第24章_圆期末复习(含答案)

13－14学年度人教版数学九年级（上）期末复习（四）

（圆部分）

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．如图：已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE∥OA，∠D=50°，则∠C的度数是（ ）

A．25° B．40° C．30° D．50°

(第1题) (第2题) (第3题)

2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB垂足为E，下列结论中，错误的是（ ）

A．CE=DE B．BC BD

C．∠BAC=∠BAD D．AC＞AD

3．如图，AB是⊙O的直径，∠C=20°，则∠BOC的度数是（ ）

A．40° B．30° C．20° D．10°

4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在CD的延长线上，如果

∠BOD=120°，那么∠BCE等于（ ）

A．30° B．60° C．90° D．120°

(第4题) (第6题) (第7题)

5．已知圆的半径是5cm，如果圆心到直线的距离是5cm，那么直线和圆的位置关

系是（ ）

A. 相 交

B. 相 切

C. 相 离

D. 内 含

6 . 如 图 ， 直 线 AB 与 ⊙ O 相 切 于 点 A , ⊙ O 的 半 径 为 2 , 若 ∠ OBA =30° , 则 OB 的长为( A. 4 3 ) B. 4 C. 2 3 D. 2

7 . 如 图 ： PA 切 ⊙ O 于 A , PB 切 ⊙ O 于 B , OP 交 ⊙ O 于 C , 下 列 结 论 中 错 误 的 是( ) B . PA = PB D . C 是 PO 的 中 点 )

A . ∠ APO = ∠ BPO C . AB ⊥ OP

8 .大 圆 半 径 为 6 ,小 圆 半 径 为 3 ,两 圆 圆 心 距 为 10 ,则 这 两 圆 的 位 置 关 系 为( A. 外 离 B. 外 切 C. 相 交 D. 内 含

9 . Rt △ ABC 中 ， ∠ C =90° , AC =8 , BC =6 , 两 等 圆 ⊙ A , ⊙ B 外 切 ， 那 么 图 中 两 个扇形(即阴影部分)的面积之和为( A. ) C.

25 4

B.

25 8

25 16

D.

25 32

(第 9题 )

( 第 10 题 )

( 第 11 题 )

10 . 如 图 ， 现 有 一 圆 心 角 为 90° , 半 径 为 8 cm 的 扇 形 纸 片 ， 用 它 恰 好 围 成 一 个 圆 锥的侧面(接缝忽略不计) ,则该圆锥底面圆的半径为( A . 4cm B . 3cm C . 2cm ) D . 1cm

二、填空题(每小题4分，共40分) 11 . 如 图 所 示 为 一 弯 形 管 道 ， 其 中 心 线 是 一 段 圆 弧 AB . 已 知 半 径 OA =60 cm , ∠ AOB =108° , 则 管 道 的 长 度 ( 即 AB 的 长 ) 为

cm . ( 结 果 保 留 π)

12 .如 图 ，两 个 等 圆 ⊙ O 与 ⊙ O ′ 外 切 ，过 点 O 作 ⊙ O ′ 的 两 条 切 线 OA 、 OB , A 、 B 是 切 点 ， 则 ∠ AOB = 度.

(第12题) (第13题) (第14题)

13．如图：⊙I是直角△ABC的内切圆，切点为D、E、F，若AF，BE的长是方

程x2－13x+30=0的两根，则△ABC的面积为 ．

14．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4．BD为⊙O的直径，则

BD．

15．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为度．

16．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为

13米，则拱高CD为．

(第16

题) (第17题) (第19题)

17．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心．OD⊥AB，垂足为D，OE⊥AC，

垂足为E，若DE=3，则BC= ．

18．在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O

的位置关系是 ．

19．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C的大小为

20．圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇

形圆心角的度数为 ．

三、解答题（共70分）

21．如图：直径为10cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4cm，求弦AB的长．

22．已知⊙O中的弦AB=CD，求证：AD=BC．

23．如图：A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=50°，∠OBC=40°，求∠OAC的度

数．

24．如图：等腰△ABC，以腰AB为直径作⊙O交底边BC于P，PE⊥AC，垂足

为E．求证：PE是⊙O的切线．

25 . 如 图 ， 已 知 AB 是 ⊙ O 的 直 径 ， AC 是 弦 ， CD 切 ⊙ O 于 点 C , 交 AB 的 延 长 线 于 点 D , ∠ ACD =120° , BD =10 . ( 1 ) 求 证 ： CA = CD ; ( 2) 求 ⊙ O 的 半 径 .

