高等数学下册复习题模拟试卷和答案

高等数学（下）模拟试卷一

一、 填空题（每空3分，共15分）

z?1x?y?1x?y的定义域为

y2yy2（1）函数（2）已知函数

z?arctan20?zx，则?x? ＝

(x?y)ds?（3）交换积分次序，?dy?f(x,y)dx（4）已知L是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则?L

（5）已知微分方程y???2y??3y?0，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分）

?x?3y?2z?1?0?（1）设直线L为?2x?y?10z?3?0，平面?为4x?2y?z?2?0，则（ ）

A. L平行于? B. L在?上 C. L垂直于? D. L与?斜交 （2）设（ ）

是由方程xyz?x?y?z?2确定，则在点(1,0,?1)处的dz?2dy C.2dx?2222A.dx?dy B.dx?222dy D.dx?2?2dy

2（3）已知?是由曲面4z?25(x?y)及平面z?5所围成的闭区域，将在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.?0C.

2????(x?y)dv5d??rdr?dz00235 B.

?2?0d??rdr?dz002?22543

?2?0d??20rdr?5dz2r35 D. ，则其收敛半径（ ）

1?0d??rdr?dz00（4）已知幂级数

A. 2 B. 1 C. 2 D. （5）微分方程y???3y??2y?3x?2e的特解y的形式为y?（ ） 得分 A.

xx??x2

x B.(ax?b)xe C.(ax?b)?ce

阅卷人 D.(ax?b)?cxe

三、计算题（每题8分，共48分）

x?11、 求过直线L1:122?y?20?z?3?1且平行于直线L2：

x?22?y?11?z1的平面方程

?z?z2、 已知z?f(xy,xy)，求?x， ?y 3、 设

D?{(x,y)x?y?4}22，利用极坐标求

??Dxdxdy2

4、 求函数f(x,y)?e(x?y?2y)的极值

?x?t?sint?(2xy?3sinx)dx?(x?e)dy?5、计算曲线积分L， 其中L为摆线?y?1?cost从点

2y2x2O(0,0)到A(?,2)的一段弧

x?xy?y?xe6、求微分方程 满足 yx?1?1的特解

四.解答题（共22分）

1、利用高斯公式计算半球面z?2???2xzdydz?yzdzdx?z?22dxdy，其中?由圆锥面z?x?y与上

222?x?y所围成的立体表面的外侧 (10? )?2、（1）判别级数

?n?1(?1)n?1n3n?1的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6?）

n?（2）在x?(?1,1)求幂级数n?1

?nx的和函数（6?）

高等数学（下）模拟试卷二

一．填空题（每空3分，共15分）

z?4x?y222（1）函数

ln(1?x?y)的定义域为 ；

elnx0xy（2）已知函数z?e，则在(2,1)处的全微分dz? ；

（3）交换积分次序，?1dx?f(x,y)dy2＝ ；

（4）已知L是抛物线y?x上点O(0,0与点B(1,1之间的一段弧，则

?Lyds? ；

（5）已知微分方程y???2y??y?0，则其通解为 .

二．选择题（每空3分，共15分）

?x?y?3z?0?（1）设直线L为?x?y?z?0，平面?为x?y?z?1?0，则L与?的夹角为（ ）；

???z?A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 （2）设z?f(x,y)是由方程z?3xyz?a确定，则?xyz2233?（ ）；

xy2yz2x?xz2?A. xy?z B. z?xy C. xy?z D. z?xy （3）微分方程y???5y??6y?xe

的特解y的形式为y?（ ）；

A.(ax?b)e2x B.(ax?b)xe222x C.(ax?b)?ce22x D.(ax?b)?cxe2x

（4）已知?是由球面x?y?z?a所围成的闭区域, 将

三次积分为（ ）； A?02?2???dv?在球面坐标系下化成

a?20d??sin?d??rdr0a2 B.?02??200d??d??rdr2?

a20C.?02?d??d??rdr00?a D.?02nd??sin?d??rdr0?

?（5）已知幂级数n?1?2n?1xn，则其收敛半径（ ）.

1A. 2 B. 1 C. 2 D.

得分 三．计算题（每题8分，共48分）

阅卷人 5、 求过A(0,2,4)且与两平面?1:x?2z?1和?2:y?3z?2平行的直线方程 .

