动态特性可以分别用下面两个微分方程描述，试求这两个系统的时间常数?和静态灵敏度K。 （1） 30dy?3y?1.5?10?5T dtdy?4.2y?9.6x dt式中, y——输出电压，V；T——输入温度，℃。 （2） 1.4式中，y——输出电压，?V；x——输入压力，Pa。

解：根据题给传感器微分方程，得 (1) τ=30/3=10(s)，

K=1.5?10?5/3=0.5?10?5(V/℃)；

(2) τ=1.4/4.2=1/3(s)，

K=9.6/4.2=2.29(?V/Pa)。

1—7 已知一热电偶的时间常数?=10s，如果用它来测量一台炉子的温度，炉内温度在540℃至500℃之间接近正弦曲线波动，周期为80s，静态灵敏度K=1。试求该热电偶输出的最大值和最小值。以及输入与输出之间的相位差和滞后时间。 解：依题意，炉内温度变化规律可表示为

x(t) =520+20sin(?t)℃

由周期T=80s，则温度变化频率f=1/T，其相应的圆频率 ?=2?f=2?/80=?/40； 温度传感器（热电偶）对炉内温度的响应y(t)为

y(t)=520+Bsin(?t+?)℃

1

热电偶为一阶传感器，其响应的幅频特性为

A????B?2011?????2?1???1???40?10????2?0.786

因此，热电偶输出信号波动幅值为

B=20?A(?)=20?0.786=15.7℃

由此可得输出温度的最大值和最小值分别为

y(t)|max=520+B=520+15.7=535.7℃ y(t)|min=520﹣B=520-15.7=504.3℃

输出信号的相位差?为

?(ω)= ?arctan(ω?)= ?arctan(2?/80?10)= ?38.2? 相应的时间滞后为

?t =

80?38.2?8.4?s? 3601—8 一压电式加速度传感器的动态特性可以用如下的微分方程来描述，即

d2y3dy?3.0?10?2.25?1010y?11.0?1010x 2dtdt式中，y——输出电荷量，pC；x——输入加速度，m/s2。试求其固有振荡频率?n和阻

尼比?。

解: 由题给微分方程可得

?n??2.25?10?/1?1.5?10?rad/s?

105??3.0?1032?2.25?10?110?0.01

1—9 某压力传感器的校准数据如下表所示，试分别用端点连线法和最小二乘法求非线性误差，并计算迟滞和重复性误差；写出端点连线法和最小二乘法拟合直线方程。

校准数据表 输 出 值 (mV) 压 力 (MPa) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

第一次循环 正行程 -2.73 0.56 3.96 7.40 10.88 14.42 反行程 -2.71 0.66 4.06 7.49 10.95 14.42 第二次循环 正行程 -2.71 0.61 3.99 7.43 10.89 14.47 反行程 -2.68 0.68 4.09 7.53 10.93 14.47 第三次循环 正行程 -2.68 0.64 4.03 7.45 10.94 14.46 反行程 -2.69 0.69 4.11 7.52 10.99 14.46 2

解 校验数据处理（求校验平均值）：

压 力 (MPa) (设为x) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 输 出 值 (mV) 第一次循环 正行程 -2.73 0.56 3.96 7.40 10.88 14.42 反行程 -2.71 0.66 4.06 7.49 10.95 14.42 第二次循环 正行程 -2.71 0.61 3.99 7.43 10.89 14.47 反行程 -2.68 0.68 4.09 7.53 10.93 14.47 第三次循环 正行程 -2.68 0.64 4.03 7.45 10.94 14.46 反行程 -2.69 0.69 4.11 7.52 10.99 14.46 校验平均值 (设为y) -2.70 0.64 4.04 7.47 10.93 14.45 （1）端点连线法 设直线方程为

y=a0+kx，

取端点（x1，y1）=（0，-2.70）和(x6，y6)=（0.10，14.45）。则a0由x=0时的y0值确定，即

a0=y0?kx=y1=-2.70 (mV)

k由直线的斜率确定，即

k?y6?y114.45?(?2.70)??171.5（mV/MPa）

x6?x10.10?0y=?2.70+171.5x

拟合直线方程为 ?求非线性误差：

压 力 (MPa) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 校验平均值 (mV) -2.70 0.64 4.04 7.47 10.93 14.45 直线拟合值 (mV) -2.70 0.73 4.16 7.59 11.02 14.45 非线性误差 (mV) 0 -0.09 -0.12 -0.12 -0.09 0 -0.12 最大非线性误差 (mV) 所以，压力传感器的非线性误差为

?L??

0.12?100%??0.7%

14.45?(?2.70)3

?求重复性误差：

输 出 值 (mV) 压 力 (MPa) 1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 -2.73 0.56 3.96 7.40 10.88 14.42 2 -2.71 0.61 3.99 7.43 10.89 14.47 正行程 3 -2.68 0.64 4.03 7.45 10.94 14.46 不重复误差 0.05 0.08 0.07 0.05 0.06 0.05 1 -2.71 0.66 4.06 7.49 10.95 14.42 2 -2.68 0.68 4.09 7.53 10.93 14.47 反行程 3 -2.69 0.69 4.11 7.52 10.99 14.46 不重复误差 0.03 0.03 0.05 0.04 0.04 0.05 最大不重复误差为0.08 mV，则重复性误差为

0.08?R???100%??0.47%

14.45?(?2.70) ?求迟滞误差：

输 出 值 (mV) 压 力 (MPa) 第一次循环 正行程 反行程 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 -2.73 0.56 3.96 7.40 10.88 14.42 -2.71 0.66 4.06 7.49 10.95 14.42 迟滞 0.02 0.10 0.10 0.09 0.07 0 第二次循环 正行程 -2.71 0.61 3.99 7.43 10.89 14.47 反行程 -2.68 0.68 4.09 7.53 10.93 14.47 迟滞 0.03 0.07 0.10 0.10 0.04 0.0 第三次循环 正行程 -2.68 0.64 4.03 7.45 10.94 14.46 反行程 -2.69 0.69 4.11 7.52 10.99 14.46 迟滞 0.01 0.05 0.08 0.07 0.05 0.0 最大迟滞为0.10mV，所以迟滞误差为

?H??（2）最小二乘法 设直线方程为

0.10?100%??0.58%

14.45?(?2.70)y=a0+kx

数据处理如下表所示。

4

序号 x y x2 xy 1 0 ?2.70 0 0 2 0.02 0.64 0.0004 0.0128 3 0.04 4.04 0.0016 0.1616 4 0.06 7.47 0.0036 0.4482 5 0.08 10.93 0.0064 0.8744 6 0.10 14.45 0.01 1.445 ∑ 0.3 34.83 0.022 2.942 根据以上处理数据，可得直线方程系数分别为：

a0x??y??x??xy0.022?34.83?0.3?2.942???6?0.022?0.3n?x???x?

