抛物线及其标准方程

第二章 圆锥曲线与方程

2.4.1 抛物线及其标准方程

生活中存在着各种形式的抛物线

我们对抛物线已有了哪些认识？

二次函数是开口向上或向下的抛物线。y

o

x

问题探究： 当|MF|=|MH| ,点M的轨迹是什么？

探 究 ？

H

M

·

C

·F

l

e=1

可以发现,点M随着H运动的过程中,始终|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是 曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.

抛物线的定义:在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点,H

d M

·

C焦 点

·F

准线

l

直线l 叫抛物线的准线

e=1

d 为 M 到 l 的距离

想一想

如果点F在直线l上，满足条件的点的 轨迹是抛物线吗？

注：若F L,则满足到定点F和定直线L的距离相等的点的 轨迹是过点F且垂直于直线L的一条直线.

1.抛物线的定义 距离相等的 平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)_________ 焦点 ，直线l叫做 点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的_____ 准线 . 抛物线的_____ 试一试：在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”,点的 轨迹还是抛物线吗？ 提示 当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定

直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线.

1.抛物线定义的理解

(2)在抛物线的定义中，定点F不能在直线l上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直 线.如到点F(1,0)与到直线l:x+y-1=0的距离相等的 点的轨迹方程为x-y-1=0,轨迹为过点F且与直线l垂直 的一条直线.

探索研究 推出方程想 一 想L 求曲线方程 的基本步骤

如何建立直角坐标系？

· F

抛物线的标准方程：如图，以过F点垂直于直线l的直线为x轴， F 和垂足K的中点为坐标原点建立直角坐标系.设|FK|=p(p>0),M(x,y)

p p 则焦点F ( , 0), 准线l : x = 2 2由抛物线定义知：|MF|=d

y

lK

d

.M .F

p p 2 2 即： ( x ) y | x | 2 22 2 p p x 2 px y 2 x 2 px 4 4

O

x

y 2 px, ( p 0)2

2 y 2 px p 0 ,叫作焦点在X轴正半轴上的 .

抛物线的标准方程.它所表示的抛物线的焦点F在 x 轴的 p 0 正半轴上，坐标是( , ),它的 p 2 x 准线方程是 2 .

L

y

o

F

x

说明： p的几何意义: 焦点到准线的距离.

巩固练习1标准方程2

已知抛物线的标准方程， 求其焦点坐标和准线方程.焦点坐标 准线方程

y =20x (5, 0) x 5 2 1 1 x y 0 ( , 0) x 5x 2 y 02

y ax a 0 2

5 ,0 8 a , 0 4

4

5 x 8a x 4

4

抛物线的标准方程 抛物线的焦点

坐标和准线方程:关键：确定P的值

2 y 2 px p 0 ,叫作焦点在X轴正半轴上的 .

抛物线的标准方程.

L

y

一条抛物线，由于它在坐标 平面内的位置不同，方程也 不同，所以抛物线的标准方 程还有其它形式.

o

F

x

想一想: 抛物线的位置及其方程还有没有其它 的形式？

问题：仿照前面求抛物线标准方程的方法， 你能建立适当的坐标系，求下列后三幅图中 抛物线的方程吗?(1)F

(2)F

l

l

(3)F

(4)

l F

l

不同位置的抛物线标准方程图 形

( P > 0)

焦点位置标准方程 焦点坐标 准线方程

x轴的 正方向

x轴的 负方向 y2=-2pxp F(- ,0) 2 p x= 2

y轴的 正方向 x2=2pyp F (0, ) 2 p y =2

y轴的 负方向 x2=-2pyp F (0, - ) 2 p y= 2

y2=2pxp F ( ,0) 2 p x =2

2.抛物线标准方程的几种形式

图形

标准方程y2=2px(p>0) ___________

焦点坐标p ( ,0) 2 ______ p (- , 0) 2 _______ p (0, ) ______ 2 p (0,- ) 2 _______

准线方程p x=- 2 _______ p x= 2 _____ p y=- _______ 2p y= 2 _____

_____________

y2=-2px(p>0)

____________

x2=2py(p>0)

2=-2py(p>0) x _____________

抛物线的标准方程抛 物 线 方 程

左右 型

标准方程为

开口向右:

y2 =〒2px(p>0)

y2 =2px(x≥ 0)开口向左:

y2 = -2px(x≤ 0)开口向上:

上下 型

标准方程为

x2 =〒2py(p>0)

x2 =2py (y≥ 0)开口向下:

x2 = -2py (y≤0)

【小结】 1 、一次项的变量如为 x (或 y ),则 x 轴(或 y 轴)为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上。 2、一次项的系数符号决定了开口方向。

练习1:请判断下列抛物线的开口方向

x 32 y2

x 2 y2

y 25x2

x 49y2

y 251x2

y x

2

y 32x 02

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5i34.html