?z2 ?z6、 已知z?f(sinxcosy,e22x?y)，求?x， ?y .

7、 设得分 D?{(x,y)x?y?1,0?y?x}，利用极坐标计算

22??arctanDyxdxdy .

8、 求函数f(x,y)?x?5y?6x?10y?6的极值. 9、 利用格林公式计算?222L(esiny?2y)dx?(ecosy?2)dyxx，其中

L为沿上半圆周(x?a)?y?a,y?0、从A(2a,0)到O(0,0)的弧段.

x?16、求微分方程

四．解答题（共22分）

y??y3?(x?1)2的通解.

?1、（1）（6?）判别级数敛；

?n?1(?1)n?12sinn?3的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收

?n（2）（4?）在区间(?1,1)内求幂级数2、(12?)利用高斯公式计算

z?x?y(0?z?1)的下侧

22?n?1?xnn的和函数 .

??2xdydz?ydzdx?zdxdy，?为抛物面

高等数学（下）模拟试卷三

一． 填空题（每空3分，共15分）

1、 函数y?arcsin(x?3)的定义域为 .

2、n??3n?3n?2= .

3、已知y?ln(1?x)，在x?1处的微分dy? .

2lim(n?2)22?4、定积分

1?1(x2006sinx?x)dx?2 .

dy?5、求由方程y?2y?x?3x?0所确定的隐函数的导数dx57 .

二．选择题（每空3分，共15分）

x?3x?2的 间断点 1、x?2是函数

（A）可去 （B）跳跃 （C）无穷 （D）振荡

y?x?1222、积分

?10x1?x2dx= .

(A) ? (B)??

(C) 0 (D) 1

3、函数y?e?x?1在(??,0]内的单调性是 。 （A）单调增加； （B）单调减少；

（C）单调增加且单调减少； (D)可能增加;可能减少。

x?4、

1xsintdt的一阶导数为 .

（A）sinx （B）?sinx （C）cosx （D）?cosx

??5、向量a?{1,?1,k}与b?{2,?2,?1}相互垂直则k? .

（A）3 （B）-1 （C）4 （D）2

三．计算题（3小题，每题6分，共18分）

1、求极限x??2x?12、求极限x?0limx3lim(2x?3)x?1

dyx?sinx3、已知y?lncose，求dx

四．计算题（4小题，每题6分，共24分）

2?t?x?2??y?1?t?xdy21、已知

，求dx

2x2、计算积分?2cosxdx

?3、计算积分

10arctanxdx22

4、计算积分0

五．觧答题（3小题，共28分）

1、(8?)求函数y?3x?4x?1的凹凸区间及拐点。 ?1x?0??1?xf(x)??12?x?0f(x?1)dxx?1???(8)01?e?2、设求

42?2?xdx3、（1）求由y?x及y?x所围图形的面积；(6?)

（2）求所围图形绕x轴旋转一周所得的体积。(6?)

22高等数学（下）模拟试卷四

一． 填空题（每空3分，共15分）

y?1x?1?x21、 函数

的定义域为 .

?2、

??0e?axdx,a?0= .

3、已知y?sin(2x?1)，在x??0.5处的微分dy? .

?4、定积分

1?1sinx1?x42dx3= .

5、函数y?3x?4x?1的凸区间是 .

二．选择题（每空3分，共15分）

1、x?1是函数

x?1的 间断点 （A）可去 （B）跳跃 （C）无穷 （D）振荡

a?0,f(0)?0,f?(0)??1,limf(ax)xx?0y?x?12?2、若

(A)1 (B)a

=

(C)-1 (D) ?a

3、在[0,2?]内函数y?x?sinx是 。 （A）单调增加； （B）单调减少；

（C）单调增加且单调减少； (D)可能增加;可能减少。

???4、已知向量a?{4,?3,4}与向量b?{2,2,1}则a（A）6 （B）-6 （C）1 （D）-3

??b为 .

dyf(x0)5、已知函数f(x)可导，且为极值，y?e0 （C）0 （D）（A）e （B）

三．计算题（3小题，每题6分，共18分）

1x?kf(x)，则

dx?x?x0 .

f(x0)f?(x)f(x0)1、求极限x?0limlim(1-kx)

2?1cosx2sintdt2、求极限x?0xsinxlnsin1x

dy3、已知y?e，求dx

四． 计算题（每题6分，共24分）

dy1、设e?xy?1?0所确定的隐函数y?f(x)的导数dx2、计算积分?3、计算积分

arcsinxdx?03yx?0。

5?sinx?sinxdx

3a?x4、计算积分

五．觧答题（3小题，共28分）

?3a0x22dx,a?0

3at?x?2??1?t?2?y?3at21?t，求在t?2处的切线方程和法线方程。 ?1、(8?)已知?12、(8?)求证当a?b?0时，a3?lna?lnba?b?1b

3、（1）求由y?x及y?0,x?2所围图形的面积；(6?) （2）求所围图形绕y轴旋转一周所得的体积。(6?)