2222?0.76626?0.8826??2.77(mV)0.0422k?n?xy??x??yn?x2???x??6?2.942?0.3?34.83?171.5(mV/MPa) 26?0.022?0.3y=?2.77+171.5x

所以，最小二乘法线性回归方程为 求非线性误差：

压 力 (MPa) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 校验平均值 (mV) -2.70 0.64 4.04 7.47 10.93 14.45 直线拟合值 (mV) -2.77 0.66 4.09 7.52 10.95 14.38 非线性误差 (mV) 0.07 -0.02 -0.05 -0.05 -0.02 0.07 -0.07 最大非线性误差 (mV) 所以，压力传感器的非线性误差为

?L??0.07?100%??0.41%

14.38?(?2.77)可见，最小二乘法拟合直线比端点法拟合直线的非线性误差小，所以最小二乘法拟合更合理。

重复性误差?R和迟滞误差?H是一致的。

1—10 用一个一阶传感器系统测量100Hz的正弦信号时，如幅值误差限制在5%以内，则其时间常数应取多少?若用该系统测试50Hz的正弦信号，问此时的

5

?0W2S4??10?7?25002?4?4?10?6L??? ?3?????2?0.8?2?0.08??10 =1.96×10-1(H)=196(mH)

故位移??=±0.08mm时，电感的最大变化量为

ΔL=L?﹣L?=196﹣131=65(mH)

(3)线圈的直流电阻

0.06??mm为每匝线圈的平均长度，则 2?W?lCpl R???? 2s?d4设lCp?4??4???0.06???12500?4??4???102???1.75?10?6 ??12?0.06?104?249.6????? (4)线圈的品质因数

2?fL2??4000?1.57?10?1Q????15.8

RR249.6????L (5)当存在分布电容200PF时，其等效电感值

Lp??L1??2LC?L1??2?f?LC21.57?10?11??2??4000??1.57?10?200?102?1?12

?1.60?10?1????160m?3—18 如图3—4（b）所示差动螺管式电感传感器，其结构参数如下：l=160mm，

r=4mm，rc=2.5mm，lc=96mm，导线直径d=0.25mm，电阻率ρ=1.75×10-6Ω·cm，线圈匝数W1=W2=3000匝，铁芯相对磁导率μr=30，激励电源频率f=3000Hz。要求：

(1)估算单个线圈的电感值L=?直流电阻R=?品质因数Q=? (2)当铁芯移动±5mm时，线圈的电感的变化量△L=?

(3)当采用交流电桥检测时，其桥路电源电压有效值E=6V，要求设计电路具有

最大输出电压值，画出相应桥路原理图，并求输出电压值。

解：（1）单位线圈电感值

16

?0?W2?l2lc2??L?r??rc?r?2?22??l/2??4??10?7???30002?16096???10?3?42?10?6?30??10?3?2.52?10?6??22?2? ?160?3??10???2??5.70?10?2????57.0?m??W?lCplR????电阻值 （lcp=2?r，每匝导线长度） S?d2/4?1?63000?2??4?10?26.9(?) ?1.75?102?2??0.25?10/4则品质因数

2?fL2??3000?5.70?10?2Q????39.9

RR26.9????L (2)铁芯位移Δlc=±5mm时，单个线圈电感的变化

?L? ????W24??10?7???30002?l/2?2?rrc2?lc?32??5.2?10?3?????5.2m? (3)要使电桥输出最大，须使电桥为等臂电桥，则相邻桥臂阻抗比值a=1；且将电感

线圈L和平衡电阻R放置在桥路输出的两侧，则? =±(π/2)，这时电桥的灵敏度|K|=0.5，差动工作时为其2倍，故其输出电压

?1602?10??30?2.5?10?3?????5?10?

2?3?L5.2E?2?0.5??6 L57=0.544(V)=544mV

其电桥电路如下图所示，其中Z1、Z2为差动螺管式电感传感器、R1、R2为电桥平衡电阻。

Uo?2?K

题3-18题解图

17

第4章 电容式传感器

4—2 试计算习题图4-2所示各电容传感元件的总电容表达式。

(a) (b) (c)

习题图4-2

解：由习题图4-2可见

（1）图(a)等效为三个平板电容器串联 C1?总电容量为

?1Sd1， C2??2Sd2， C3??3Sd3

ddd1111????1?2?3C串C1C2C3?1S?2S?3S

d1?2?3?d2?1?3?d3?1?2??1?2?3S故

C串??1?2?3SS?d1?2?3?d2?1?3?d3?1?2d1/?1?d2/?2?d3/?3C1?C2?C?