26 .如 图 ：两 个 同 心 圆 的 半 径 所 截 得 的 弧 长 AB =6 πcm ,CD =10 πcm ,且 AC =12 cm . ( 1) 求 两 圆 的 半 径 长 . ( 2) 阴 影 部 分 的 面 积 是 多 少 ？

27 .如 图 ，已 知 在 ⊙ O 中 ， AB = 4 3 , AC 是 ⊙ O 的 直 径 ， AC ⊥ BD 于 F ,∠ A =30 度. ( 1) 求 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 ； ( 2 ) 若 用 阴 影 扇 形 OBD 围 成 一 个 圆 锥 侧 面，请求出这个圆锥的底面圆的半径.

试题答案及解析 2. 考点：垂径定理．

分析：根据垂径定理判断．

解答：解：AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB垂足为E，则AB是垂直于弦CD的直径，就满足垂径定理．

因而CE=DE，BC BD，∠BAC=∠BAD都是正确的．

根据条件可以得到AB是CD的垂直平分线，因而AC=AD．所以D是错误的． 故选D．

点评：本题主要考查的是对垂径定理的记忆与理解．

3. 考点：圆周角定理；等腰三角形的性质．

专题：计算题；压轴题．

分析：根据等腰三角形的性质，易求得∠A=∠C=20°；由于圆周角∠A和圆心角∠BOC所对的弧相同，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可求得∠BOC的度数．

解答：解：∵OA=OC，

∴∠A=∠C=20°；

∴∠BOC=2∠A=40．

故选A．

解答：解：∵直线AB与⊙O相切于点A，

则∠OAB=90°．

∵OA=2，

∴OB OAOA2 4． sinBsin30 1

2

故选B．

点评：本题主要利用了切线的性质和锐角三角函数的概念解直角三角形问题．

7. 考点：切线的性质；等腰三角形的性质；切线长定理．

专题：证明题．

OP⊥AB，根据以上结论推出即可． 解答：解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，

∴PA=PB，∠BPO=∠APO，

∴选项A、B错误；

∵PA=PB，∠BPO=∠APO， ∴OP⊥AB，∴选项C错误；

根据已知不能得出C是PO的中点，故选项D正确；

故选D．

点评：本题考查了切线长定理和等腰三角形的性质的应用，熟练地运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．

8. 考点：圆与圆的位置关系．

分析：两圆的位置关系有：相离（d＞R+r）、相切（外切：d=R+r或内切：d=R－r）、相交（R－r＜d＜R+r）．

此题两圆半径和为3+6=9＜10，所以两圆外离．

解答：解：∵两圆半径和为3+6=9＜10，

∴两圆外离．故选A．

点评：本题主要考查两圆的位置关系．两圆的位置关系有：相离（d＞R+r）、相切（外切：d=R+r或内切：d=R－r）、相交（R－r＜d＜R+r）．

9. 考点：扇形面积的计算；相切两圆的性质．

专题：压轴题．

分析：已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，则根据勾股定理可知AB=10，两个扇形的面积的圆心角之和为90度，利用扇形面积公式即可求解．

解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=8 6=10，

∴S阴影部分

故选A． 2290 5225 ． 3604

点评：本题主要考查勾股定理的使用及扇形面积公式的灵活运用． 10. 考点：弧长的计算． 专题：压轴题．

分析：本题考查了圆锥的有关计算，圆锥的表面是由一个曲面和一个圆面围成的，圆锥的侧面展开在平面上，是一个扇形，计算圆锥侧面积时，通过求侧面展开图面积求得，侧面积公式是底面周长与母线乘积的一半，先求扇形的弧长，再求圆锥底面圆的半径，弧长：