高等数学（下）模拟试卷五

ln(x?y)一． 填空题z?（每空3分，共21分）

1．函数

y的定义域为 。

x?y222．已知函数z?e，则dz?(1,0) 。

?z3．已知z?exy，则?x4．设L为x?y22? 。

2ds??1上点?1,0?到??1,0?的上半弧段，则?L 。

e5．交换积分顺序?1?dx?lnx0f(x,y)dy? 。

6.级数

?n?1(?1)nn是绝对收敛还是条件收敛？ 。

7．微分方程y??sinx的通解为 。

二．选择题（每空3分，共15分）

1．函数z?f?x,y?在点?x0,y0?的全微分存在是f?x,y?在该点连续的（ ）条件。

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分，也非必要

2．平面?1:x?2y?z?1?0与?2:2x?y?z?2?0的夹角为（ ）。

???(x?5)nn??A．6 B．4 C．2 D．3

3．幂级数

的收敛域为（ ）。

A．?4,6? B．?4,6? C．?4,6? D．?4,6?

n?1?

y1(x)4．设y1(x),y2(x)是微分方程y???p(x)y??q(x)y?0的两特解且y2(x)?常数，则下

列（ ）是其通解（c1,c2为任意常数）。

A．y?c1y1(x)?y2(x) B．y?y1(x)?c2y2(x) C．y?y1(x)?y2(x) D．y?c1y1(x)?c2y2(x)

5．

????zdv在直角坐标系下化为三次积分为（ ），其中?为x?3,x?0,y?3,y?0，

30330303300330z?0,z?3所围的闭区域。

A．

?03dx?30dy?zdz003 B．

?dx?dy?zdz0 C．

?dx?dy?zdz

?D．

30dx?dy?zdz

三．计算下列各题（共21分，每题7分）

?z?z,zlnz?e?xy?01、已知，求?x?y。

x?1y?2z???23的直线方程。 2、求过点(1,0,2)且平行直线13、利用极坐标计算

一象限的区域。

D??(x?y)d?22，其中D为由x?y22?4、y?0及y?x所围的在第

四．求解下列各题（共20分，第1题8分，第2题12分）

1、利用格林公式计算曲线积分?L(y?e)dx?(2xy?5x?sin2x2y)dy，其中L为圆域D：

x?y22?4的边界曲线，取逆时针方向。

2、判别下列级数的敛散性：

?

(1)?(?1)n?1n?11n

?(2)?n?1n2n

3

五、求解下列各题（共23分，第1、2题各8分，第3题7分）

1、求函数

f(x,y)?x?dy?y?e?x312y?3x?3y?12的极值。

2、求方程dx满足

yx?0?2的特解。

x3、求方程y???2y??8y?2e的通解。

高等数学（下）模拟试卷六

一、填空题：（每题3分,共21分.）

1．函数z?arccos(y?x)的定义域为 。

?z2．已知函数z?ln(xy)，则

?x??2,1? 。

3．已知z?sin?x?y22?，则dz? 。

2ds?4．设L为y?x?1上点(?1,0)到?0,1?的直线段，则?L 。

5．将?10dx??1?x02f(x?y)dy22化为极坐标系下的二重积分 。

6.级数

?n?1(?1)n2n是绝对收敛还是条件收敛？ 。

7．微分方程y??2x的通解为 。

二、选择题：（每题3分,共15分.）

1．函数z?f?x,y?的偏导数在点?x0,y0?连续是其全微分存在的（ ）条件。

A．必要非充分， B．充分， C．充分必要， D．既非充分，也非必要，

2．直线

l:x1?y?21?z?20???xnn2与平面?:x?2y?z?3的夹角为（ ）。

??A．6 B．3 C．2 D．4

3．幂级数

*n的收敛域为（ ）。

A．(?3,3) B．[?3,3] C．(?3,3] D．[?3,3)

n?1?34.设y(x)是微分方程y???p(x)y??q(x)y?f(x)的特解，y(x)是方程y???p(x)y??q(x)y

?0的通解，则下列（ ）是方程y???p(x)y??q(x)y?f(x)的通解。

A．y(x) B．y(x)?y(x) C．y(x) D． y(x)?y(x)