（2）图(ba)等效为两个平板电容器并联

?Sd；C并?C1?C2?2C?2?S d （3）图(c)等效为两柱形电容器并联，总电容量为

C?2??0(L?H)2??0L2?(???0)2??H???H

ln?d2/d1?ln(d2/d1)ln(d2/d1)ln(d2/d1)4—3 在压力比指示系统中采用差动式变间隙电容传感器和电桥测量电路，如习题

4—3图所示。已知：δ0=0.25mm；D=38.2mm；R=5.1kΩ；Usr=60V(交流)，频率f=400Hz。试求：

(1)该电容传感器的电压灵敏度Ku (V/μm)；

(2)当电容传感器的动极板位移△δ=10μm时，输出电压Usc值。

18

习题图4—3

解：由传感器结构及其测量电路可知

（1）初始电容

C1?C2?C0??0?4D2

8.85?10?12???38.2?10?3?4?0.25?10?3?40.6?10?12?F??40.6pF由于 Xc???0?2

111 ???C02?fC02??400?40.6?10?126 ?9.8?10?????R(?5.1k?) 则

U?CUi?d U0?i?2C02?0从而得

Ku?U0U60?i??120V/mm?0.12V/μm ?d2?02?0.25 (2) U0 = Ku Δd=0.12V/?m×10?m=1.2V

4—4 有一台变间隙非接触式电容测微仪，其传感器的极板半径r=4mm，假设与被测工件的初始间隙d0=0.3mm。试求：

(1)如果传感器与工件的间隙变化量△d=±10μm，电容变化量为多少? (2)如果测量电路的灵敏度足Ku=100mV/pF，则在△d=±1μm时的输出电压为多少? 解：由题意可求

（1）初始电容：

8.85?10?12???4?10?3C0???d0d00.3?10?3?1.48?10?12?F??1.48pF?0S?0?r2??2

19

由

?C?d，则当Δd=±10um时 ?C0d0?d?10?10?3?C?C0?1.48???0.049pF

d00.3 如果考虑d1=0.3mm+10μm与d2=0.3mm﹣10μm之间的电容变化量ΔC′，则应为 ΔC′=2|ΔC|=2×0.049=0.098pF

(2) 当Δd=±1μm时

?C??d?1?mC0??1.48pF??0.0049pF d00.3?103?m由 Ku=100mV/pF=U0/ΔC，则

U0=KuΔC=100mV/pF×(±0.0049pF)=±0.49mV

4—5有一变间隙式差动电容传感器，其结构如习题图4-5所示。选用变压器交流电桥作测量电路。差动电容器参数：r=12mm；d1=d2=d0=0.6mm；空气介质，即

?= 3sinωt (V)。试求当动极板上输入位移ε=ε0=8.85×10-12F/m。测量电路参数：usr=u=Usr(向上位移) △x=0.05mm时，电桥输出端电压Usc?

习题图4-5

解：由习题图4-5可求

初始电容

C1=C2=C0=?S/d=?0?r2/d0

8.85?10?12???12?10?3 ?0.6?10?3 变压器输出电压

???2?6.67?10?12F?6.67pF

Usc??Z2Z2?Z1?C1?C2???2U?U?U?U Z1?Z2Z1?Z2C1?C2其中Z1 ,Z2 分别为差动电容传感器C1 ,C2 的阻抗.在ΔX<

C0?ΔC，且?C/C0=?d/d0，由此可得

Usc??C??x?0.05?U?Usr??3sin?t?0.25sin?t(V) C0d00.64—6 如习题图4-6所示的一种变面积式差动电容传感器，选用二极管双厂网络测

量电路。差动电容器参数为：a=40mm，b=20mm，dl=d2=d0=1mm；起始时动极板处于

20

中间位置，Cl=C2=C0，介质为空气，ε=ε0=8.85×10-12F/m。测量电路参数：D1、D2为理想二极管；及R1=R2=R=10KΩ；Rf=1MΩ，激励电压Ui=36V，变化频率f=1MHz。试求当动极板向右位移△x=10mm时，电桥输出端电压Usc?

习题图4-6

解：由习题图4-6可求

传感器初始电容

a40?10?3?12???b8.85?10??20?10?30?S22C0?0?? d0d01?10?3 =3.54×10?12（F）=3.54pF

当动极板向右移Δx=10mm时，单个电容变化量为

?C?（或

?x101C0?C0??3.54?1.77?pF? a/240/228.85?10?12?20?10?3?10?10?3?12?c??x??1.77?10(F)?1.77pF ） ?3d1?10?0b则 C1 = C0+ΔC，C2 = C0??C，由双T二极管网络知其输出电压

USC = 2 k Ui fΔC

?R?R?10?10?2?10? ?2?10?10?2?10?2f446462?2R?R?2Rf?RfUif?C6?36?106?1.77?10?12

?2.55?V?4—7 一只电容位移传感器如习题图4-7所示，由四块置于空气中的平行平板组成。板A、C和D是固定极板；板B是活动极板，其厚度为t，它与固定极板的间距为d。B、C和D极板的长度均为a，A板的长度为2a，各板宽度为b。忽略板C和D的间隙及各板的边缘效应，试推导活动极板刀从中间位置移动x=±a/2时电容CAC和CAD的表达式(x=0时为对称位置)。

21

习题图4-7

解：参见习题图4-7知

CAC是CAB与CBC串联，CAD是CAB与CBD串联。

当动极板向左位移a/2时，完全与C极板相对（见题解4-7图），此时

CAB=CBC=ε0ab/d

则

CAC=CAB/2=CBC/2=ε0ab/2d；

CAD=ε0ab/(2d+t)。

题解4-7图

同理，当动极板向右移a/2时，与上相仿（见题解4-7图），有

CAC =ε0ab/(2d+t)；CAD=ε0ab/2d

4—8 已知平板电容传感器极板间介质为空气，极板面积S=a×a=(2?2)cm2，间隙d0=0.1mm。求：传感器的初始电容值；若由于装配关系，使传感器极板一侧间隙d0，而另一侧间隙为d0+b(b=0.01mm)，此时传感器的电容值。 解：初始电容

8.85?10?12?2?2?10?4C0??? d0d00.1?10?3?35.4?10?12(F)?35.4pF?S?0S当装配不平衡时（见题解4-8图(a)），可取其平均间隙计算（见题解4-8图(b)）

d?(d0?b)bd?0?d0?