解答：解：弧长：90 84 ． 4 ，圆锥底面圆的半径：r 2（cm）1802 90 8 4 ， 180

4 圆锥底面圆的半径：r ． 2（cm）2

故选C．

再 根 据 切 线 长 定 理 得 ∠ AOB =2 ∠ AOO ′=60° . 故 答 案 是 ： 60 . 点 评 ：本 题 综 合 运 用 了 切 线 的 性 质 定 理 、切 线 长 定 理 以 及 借 助 锐 角 三 角 函 数 进 行 解答. 13. 考 点 ： 三 角 形 的 内 切 圆 与 内 心 ； 解 一 元 二 次 方 程 - 因 式 分 解 法 . 分 析 ：求 △ ABC 的 面 积 ，关 键 是 求 出 两 条 直 角 边 的 长 ；由 已 知 的 方 程 可 求 出 AF 、 BE 的 长 ， 结 合 切 线 长 定 理 和 勾 股 定 理 ， 可 求 得 CE 、 CF 的 长 ， 进 而 可 求 出 AC 、 BC 的 长 ； 根 据 直 角 三 角 形 的 面 积 公 式 即 可 求 出 其 面 积 . 解答：解：如图；2 解 方 程 x - 13 x +30=0 , 得 ：

x 1 =10 , x 2 =3 , ∴ AD = AF =10 , BD = BE =3 ; 设 CE = CF = x , 则 AC =10+ x , BC =3+ x ; 由勾股定理，得： AB 2 = AC 2 + BC 2 , 即 13 2 = ( 10+ x ) 2 + ( 3+ x ) 2 , 解 得 ： x =2 ( 负 值 舍 去 ) , ∴ AC =12 , BC =5 ; 因 此 S △ A BC =

1 1 AC BC = ×5×12=30 . 2 2

故 答 案 为 ： 30 . 点 评 ：本 题 主 要 考 查 的 是 三 角 形 内 切 圆 的 性 质 、切 线 长 定 理 、勾 股 定 理 、直 角 三 角形的面积公式等知识. 14. 考 点 ： 垂 径 定 理 ； 圆 周 角 定 理 . 分析： 根 据 BD 是 直 径 ， 易 证 △ ABD 为 直 角 三 角 形 ； ∠ D = ∠ C =30° . 则 BD =2 AB =8 . 解 答 ： 解 ： ∵ ∠ BAC =120° , AB = AC =4 , ∴ ∠ C =30° , ∴ ∠ BOA =60° . 又 ∵ OA = OB , ∴ △ AOB 是 正 三 角 形 .

∴ OB = AB =4 , ∴ BD =8 . 点评：本题运用了圆周角定理的推论，直径所对的圆心角是直角. 15. 考 点 ： 圆 心 角 、 弧 、 弦 的 关 系 . 分析：运用同圆或等圆中圆心角、弧和所对弦的关系则可解. 解 答 ： 解 ： ∵ 一 条 弦 把 圆 分 成 1: 3两 部 分 ， ∴整个圆分为四等分， 则 劣 弧 的 度 数 为 360° ÷4=90° , ∴ 弦 所 对 的 圆 心 角 为 90° . 点评：本题考查了同圆或等圆中圆中圆心角、弧和所对弦的关系. 16. 考 点 ： 垂 径 定 理 的 应 用 . 分析：先构建直角三角形，再利用勾股定理和垂径定理计算. 解 答 ： 解 ： 因 为 跨 度 AB =24 m , 拱 所 在 圆 半 径 为 13 m , 延 长 CD 到 O , 使 得 OC = OA , 则 O 为 圆 心 ， 则 AD =

1 AB =12 ( 米 ) , 2

则 OA =13 米 ， 在 Rt △ AOD 中 ， DO = OA 2 AD2 =5 , 进 而 得 拱 高 CD = CO - DO =13 - 5=8 米 . 故 答 案 为 ： 8. 点 评 ：本 题 主 要 考 查

直 角 三 角 形 和 垂 径 定 理 的 应 用 ，根 据 题 意 作 出 辅 助 线 是 解 答 此题的关键. 17. 考 点 ： 垂 径 定 理 ； 三 角 形 中 位 线 定 理 . 专题：综合题. 分 析 ： 根 据 垂 径 定 理 得 AD = BD , AE = CE , 所 以 BC =2 DE =6 . 解 答 ： 解 ： ∵ AD = BD , AE = CE ∴ BC =2 DE =6 . 点评：此题综合运用了垂径定理和三角形的中位线定理.