5．

***????zdv2在柱面坐标系下化为三次积分为（ ），其中?为x?y?z?R的上半

d??d?R0R02222球体。

A． C．

??2?02?0rdr?dr?R02zdz22 B．

??2?02?0d??d?R0R0rdr?zdz0r2

zdz2?R?r0zdz2 D．

?rdr?R?r022

三、计算下列各题（共18分，每题6分）

?z?z,3z?3xyz?5?x?y 1、已知，求

2、求过点(1,0,2)且平行于平面2x?y?3z?5的平面方程。

3、计算

??(xD2?y)dxdy2，其中D为y?x、y?0及x?1所围的闭区域。

四、求解下列各题（共25分，第1题7分,第2题8分，第3题10分）

1、计算曲线积分?L(x?y)dx?(x?siny)dy2，其中L为圆周y?2x?x上点(0,0)到

2(1,1)的一段弧。

2、利用高斯公式计算曲面积分：

22????xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?是由

z?0,z?3,x?y?1所围区域的整个表面的外侧。 3、判别下列级数的敛散性：

? (1)

lnn

五、求解下列各题（共21分,每题7分）

n?2?(?1)n1?(2)?4sinn?1n?3

nf(x,y)?3x?6x?1、求函数

213y?2y?132的极值。

?1xdy2、求方程dx?y?ex满足yx?0的特解。

3、求方程y???5y??6y?(x?1)e的通解。

高等数学（下）模拟试卷七

一． 填空题（每空3分，共24分）

z?12222(x?y)25?x?y的定义域为

21yt?1?yt?35的通解为 2．一阶差分方程

1．二元函数

3．z?x的全微分dz? _ 4．ydx?xdy?0的通解为 ________________

x，则?x______________________

6．微分方程y???2y??5y?0的通解为

y?zy5．设

z?arctan?7．若区域D??(x,y)|x?y?4?，则

22???2dxdyD?

8．级数n?02的和s=

?1n二．选择题：（每题3分，共15分）

1．f?x,y?在点?a,b?处两个偏导数存在是f?x,y?在点?a,b?处连续的 条件

（A）充分而非必要 （B）必要而非充分

（C）充分必要 （D）既非充分也非必要

? 2．累次积分

10dx?x0f(x,y)dy改变积分次序为

(A)

?10dy?f(x,y)dx01 （B）?10dy?1x01y2f(x,y)dxf(x,y)dx

3x（C）?10dy?y02f(x,y)dx （D）?3x0dy?3．下列函数中， 是微分方程y???5y??6y?xe（A）y?(ax?b)e23x3x的特解形式(a、b为常数)

（B） y?x(ax?b)e （D） y?ae?（C）y?x(ax?b)e?3x

? 4．下列级数中，收敛的级数是

（A）

2?n?1212n?1 （B）

?z2?2n?1n?1n? （C）

?n?1(?3)2nn （D）

?n?1(?1)nn

5．设x?y?z?4z，则?xx?

xx?xz

(A) z (B) 2?z (C) z?2 (D) 得分

三、求解下列各题（每题7分，共21分）

z?ulnv,而u?2阅卷人 1. 设

?xy,v?3x?4y?z?z,，求?x?y

2. 判断级数

区域

?n?13nnn2的收敛性 3.计算

??eDx?y22dxdy，其中D为x?y?1所围

22四、计算下列各题（每题10分，共40分）

y??1xy?lnx1. 求微分方程

I?的通解.

，其中D是由直线y?x,x?1及x轴围成的平面区域.

2.计算二重积分

???x?y?dxdyD3.求函数f(x,y)?y?x?6x?12y?5的极值.

?32?4.求幂级数

n?1x2nnn?4的收敛域.