22=0.1+0.01/2=0.105(mm)

则其电容为

8.85?10?12?2?2?10?4C?? ?3d0.105?10?0S =33.7×10-12(F)=33.7pF

22

题解4-8图

(a) (b) (c)

或利用积分法计算传感器的电容，（见题解4-8图(c)），在位置x处，取宽度为dx、长度为a的两个狭窄长条之间的微电容为

dC?所以，总电容为

?0adxd0?bx/a

C??dC???b?ln?1??d??00d?bx/ab00?? ?12?228.85?10?(2?10)?0.01??12?ln?1???33.8?10(F)?33.8pF?30.1?0.01?10?Ca?0adx??0a2 两种计算方法结果接近，但积分法更为严密。

4-14 习题图4-14(a)所示差动式同心圆筒柱形电容传感器，其可动内电极圆筒外经d=9.8mm，固定电极外圆筒内经D=10mm，初始平衡时，上、下电容器电极覆盖长度L1=L2=L0=2mm，电极间为空气介质。试求：

（1）初始状态时电容器C1、C2的值；

（2）当将其接入习题图4-14(b)所示差动变压器电桥电路，供桥电压E=10 V（交流），若传感器工作时可动电极筒最大位移?x= ?0.2mm，电桥输出电压的最大变化范围为多少？

(a) (b)

习题图4-14

解 （1）初始状态时

2??0L02???8.85?10?12?2?10?3C1?C2?C0??D10 lnlnd9.8?12?5.51?10(F)?5.51pF

23

（2）当动电极筒位移?x= +0.2mm（向上）时，L1=2+0.2=2.2mm，L2=2?0.2=1.8mm，则

2??0L12???8.85?10?12?2.2?10?3C1???6.06?10?12(F)?6.06pF

D10lnlnd9.82???8.85?10?12?1.8?10?3C2??4.96?10?12(F)?4.96pF

10ln9.8差动变压器电桥输出为

U?EC1?C2106.06?4.96????0.5(V) 2C1?C226.06?4.96同理，当动电极筒位移?x= ?0.2mm（向下）时，L1=2?0.2=1.8mm，L2=2+0.2=2.2mm，则

C1?4.96pF C2?6.06pF

差动变压器电桥输出为

U?EC1?C2104.96?6.06?????0.5(V) 2C1?C226.06?4.96因此，当传感器可动电极筒最大位移?x= ?0.2mm，电桥输出电压的最大变化范

围为?0.5V。

第5章 压电式传感器

5—3 有一压电晶体，其面积为20mm2，厚度为10mm，当受到压力p=10MPa作用时，求产生的电荷量及输出电压： (1)零度X切的纵向石英晶体； (2)利用纵向效应的BaTiO3。 解：由题意知，压电晶体受力为

F=pS=10×106×20×10-6=200(N)

（1）0°X切割石英晶体，εr=4.5，d11=2.31×10?12C/N 等效电容

Ca??0?rSd8.85?10?12?4.5?20?10?6? ?310?10 =7.97×10?14 (F) 受力F产生电荷

Q=d11F=2.31×10?12×200=462×10?2(C)=462pC

输出电压

24

Q462?10?12Ua???5.796?103?V? ?14Ca7.97?10 （2）利用纵向效应的BaTiO3，εr=1900，d33=191×10?12C/N 等效电容

Ca??0?rSd =33.6×10-12(F)=33.6(pF) 受力F产生电荷

Q=d33F=191×10?12×200=38200×10?12 (C)=3.82×10?8C

输出电压

8.85?10?12?1900?20?10?6 ?10?10?3Q3.82?10?83?V? Ua???1.137?10?12Ca33.6?105—4 某压电晶体的电容为1000pF，kq=2.5C/cm，电缆电容CC=3000pF，示波器的输入阻抗为1MΩ和并联电容为50pF，求： (1)压电晶体的电压灵敏度足Ku； (2)测量系统的高频响应；

(3)如系统允许的测量幅值误差为5％，可测最低频率是多少?

(4)如频率为10Hz，允许误差为5％，用并联连接方式，电容值是多大? 解：（1） Ku?Kq/Ca?2.5C/cm?2.5?109V/cm

1000pF （2）高频（ω→∞）时，其响应

kqUamd33?? FmCa?Cc?CiCa?Cc?Ci2.5C/cm ? ?6.17?108V/cm?12?1000?3000?50??10F Ku? （3）系统的谐振频率

1

?R?Ca?Cc?Ci?1?247?rads? ?6?121?10?1000?3000?50??10U?/?n由 K????im?，得

2Uam1???/?n? ?n?1? ???/?n1???/?n?2?1??5%（取等号计算）

25

???n?2?0.9025?1???/?n?2?

2 ?0.9025?0.9025???n?

解出

(ω/ωn)2=9.2564 ? ω/ωn=3.0424 ω=3.0424ωn=3.0424×247=751.5(rad/s)

f=ω/2π=751.5/2π=119.6(Hz)

（4）由上面知，当?≤5%时，ω/ωn=3.0424

当使用频率f=10Hz时，即ω=2πf=2π×10=20π(rad/s)时

ωn=ω/3.0424=20π/3.0424=20.65(rad/s)

又由ωn=1/RC，则

C=1/ωnR=1/(20.65×1×106)=4.84×10-8(F)=4.84?104pF

5—5 分析压电加速度传感器的频率响应特性。若测量电路为电压前量放大器C总

=1000pF，R总=500MΩ；传感器固有频率f0=30kHz，阻尼比ζ=0.5，求幅值误差在2％以内的使用频率范围。

解：压电式加速度的上限截止频率由传感器本身的频率特性决定，根据题意

??则

1?1???/????4?22n2??/?n?22?1?2%（取等号计算）

?1???/????4?22n??/?n?2?1/1.02

1+(ω/ωn)4﹣2(ω/ωn)2 +4×0.52(ω/ωn)2=0.96

(ω/ωn)4 ﹣(ω/ωn)2 +0.04=0 解出

(ω/ωn)2 =0.042或(ω/ωn)2 =0.96（舍去）

所以

ω/ωn =0.205 或?0.205（舍去）

?=0.205?n

则

fH =0.205f0 =0.205×30=6.15(kHz)

压电式加速度传感器下限截止频率取决于前置放大器特性，对电压放大器，其幅频特性

K????由题意得 ???/?n1???/?n?22???1?????2

??1??????1??2% （取等号计算）

26

???0.981?????2

(??)2 =0.9604+0.9604 (??)2

(??)2 =24.25 ? ??=4.924 ? ω=4.924/τ

fL =ω/2π=4.924/(2??)=4.924/(2? RC)=4.924/(2?×5×108×10?9 )

=1.57(Hz)

其误差在2%以内的频率范围为： 1.57Hz~6.15kHz

5—6 石英晶体压电式传感器，面积为100mm2，厚度为1mm，固定在两金属板之间，用来测量通过晶体两面力的变化。材料的弹性模量为9×1010Pa，电荷灵敏度为2pC／N，相对介电常数是5.1，材料相对两面间电阻是1014Ω。一个20pF的电容和一个100MΩ的电阻与极板并联。若所加力F=0.01sin(1000t)N，求： (1)两极板间电压峰—峰值； (2)晶体厚度的最大变化。 解：（1）石英压电晶片的电容

Ca??0?rSd8.85?10?12?5.1?100?10?6?