18. 考 点 ： 点 与 圆 的 位 置 关 系 . 分析：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系； 若 设 点 到 圆 心 的 距 离 为 d, 圆 的 半 径 为 r, 则 d> r 时 ， 点 在 圆 外 ； 当 d=r 时 ， 点 在 圆 上 ； 当 d< r 时 ， 点 在 圆 内 . 解 答 ： 解 ： ∵ 点 P 到 圆 心 O 的 距 离 为 3 cm , ∴ d =3 , ∵ r =5 , 则 d < R ; 故点 P 在圆内. 点 评 ：本 题 考 查 了 点 与 圆 的 位 置 关 系 的 判 断 .解 决 此 类 题 目 的 关 键 是 首 先 确 定 点 与圆心的距离，然后与半径进行比较，进而得出结论. 19. 考 点 ： 圆 周 角 定 理 ； 三 角 形 内 角 和 定 理 . 专题：几何图形问题. 分 析 ：连 接 OB .根 据 等 腰 △ OAB 的 两 个 底 角 ∠ OAB = ∠ OBA 、三 角 形 的 内 角 和 定 理 求 得 ∠ AOB =124° ;然后由圆周角定理求得 ∠ C =62° . 解 答 ： 解 ： 连 接 OB . 在 △ OAB 中 ， OA = OB ( ⊙ O 的 半 径 ) , ∴ ∠ OAB = ∠ OBA ( 等 边 对 等 角 ) ; 又 ∵ ∠ OAB =28° , ∴ ∠ OBA =28° ; =124° ∴ ∠ AOB =180° - 2×28° ; 而 ∠ C=

1 ∠ AOB ( 同 弧 所 对 的 圆 周 角 是 所 对 的 圆 心 角 的 一 半 ) , 2

∴ ∠ C =62° ; 故 答 案 是 ： 62° . 点 评 ：本 题 主 要 考 查 了 三 角 形 的 内 角 和 定 理 、圆 周 角 定 理 .解 答 此 类 题 目 时 ，经 常利用圆的半径都相等的性质，将圆心角置于等腰三角形中解答. 20. 考 点 ： 圆 锥 的 计 算 . 专题：计算题.

分 析 ： 设 出 圆 锥 的 母 线 长 和 底 面 半 径 ， 利 用 圆 锥 的 侧 面 积 等 于 其 底 面 积 的 2倍 ， 得 到 圆 锥 底 面 半 径 和 母 线 长 的 关 系 ， 然 后 利 用 圆 锥 侧 面 展 开 图 的 弧 长 =底 面 周 长 即可得到圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数. 解 答 ： 解 ： 设 母 线 长 为 R, 圆 锥 侧 面 展 开 图 所 对 应 扇 形 圆 心 角 的 度 数 为 n, 底 面 半 径 为 r, ∴ 底 面 周 长 =2 πr , 底 面 面 积 = πr , 侧 面 积 = ∴ R =2 r , ∵2

1 ×2 πr ×R = πRr =2×πr 2 , 2

n R =2 πr = πR , 180

∴ n =180° . 故 答 案 为 ： 180° . 点 评 ：本 题 考 查 了 圆 锥 的 计 算 ，利 用 了 扇 形 的 面 积 公 式 ，圆 的 面 积 公 式 ，弧 长 公 式，圆的周长公式求解. 21. 考