高等数学（下）模拟试卷一参考答案

一、填空题：（每空3分，共15分）

1、 {(x,y)|x?y?0,x?y?0} 2、4、2 5、y?C1e?C2ex?3x?yx?y 3、

22?40dx?1xxf(x,y)dy2

二、选择题：（每空3分，共15分） 1.C2.D3.C4A5.D 三、计算题（每题8分，共48分）

??1、解： A(1,2,3)????s1?{1,0,?1}??s2?{2,1,1} 2?

ij01k???n?s1?s2?12?1?i?3j?k1 6?

?平面方程为 x?3y?z?2?0 8?

2、解： 令u?xy?z?2v?xy 2?

2?z?u?z?v2????f1??y?f2??2xy ?x?u?x?v?x 6?

?z?z?u?z?v2?????f1??2xy?f2??x?y?u?y?v?y 8?

3、解：D:?0???2?20?r?2， 3?

3??xDdxdy???rDcos?drd??2?2?0cos?d??rdr0223?4? 8?

2x2??fx(x,y)?e(2x?2y?4y?1)?01?2x(,?1)f(x,y)?e(2y?2)?0?y4．解： ? 得驻点2 4?

A?fxx(x,y)?e(4x?4y?8y?4),2x2B?fxy(x,y)?e(4y?4),12122xC?fyy(x,y)?2e2x 6?

?A?2e?0,AC?B?4e?0222?极小值为

f(,?1)??e 8?

?P5．解：P?2xy?3sinx,曲线积分与路径无关 2? 积分路线选择：L1:

Q?x?e，有?yy?2x??Q?x,?

y?0,x从0??，L2:2yx??,y从0?2 4?

?L(2xy?3sinx)dx?(x?e)dy??L1Pdx?Qdy??2L2Pdx?Qdy2y2

2

y??1xy?e?P??P(x)dxx???03sinxdx?x?0(??e)dy?2??e?7 8?

1x,Q?e6．解：

?通解为

2?

11y?e??1x?dxP(x)dx?dxx?[?Q(x)e?dx?C]?ex[?eexdx?C] 4?

代入

yx?1[?e?xdx?C]?x1x[(x?1)e?C]y?1xx 6?

x?1，得C?1，?特解为

[(x?1)e?1] 8?

四、解答题

1、解：

????2xzdydz?yzdzdx?zdxdy?2???(2z?z?2z)dv????zdv?? 4?

?2?0???rcos?sin?drd?d??203 6?

?方法一： 原式＝方法二： 原式＝

?d??40cos?sin?d??2?rr2rdr?13?2 10?

2?2?0d??rdr?0n?11zdz?2??r(1?r)dr?0?2 10?

?2、解：（1）令

?un?(?1)n3n?1limun?1unn??n?13?lim?nn??3nn?1?13?1??n?1n3n?1收敛， 4?

??(?1)n?1n?1n3n?1绝对收敛。 6?

?n?s(x)?（2）令

?nxn?1x0?x?nxn?1?n?1n?1?xs1(x)?x1?x 2?

x1?x)??1(1?x) 5?

2?x0?s1(x)dx???n?1nxdx??xn?1n?s1(x)?(?s(x)?x(1?x)2x?(?1,1) 6?

高等数学（下）模拟试卷二参考答案

一、填空题：（每空3分，共15分）

1、 {(x,y)|y?4x,0?x?y?1} 2、edx?2edy 3、?0222221dy?eeyf(x,y)dx

14、12(55?1) 5、y?(C1?C2x)e

x二、选择题：（每空3分，共15分） 1. A 2.B3. B 4.D5. A 三、计算题（每题8分，共48分）

??1、解： A(0,2,4)????n1?{1,0,2}??n2?{0,1,?3} 2?

???ij01x?ks?n1?n2?102??2i?3j?k?3y?23?z?41x?y 6? 8?

?直线方程为?22、解： 令u?sinxcosy?zv?e 2?

?x??z?u?z?vx?y????f1??cosxcosy?f2??e?u?x?v?x 6?

?z?u?z?vx?y????f1??(?sinxsiny)?f2??e?y?u?y?v?y 8?

?D:0???0?r?143、解：， 3?

???z??arctanDyx?dxdy???r?drd???D40?d??rdr?01?264 8?

??fx(x,y)?2x?6?0??fy(x,y)?10y?10?0 得驻点(3,?1) 4? 4．解： ?A?fxx(x,y)?2,B?fxy(x,y)?0,2C?fyy(x,y)?10 6?