1?10?3 =4.514 ×10-?12 (F) ≈4.5pF

由于Ra =1014Ω，并联电容R并=100MΩ=108Ω 则总电阻

R=Ra // R并 = 1014 //108 ≈108Ω

总电容

C=Ca //C并 =4.5+20=24.5(pF)

又因

F=0.01sin(1000t)N=Fm sin(ωt)N，kq =2 pC/N

则电荷

Q=d11 F= kq F

Qm = d11 Fm = kq Fm =2 pC/N×0.01N=0.02 pC

所以

Uim?d11Fm?R1???RC?2?0.02?10?12?103?1081?103?108?24.5?10??122?

=0.756×10?3 (V)=0.756mV 峰—峰值：

Uim-im =2Uim =2×0.756=1.512mV

（2）应变εm =Fm /SE =0.01/(100×10?6×9×1010 )=1.11×10?9 =Δdm /d

Δdm =d?m = 1×1.11×10?9 (mm)=1.11×10?9 mm

厚度最大变化量（即厚度变化的峰—峰值 ）

27

Δd =2Δdm =2×1.11×10?9 =2.22×10?9 (mm)

=2.22×10?12 m

5—7 用石英晶体加速度计及电荷放大器测量机器的振动，已知：加速度计灵敏度为5pC/g，电荷放大器灵敏度为50mV/pC，当机器达到最大加速度值时相应的输出电压幅值为2V，试求该机器的振动加速度。(g为重力加速度)

解：由题意知，振动测量系统（压电式加速度计加上电荷放大器）的总灵敏度

K=Kq?Ku =5pC/g ×50 mV/pC=250mV/g=Uo/a

式中，Uo为输出电压；a为振动系统的加速度。

则当输出电压Uo=2V时，振动加速度为

a=Uo/K=2×103/250=8(g)

5—8 用压电式传感器测量最低频率为1Hz的振动，要求在lHz时灵敏度下降不超过5％。若测量回路的总电容为500pF，求所用电压前置放大器的输入电阻应为多大? 解： 由题意知，对于电荷放大器，动态响应幅值误差为

???/?n1???/?n?2?1??5%，（取等号计算）

?/?n?0.951???/?n?2

(ω/ωn)2 =0.9025+0.9025 (ω/ωn)2 ω/ωn =3.04

τ=1/ωn =3.04/ω=3.04/(2π×1)=0.484(s)=RC

所以

R=τ/C=0.484/(500×10?12) =9.68×108?=968M?

5—9 已知压电式加速度传感器的阻尼比ζ=0.1，其无阻尼固有频率f0=32kHz，若要求传感器的输出幅值误差在5％以内，试确定传感器的最高响应频率。 解： 由加速度传感器的频率特性知，动态响应幅值误差为

??12222nn

?1???/????4???/???1???/????4???/???1/1.05 （取等号）

2222nn242?1?5%

1?2???n?????n??4?0.12???n??0.907(ω/ωn)4﹣1.96(ω/ωn)2 +0.093=0

解出

(ω/ωn)2 =0.0485或(ω/ωn)2 =1.912（舍去）

则

ω/ωn≈0.22 ? ωH =0.22ωn

28

则

fH =0.22f0 =0.22×32=7.04(kHz)

5—10 某压电式压力传感器的灵敏度为80pC/Pa，如果它的电容量为1nF，试确定传感器在输入压力为1.4Pa时的输出电压。

解：当传感器受压力1.4 Pa时，所产生的电荷

Q=80 pC/Pa ×1.4Pa=112 pC

输出电压为

Ua =Q/Ca =112×10?12 /(1×10?9)=0.112(V)

5—11 一只测力环在全量程范围内具有灵敏度3.9pC/N，它与一台灵敏度为10mV/pC的电荷放大器连接，在三次试验中测得以下电压值：(1)?100mV；(2)10V；(3)?75V。试确定三次试验中的被测力的大小及性质。 解：测力环总灵敏度

K=3.9 pC/N ×10mV/pC=39 mV/N = U0/F

式中，U0为输出电压，F为被测力，所以

F1 =U01 /K=﹣100mV/39mV/N=﹣2.56N (压力)

F2 =U02 /K=10×10 3mV/39mV/N=256N (拉力) F3 =U03 /K=﹣75×10 3mV/39mV/N=﹣1923N (压力)

5—14 某压电式压力传感器为两片石英晶片并联，每片厚度h=0.2mm，圆片半径r=1cm，εr=4.5，X切型d11=2.31?10-12C/N。当0.1MPa压力垂直作用于PX平面时，求传感器输出电荷Q和电极间电压Ua的值。

解：当两片石英晶片并联时，所产生电荷

Q并=2Q=2?d11 F=2?d11 ?πr2 =2×2.31×10?12×0.1×106 ×π×(1×10?2 )2 =145×10?12 (C) =145pC 总电容

C并=2C=2?0?rS/h=2?0?r?r2 /h =2×8.85×10?12×4.5×?×(1×10?2)2/0.2?10?3 =125.1×10?12 (F) =125.1pF 电极间电压为

U并= Q并/C并=145/125.1=1.16V

第6章 磁电式传感器

6—5 某动圈式速度传感器弹簧系统的刚度k=3200N／m，测得其固有频率为20Hz，今欲将其固有频率减小为10Hz，问弹簧刚度应为多大?