?A?2?0,xAC?B?20?0?极小值为f(3,?1)??8 8?

x5．解：P?esiny?2y,?PQ?ecosy?2，

?Q?x?ecosy,2?

x有?y?ecosy?2,OA:x 取A(2a,0),

y?0,x从0?2a 4?

?LPdx?Qdy?2?OAPdx?Qdy???(D?Q?x??P?y)dxdy???2dxdy??aD2 6?

?原式＝?a－6．解：

P??1x?1?OAPdx?Qdy322＝?a?0??a 8?

,Q?(x?1)2 2?

131?通解为

y?e??P(x)dx?P(x)dx?dx?dx[?Q(x)e?dx?C]?ex?1[?(x?1)2ex?1dx?C]1 4?

?(x?1)[?(x?1)2dx?C]?(x?1)[(x?1)2?C]3 8?

四、解答题

231、解：（1）令

?un?(?1)n?12sinn?3nlimun?1un2?limn??n?1sin?33n?1n??2sinn?n?23?14?

??2sinn?1n?3收敛，

?n???(?1)n?1n?12sinn?3绝对收敛 6?

ns(x)?（2）令

??n?1xnn? xn?1??xn?s?(x)?????nn?1???s(x)??n?1?11?x， 2?

?x0s?(x)dx?s(0)??ln(1?x) 4?

2、解：构造曲面

?1:z?1,上侧

??2xdydz?ydzdx?zdxdy???2xdydz?ydzdx?zdxdy??1 2?

????(2?1?1)dv?4???dv?4???2?0d??rdr?01dz?8?2r1?10(1?r)rdr?2?2

4? 6? 8? ?I?2????2xdydz?ydzdx?zdxdy? 10?

1?2????dxdy??Dxy 12?

高等数学（下）模拟试卷三参考答案

一．填空题：（每空3分，共15分）

?2??2?0,?0,??3?X?1且x?0?或?3? 1.；2.a；3. 2dx；4.0；5. ?二．选择题：（每空3分，共15分） 1.A;2.D;3.A;4.A;5.C.

1三．计算题：

1.

?lim?1?kx?x?01?kx?(?k)??1?kx?k4??e?k2?

22?2 2.

??limx?01cosxsintdtx1x322??lim?(?sincosx)(?sinx)3x4?1xx?0??2?2?

dydx?elnsin 3.

四．计算题：

y1?1?cos??2?1x?x?sinx1??1x2elnsincot1x

1?ey??y?xy??0;x?0,y?02?;2?dydxx?0?ye?xyx?0?013? 1.

?xarcsinx?；

1?x22.原式

3?x11?x22dx?xarcsinx??2??2d(1?x)22?

3?xarcsinx?1?x?c?2?

3 3. 原式

??0?0?(sinx)2cosxdx22???20(sinx)dsinx?3a2?(sinx)2dsinx3??451?

4.原式

?3ad(3a?x)?23a?x2223?22???3a?x???02??3a?3a?3a21?。

五．解答题: 1

y??2t1?t22?．

431?,t?2,k??,x?6a5,y?12a51?,切线:4x?3y?12a?0,法线：3x-4y+6a=01?1? 2.

设f(x)?lnx,x?b,a?,a?b?0,lna?lnb?2?1(a?b),b???a,2?1?lna?lnb?12??a2S?232???x4??2??42?3.（1）

?0xdx?4??0

8V??2?5?4?y3?dy2?????4y?33?2?64y? （2）、?805y??????05?2?

高等数学（下）模拟试卷四参考答案

一．填空题：（每空3分，共15分）

121?21x61.2?x?4；2.3；3. dx；4. 3；5. 2?5y4。

二．选择题：（每空3分，共15分）

1. C；2. D；3. B；4. B；5. C。

2x?3?x?3?3???lim?1??13?3?32?1??2x?x???1???2x??2x??53??1??lim?x??1??2x?(?2)?e2三．1.

?1?2x???1?2x?????1?2x??

1?cosx2sin2x2?22?12? 2.

?limx?03x2?limx?03x2?6

dy?1?sinex)?ex3???excotex3? 3.dxcosex?(

四．

2?2?1d2y2 1.

y???1t,dx2?tt?t?32?；

a?bb

2. 3.

??xdsinx?xsinx??sinx?2xdx10222??xsinx?2xcosx?2sinx?c2102?24?

?xarctanx??x?0111?x2dx2???4?ln(1?x)22???4??2?ln22?2?

?21??x?2sint,?1? 4.

?202cost?2costdtsin2t?2???t?2???0。

五．解答题

y??12x?12x,y???36x?24x,x1?0,x2?23为拐点，?4?? 为?

2?3222??2??2??，0、，??为凹区间，?????0，?3??3 1.

凸区间

2.

?1,x?1??xf(x?1)??,(2?)??1,x?1x??1?e10?11?exdx??21x1dx(2?)?lnex10?ln(1?e)x10?lnx21(2?)

12?

?1?ln(1?e)?2ln2(2?)? 3.（1）、

??01x?x2?3?23?x4?dx??x2??33??0?12312??

?310Vx? （2）、

?10??x?x?dx4?x2x5?4??????25?0??2?

高等数学（下）模拟试卷五参考答案

一、填空题：（每空3分，共21分）

1、?(x,y)x?y,y?0?， 2、2xex?y22dx?2yex?y22dy，3、0,4、2?，

5、?01dy?eeyf(x,y)dx，6、条件收敛，7、y??cosx?c（c为?常数），

二、选择题：（每空3分，共15分）1、A，2、D，3、A，4、D，5、B

三、解：1、令F(x,y,z)?lnz?e?xy???1?

?z?x?zz??FxFz?yz1?zexzzz ???4?

?y??FyFz? ???7?

2、所求直线方程的方向向量可取为?1,?2,3????2?

x?11?ze则直线方程为：1??y?2?z?23???7?

3、原式

??40d??rdr023???4?

四、解：1、令

P(x,y)?y?e,Q(x,y)?2xy?5x?sin?2x2 ?? ???7?

y,?P?y?2y,?Q?x?2y?5???3?

原式

??D(?Q?x??P?y)dxdy???6?

?20? ???8?

2、(1) 此级数为交错级数 ???1?

lim1nn???01 因 ，

n?1n?1(n?1,2,??) ???4?

故原级数收敛 ???6? (2) 此级数为正项级数???1?

(n?1)limn??232n3nn?1?13?1 因

???4? 故原级数收敛 ???6?

2f(x,y)?3?y?0fx(x,y)?3x?3?01五、解：、由，y得驻点(1,3),(?1,3)

???2?

A?fxx(1,3)?6,B?fxy(1,3)?0,C?fyy(1,3)??1(1,3)在处

因AC?B在(?1,3)处 因AC?B2、通解

2?0,，所以在此处无极值 ???5?

A?fxx(?1,3)??6,B?fxy(?1,3)?0,C?fyy(?1,3)??12

?0,A?0，所以有极大值

dx?1dxf(?1,3)?152???8?

y?[?ee?dx?c]e??x?x?x ???3?

?xe?ceyx?0?c?2

???6?

?x特解为y?(x?2)e

???8?

3、1)其对应的齐次方程的特征方程为 r2?2r?8?0

有两不相等的实根r1?2,r2??4 所以对应的齐次方程的通解为 y?c1e 2)设其特解y(x)?ae

?5ae?2e,a??xx2x?c2e?4x（c1,c2为?常数） ???3?

*x25

将其代入原方程得

y(x)??*25ex 故特解

???6?

2x3)原方程的通解为y?c1e?c2e?4x?25ex???7?

高等数学（下）模拟试卷六参考答案

一、

填空题：（每空3分，共21分）

122221、(x,y)x?1?y?x?1， 2、2，3、2xcos(x?y)dx?2ycos(x?y)dy,

???4、22，5、?02d??10f(r)rdr2二、选择题：（每空3分，共三、解：

3，6、绝对收敛，7、y?x?c（c为?常数）， 15分）1、B，2、B，3、B，4、D，5、D

21、令F(x,y,z)?z?3xyz?5???2?

?z?x?z??FxFzFyFz?yzz?xy ???4? xzz?xy22

???6?

2、所求平面方程的法向量可取为?2,1,3????2?

则平面方程为：2(x?1)?y?3(z?2)?0???6?

10x?y???3、原式

?1??dx?(x?y)dy022???4?

3 ???6?

P(x,y)?x?y,Q(x,y)??(x?siny),2?P?y??Q?x??1四、解：1、令

原式

????3?