29

解： ?n?k/m?2?f0?f0?12?k/m?2?m?k/f0

3200/20?22

f0 =20Hz ， k=3200N/m时， 2?m?f0′=10Hz时，由k?2?mf0'

则

k?2?m??2f0'2?22?102?800??/m?

??26—6 已知恒磁通磁电式速度传感器的固有频率为10Hz，质量块重2.08N，气隙磁感应强度为1T，单匝线圈长度为4mm，线圈总匝数1500匝，试求弹簧刚度k值和电压灵敏度Ku值(mV/(m/s))。 解：由??k/m，则

k=ω2 m=(2?f)2 m=(2?×10)2×2.08/9.8

=8.38×102 (N/m)

Ku =e/v=NB0l0v/v=NB0l0

=1500×1×4×10?3 =6V/(m/s)=6000mv/(m/s)

6—7 某磁电式传感器要求在最大允许幅值误差2％以下工作，若其相对阻尼系数ξ=0.6，试求ω/ωn的范围。

解：由磁电势传感器的幅频特性

A????得其幅值动态误差为

??/?n?2?1???/?n?2?2?4?2??/?n?2??/?n?2

??取其等号计算

?1???/???n22?4?2??/?n?2?1?2%

2???n?4?1.022?1????n?2???4?0.62???n?2?解得 (ω/ωn)2 =12.354，或(ω/ωn)2 =2.067

ω/ωn =3.515，或 ω/ωn =1.438（舍去） 最大幅值误差小于2%时，其频率范围ω/ωn ≥3.515

第7章 热电式传感器

7—16 已知铜热电阻—Cul00的百度电阻比W(100)=1.42，当用此热电阻测量50℃温 度时，其电阻值为多少?若测温时的电阻值为92Ω，则被测温度是多少? 解：由 W（100）=R100 /R0 =1.42，则其灵敏度为

30

K?R100?R01.42R0?R00.42R0100?0.42????0.42?/oC

100?0100100100??则温度为50℃时，其电阻值为

R50 = R0 +K×50=100+0.42×50=121(?)

当Rt=92?时，由Rt = R0 +Kt，得

t=( Rt﹣R0)/K=(92?100)/0.42=﹣19(℃)

7—17 用分度号为Ptl00铂电阻测温，在计算时错用了Cul00的分度表，查得的温度为140℃，问实际温度为多少?

解 查Cul00的分度表，140℃对应电阻为159.96?，而该电阻值实际为Ptl00铂电阻测温时的电阻值，反查Ptl00的分度表，得实际温度为157℃。

7—18 在某一瞬间，电阻温度计上指示温度θ2=50℃，而实际温度θ1=100℃，设电阻温度计的动态关系为

d?2?k(?1??2) dt其中k=0.2/s。试确定温度计达到稳定读数(0.995θ1)所需时间。 解：θ2 从50℃上升到0.995θ1 =0.995×100=99.5℃

d?2d?2?k??1??2???kdt dt?1??2?99.550td?2??kdt0?1??2??0.5500.5?ln??1??2?50td??1??2??k?dt0??1??2?50?kt?t?ln0.2?23?s?

0.5

7—19 某热敏电阻，其B值为2900K，若冰点电阻为500KΩ，求热敏电阻在100℃时的阻值。

解：T0 =0℃=273K，R0 =500k?；T=100℃=373K 则

R373 =R273 e2900(1/373?1/273) =28.98(k?)

7—20 将一灵敏度为0.08mV/℃的热电偶与电位计相连接测量其热电势，电位计接线端是30℃，若电位计上读数是60mV，热电偶的热端温度是多少?

60mV?30?C?780?C

0.08mV/?C7—21 参考电极定律有何实际意义?已知在某特定条件下材料A与铂配对的热电势为13.967mV，材料B与铂配对的热电势是8.345mV，求出在此特定条件下，材料A与材料B配对后的热电势。 解：由标准电极定律

解： t?

31

E (T,T0 )=EA铂(T,T0 )?EB铂 (T,T0 )

=13.967?8.345=5.622(mV)

7-23 镍铬-镍硅热电偶灵敏度为0.04mV/℃，把它放在温度为1200℃处，若以指示仪表作为冷端，此处温度为50℃，试求热电势大小。 解： E(1200,50)= (1200?50)×0.04=46(mV)

7—24 用K型热电偶测某设备的温度，测得的热电势为20mV，冷端（室温）为25C，求设备的温度？如果改用E型热电偶来测温，在相同的条件下，E热电偶测得的热电势为多少？

解 用K型热电偶测温时，设设备的温度为t，则E(t，25)=20mV，查K型热电偶分度表，E(25，0)=1.000mV。根据中间温度定律，

E(t，0)= E(t，25)+ E(25，0)=20+1.0=21.000 mV

反查K型热电偶分度表，得t=508.4℃

若改用E型热电偶来测次设备温度，同样，根据中间温度定律，测得热电势为 EE(508.4，25)= EK(508.4，0)? EK(25，0)=37678.6?1496.5=36182.1?V?36.18mV。 7—25 现用一支镍铬-铜镍热电偶测某换热器内的温度，其冷端温度为30℃，显示仪表的机械零位在0℃时，这时指示值为400℃，则认为换热器内的温度为430℃对不对？为什么？正确值为多少度？

解 认为换热器内的温度为430℃不对。

设换热器内的温度为t，实测热电势为E(t，30)，根据显示仪表指示值为400℃，则有E(t，30)= E(400，0)，由中间温度定律并查镍铬-铜镍（E型）热电偶分度表，有

E(t，0)= E(t，30)+ E(30，0)= E(400，0)+ E(30，0)=28943+1801=30744?V 反查镍铬-铜镍热电偶分度表，得换热器内的温度t=422.5℃

7—26 热电偶温度传感器的输入电路如习题7-26图所示，已知铂铑-铂热电偶在温度0~100℃之间变化时，其平均热电势波动为6μV/℃，桥路中供桥电压为4V，三个锰铜电阻(Rl、R2、R3)的阻值均为1Ω，铜电阻的电阻温度系数为α=0.004/℃，已知当温度为0℃时电桥平衡，为了使热电偶的冷端温度在0~50℃范围其热电势

得到完全补偿，试求可调电阻的阻值只R5。 解：热电偶冷端补偿电势

E(t,0)=kt， 习题图7-26

式中，k为热电偶灵敏度(k=6?V/℃)，

而补偿电桥输出电压（见习题图7-26）

U0?冷端补偿时有

Ui?RUR?tUi????t 4R4R4kt?