?10(x?0)dx?2?10(1?siny)dy???6?

3 ???7?

2、令P?x,Q?y,R?z???2?

?cos1?5?原式

????(??P?x??Q?y??R?z)dv???5?

? ?9????8?

???3dv???7?

3、(1) 此级数为交错级数 ???1?

111?lim?0 因n??lnn ，lnnln(n?1)(n?2,3??) ???4? 故原级数收敛 ???5?

(2) 此级数为正项级数???1?

?n?14sinn?143lim??1n???3n4sinn3 因 ???4? 故原级数发散 ???5?

五、解：1、由

???3?

fx(x,y)?6x?6?0，

fy(x,y)?4y?y?02得驻点(?1,0),(?1,4)

在(?1,0)处

A?fxx(?1,0)?6,B?fxy(?1,0)?0,C?fyy(?1,0)?42

因AC?B在(?1,4)处 因AC?Bx?0,A?0，所以有极小值f(?1,0)??2 ???5?

A?fxx(?1,4)?6,B?fxy(?1,4)?0,C?fyy(?1,4)??42

?0,，所以在此处无极值 ???7?

?1dx2、通解

y?[?ee?dx?c]e?dx ???3?

?(x?c)e ???5?

yx?0?c?1,

特解为y?(x?1)e ???7?

1)对应的齐次方程的特征方程为 r2?5r?6?0 , 有两不相等的实根r1?2,r2?3 3、

2x3xxx所以对应的齐次方程的通解为 y?c1e 2)设其特解y(x)?(ax?b)e

2ax?3a?2b?x?1,a?*x?c2e（c1,c2为?常数） ???3?

12,b?54

将其代入原方程得

y(x)?(*12x?54)ex 故特解

???6?

2x3)原方程的通解为y?c1e?c2e3x?(12x?54)ex???7?

高等数学（下）模拟试卷七参考答案

一．填空题：（每空3分，共24分）

2t3y?C?()?y?1yt(x,y)|0?x?y?25yxdx?xlnxdy 351. 2. 3.

?22?yy?Cx1?x2y2x 4. 5.

6.y?e(C1cos2x?C2sin2x) 7.二．选择题：（每题3分，共15分）

1. D 2. D 3. B 4. C 5. B 三．求解下列微分方程（每题7分，共21分）

?z2??z?uz?v?2x1.解：?x?u?x???v?xy2ln(3x?4y)?3x(3x?4y)y2?z?z?u?z?v2x2?u?y?v?y?4y)?4x2?y????y3ln(3x(3x?4y)y23n?12.解：limun?1n?1u?lim(n?1)?2?(5分)x??nx??3nn?2n ?32?1???(6分)所以此级数发散????(7分)3. 解：??ex2?y2dxdyD=? 2?r2 0d??10erdr??(5分)=? 2?1r21 02ed?0??(e?1)??(7分)

四．计算下列各题（每题10分，共40分）

1.解：原方程的通解为1y?e???1xdx[?lnxe??xdxdx?c] ???(6分)=x[?lnx1xdx?C]?x[?lnxdlnx?C]?x[12(lnx)2?C]?????????(10分)

8?8. 2 ………(4分)………(7分)

2. 解：???x?y?dxdy=?dx? 0D1x 0?x?y?dy??(6分)12??(10分)12?x?=??xy?y?dx? 02??0 1? 1 032xdx?2

??fx(x,y)??2x?6?03.解： 得驻点(3，2)和(3，-2)????(4分)?2f(x,y)?3y?12?0??yfxx(x,y)??2,fxy(x,y)?0,fyy(x,y)?6y在点(3，2)处，A=-2，B=0，C=12，AC?B=-24<0，故点(3，2)不是极值点????????(7分)在点(3，-2)处，A=-2，B=0，C=-12，AC?B=24>0，且A<0，222)是极大值点，极大值f(3,?2)?30??????(10分) 故点(3，14.解：此幂级数的收敛半径：R=limanan?1n???limn??n4122n?4??(6分)n?1(n?1)4?x?4时幂级数变为?n=1?1n2是收敛的p-级数nx??4时幂级数变为?n=1?(-1)n2绝对收敛?????????????(8分) 所以?n?1x2nnn?4收敛域为[-4，4]????????????????(10分)

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