Ui4k4?6?t?Ui???6000?V=6mV 4?0.00432

根据电桥电路，其等效电路为R1、Rcu和R2、R3分别串联后再并联，然后与电源、R5串联，桥臂电阻串并联后为1Ω，由此可得

1×Ui =1?E/(R+1)

所以

R=E/ Ui?1=4000/6?1=665.7(Ω)

7—28 有一台数字电压表，其分辨力为100?V/1个字，现与Cul00热电阻配套应用，测量范围为0～100℃，试设计一个标度变换电路，使数字表直接显示温度数值。

解 利用Cul00热电阻测温，测温范围为0～100℃时，其电阻变化100~142.8?，即电阻满度变化值?Rt=42.8?。数字电压表分辨力为100?V/1个字，若要使数字表直接显示温度数值，当被测温度为满度值100℃时，要显示“100”这个数字，电压表需要输入电压为100?100=10000?V=10mV。现在的任务就是要将“42.8?”转换为“10mV”，这种转换电路（即标度变换电路）可选电子电桥电路，如题解图7—28所示。

题解7-28 电阻信号的标度变换（R-V变换）

根据不平衡电桥原理（题解图7—28），可得

EEUo?Rt?Ro

R?RtR?Ro当被测温度处于下限（0℃）时，有Rt=Rt0=R0，则

EE ?R?Rt0R?R0桥路设计时取R>>R0，那么在被测温度处于非下限时有

EEI1???I2?I

R?RtR?R0于是

Uo=I(Rt?R0)=I(?Rt)

上式说明了可由不平衡电桥的转换关系，通过改变桥路参数来实现标度变换。 根据前面分析，有

U10I?o??0.234(mA)

?R142.80显然通过适当选取E或R便可得到I=0.234mA。当取R=20k?时，电源电压E为

E?I?(R?R0)?0.234?(20000?100)?4703.4mV?4.7V

33

第8章 光电式传感器

8—4 试述光电倍增管的结构和工作原理与光电管的异同点。若入射光子为103个(1个光子等效于1个电子电量)。光电倍增管共有16个倍增极，输出阳极电流为20A，且16个倍增极二次发射电子数按自然数的平方递增，试求光电倍增管的电流放大倍数和倍增系数。

解：光电倍增管的结构是在光电管的阴极与阳极间增加若干倍增极，其工作原理除光电管的外光电效应外，主要是各倍增极的二次电子发射。

倍增系数?=12?22?32???162=4.377631367?1026；

电流放大倍数M=20A/1000e=20?0.624?1019e/1000=1.248?1017

8—16 在自由空间，波长λ0=500μm的光从真空进入金刚石(nd=2.4)。在通常情况下当光通过不同物质时频率是不变的，试计算金刚石中该光波的速度和波长。 解： v=c/nd =c/2.4=0.4167c ，c为光速；

λ=λ0 / nd =λ0 /2.4=0.4167λ0 =208.3?m ， λ0为光速。

8—17 利用Snell定律推导出临界角θC的表达式。计算水与空气分界面(n水=1.33)的θC值。

解： n水sin?c =n0 sin?/2=n0

sin?c= n0 / n水

?c =arcsin1/1.33=48.76°

8—18 求光纤n1=1.46，n2=1.45的NA值；如果外部的n0=1，求光纤的临界入射

角。

解：当n0 =1时

NA?n1?n2?1.462?1.452?0.1706

所以， ?c =sin-1 NA =9.82°

8—24 计算一块氧化铁被加热到100℃时，它能辐射出多少瓦的热量?(铁块的比辐射率ε在100℃时为0.09，铁块表面积为0.9m2) 解： E=??T4 S=5.67×10?8 W/m2 ?K4×0.09×3734 K4×0.9 m2 =88.9W

22

34

第9章 磁电式传感器

9—3 某霍尔元件l×b×d=10×3.5×1mm3，沿l方向通以电流I=1.0mA，在垂直于lb面方向加有均匀磁场B=0.3T，传感器的灵敏度系数为22V/A·T，试求其输出霍尔电势及载流子浓度。

解： 由 KH =1/ned，得

（1） n=1/ (KH ed)=1/(22×1.6?10?19×1×10-3 )=2.84×1020 /m3 （2）输出霍尔电压

UH = KH IB=22V/A?T×1.0mA×0.3T

=6.6×10?3 V=6.6mV

9—4 试分析霍尔元件输出接有负载RL时，利用恒压源和输入回路串联电阻R进行温度补偿的条件。

解：

（1）采用恒压源供电和输入回路串联电阻的温度补偿（只考虑输入回路电阻Ri

与开路霍尔电势UH的温度误差全补偿）

补偿电路如下图所示

题解9-4图

t=t0和t时，霍尔元件的控制电流分别为

Ic0?而

UU；Ict?

R?Ri0R?RitRit=Ri0[1+?(t?t0)] KHt=KH0[1+?(t?t0)]

当实现温度全补偿时，UH0=UHt，即

KH0?Ic0?B= KHt?Ict?B

将前面相关公式代人，得

1??(t?t0)?则

R?Ri0[1??(t?t0)]

R?Ri0R?(???)?Ri0??Rio ?与采用恒流源供电和输入回路并联电阻的温度补偿条件一致。

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（2）只考虑输出回路的温度全补偿（输出Ro与UH随温度变化引起负载电阻RL

上输出电压的变化的全补偿）

当输出回路接入负载电阻RL，由于霍尔元件输出电阻Ro和霍尔电势UH都是温度的函数(设为正温度系数)，当工作温度改变时，输出电阻R。和霍尔电势UH的变化必然会引起负载上输出电势UL的变化。RL上的电压为

UL?UHtRU?1???t?t0?? RL?LH0RL?RotRL?Ro0?1???t?t0??式中，Ro0—温度为t0，霍尔元件的输出电阻；其他符号含义同上。为使负载上的电压

不随温度而变化，应使dUL/d?t?t0??0，即得补偿条件

???RL?Ro0??1?

???（3）根据习题9-4，如果霍尔元件输出接有负载RL，且利用恒压源和输入回路串

联电阻R进行温度补偿，可先在输入回路只考虑输入电阻Ri因温度变化引起阻值变化从而引起恒压源供电产生控制电流Ic的变化，则串联电阻R应选用随温度变化的电阻，使其电阻的变化值与霍尔元件输入电阻随温度变化的阻值全补偿，即

Rt=R0[1+?(t?t0)]= Rit=Ri0[1+?(t?t0)]

?、?分别为R和Ri的电阻温度系数。若使R0= Ri0，则选?=??即可。这样控制电流Ic恒定。仅有开路霍尔电势UH随温度变化。然后按“只考虑输出回路的温度全补偿（输出Ro与UH随温度变化引起负载电阻RL上输出电压的变化的全补偿）”的条件进行补偿。

9—8 若一个霍尔器件的KH=4mV/mA·kGs，控制电流I=3mA，将它置于1Gs~5kGs变化的磁场中(设磁场与霍尔器件平面垂直)，它的输出霍尔电势范围多大?并设计一个20倍的比例放大器放大该霍尔电势。

解： UH1 = KH IB1=4mV/Ma?kGs×3mA×1Gs=12μV UH2 = KH IB2=4mV/Ma?kGs×3mA×5kGs=60mV 设计放大倍数A=20的比例放大器，略

9—11 有一霍尔元件，其灵敏度KH=1.2mV/mA·kGs，把它放在一个梯度为5kGs/mm的磁场中，如果额定控制电流是20mA，设霍尔元件在平衡点附近作±0.1mm的摆动，问输出电压范围为多少?

解：对于梯度为5kGs/mm的磁场，当霍尔元件在平衡点附近作±0.1mm的摆动时，其磁场的变化

ΔB=±5kGs/mm×0.1mm=±0.5kGs

则霍尔元件输出电压的变化范围为

ΔUH = KH I?ΔB=1.2mV/mA?kGs×20mA×(±0.5kGs) =±12mV

第10章 数字式传感器

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10—5 用四个光敏二极管接收长光栅的莫尔条纹信号，如果光敏二极管的响应时间为10-6s，光栅的栅线密度为50线/mm，试计算一下光栅所允许的运动速度。当主光栅与指示光栅之间夹角?=0.01rad时，求其莫尔条纹间距B。

解：设光栅移动速度为v，当移动一条栅线的时间?光敏二极管的响应时间时，能保证二极管能正常反应采样，所以

v?1mm5010?6s=2×104 mm/s=20m/s

由于光栅栅距W=1/50=0.02mm，所以，当主光栅与指示光栅之间夹角?=0.01rad时，其莫尔条纹间距B为

B=W/?=0.02/0.01=2mm

10—11 一个21码道的循环码码盘，其最小分辨力θ1=？若每一个θ1角所对应的圆弧长度至少为0.001mm，且码道宽度为1mm，则码盘直径多大? 解： ?1 =2?/221 =0.2996×10?5 rad

D=2×0.001 /(0.2996×10?5)=667.5mm

第13章 其他传感器简介

13—3 在脉冲回波法测厚时，利用何种方法测量时间间隔t能有利于自动测量？若已知超声波在工件中的声速c=5640m/s，测得的时间间隔t为22μs，试求其工件厚度。 解：工件厚度

H=ct/2=5640m/s×22μs/2 =0.06204m=62.04mm

第14章 传感器的标定和校准

14—4 某一测量范围为0~1000℃的一体化热电偶温度仪表出厂前经校验，其刻度标尺上的各点测量结果如下表所示：

标准表读数/℃ 被校表读数/℃ 0 0 100 97 200 198 300 298 400 400 500 502 600 604 700 706 800 805 900 903 1000 1001 (1)求出该温度仪表的最大绝对误差值； (2)确定该温度仪表的精度等级；

(3)如果工艺上允许的最大绝对误差为?8℃，问该温度仪表是否符合要求? 解 (1) 校验数据处理如下表 标准表读数/℃ 被校表读数/℃ 绝对误差/℃ 0 0 0 100 97 ?3 200 198 ?2 300 298 ?2 400 400 0 500 502 2 600 604 4 700 706 6 800 805 5 900 903 3 1000 1001 1 37

从数据处理表可见该温度仪表的最大绝对误差值?m=6℃ （2）该仪表的最大引用误差为

?m??6?100%??0.6% 1000所以，该温度仪表的精度等级应定位1.0级。

（3）由于该仪表定为1.0 级，则其仪表基本误差为

?m=?1000?1.0%=?10℃

所以，该仪表不符合工艺上允许最大绝对误差为?8℃的测试要求。

14—5 四个应变片粘贴在扭轴上，安排得到最大灵敏度，应变片阻值为121Ω而应变灵敏系数K为2.04，并接成全桥测量电路。当用750kΩ的电阻器并联在一个应变片上分流以得到标定时，电桥输出在示波器上记录到2.20cm的位移。如果变形的轴引起示波器3.2cm的偏移，求指示的最大应变?设轴为钢制的，求应力(钢的扭转弹性模量E=1.623×1011N/m2)?

解： R并=121//750000=120.98? ΔR=∣120.98-121∣=0.02? ΔR/R=0.02/121=1.67×10?4 ε=(ΔR/R)/K=1.67×10?4∕2.04=0.819×10?4 =81.9(?ε) 由 2.2/81.9=3.2/?x 得

?x =(3.2/2.2)×81.9=119.13(?ε) ?=?x E=119.13×10?6×1.623×1011 N/m2

=1.93×108 N/ m2

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