点 ： 垂 径 定 理 ； 勾 股 定 理 . 分 析 ： 在 直 角 △ OAE 中 ， 利 用 勾 股 定 理 即 可 求 得 AE 的 长 ， 根 据 崔 静 定 理 可 得 AB =2 AE , 据 此 即 可 求 解 . 解 答 ： 解 ： 连 接 OA . ∵ 在 直 角 △ OAE 中 ， OA = ∴ AE = OA 2 OE 2 ∵ OE ⊥ AB , ∴ AB =2 AE =2×3=6 ( cm ) . 点 评 ：本 题 考 查 了 勾 股 定 理 和 垂 径 定 理 ，本 题 是 一 个 基 础 题 ，正 确 理 解 定 理 是 关 键. 22. 考 点 ： 圆 周 角 定 理 ； 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ； 圆 心 角 、 弧 、 弦 的 关 系 . 专题：证明题. 分 析 ： 由 AB = CD , 得 ： AB CD , 即 可 推 出 AD BC , 即 可 推 出 AD = BC . 解 答 ： 解 ： ∵ ⊙ O 中 的 弦 AB = CD ,

1 ×10=5 cm , OE =4 cm . 2

25 16 3 .

∴AB CD， ∴AD BC， ∴AD=BC． 点评：本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，关键在于运用数形结合的思想，结合相关的定理推论推出AD BC．

∴ OP ⊥ PE , ∵ PO 是 半 径 ， ∴ PE 是 ⊙ O 的 切 线 . 点 评 ：本 题 考 查 了 平 行 线 的 性 质 、等 腰 三 角 形 的 性 质 、三 角 形 的 中 位 线 定 理 、切 线 的 判 定 、圆 周 角 定 理 等 知 识 点 的 运 用 ，能 综 合 运 用 这 些 性 质 进 行 推 理 是 解 此 题 的关键，注意证切线的方法：知道过圆上一点，连接圆心和该点证垂直. 25. 考 点 ： 切 线 的 性 质 .

专题：几何综合题；压轴题. 分析： ( 1) 可通过证明角相等来证边相等. 连 接 OC , 则 OC ⊥ CD , 那 么 ∠ ACO =30° ; 根 据 等 边 对 等 角 我 们 不 难 得 出 ∠ A =30° , ∠ COD =60° , 直 角 三 角 形 OCD 中 ， ∠ COD =60° , 因 此 ∠ A = ∠ D =30° , 由 此 便 可 得 出 CA = CD . ( 2 )在 直 角 三 角 形 OCD 中 ，可 用 半 径 表 示 出 OC , OD ,有 ∠ D 的 度 数 ，可 用 正 弦函数求出半径的长. 解答： ( 1 ) 证 明 ： 连 接 OC . ∵ DC 切 ⊙ O 于 点 C , ∴ ∠ OCD =90° . 又 ∵ ∠ ACD =120° , =30° ∴ ∠ ACO = ∠ ACD - ∠ OCD =120° - 90° . ∵ OC = OA , ∴ ∠ A = ∠ ACO =30° , ∴ ∠ COD =60° . ∴ ∠ D =30° , ∴ CA = DC .

( 2 ) 解 ： ∵ sin ∠ D = sin ∠ D = sin 30° = ∴

OC OC OB , OD OB BD OB BD

1 , 2

OB 1 . OB 10 2

解 得 OB =10 .

即 ⊙ O 的 半 径 为 10 . 点评：本题主要考查了解直角三角形的应用和切线的性质. 26. 考 点 ： 扇 形 面 积 的 计 算 . 分 析 ：可 以 设 OA = r ,则 OC = r +12 ,扇 形 的 圆 心 角 是 n 度 ，根 据 弧 长 的 计 算 公 式 ， 即 可 得 到 关 于 r 与 n 的 方 程 组 ，即 可 求 得 半 径 ，进 而 根 据 上 行 的 面 积 公 式 求 出 两 个扇形的面积，两面积的查就是阴影部分的面积. 解答：解： ( 1 ) 设 OA = r , 则 OC = r +12 , 扇 形 的 圆 心 角 是 n 度 .

n r 6 180 根据题意得： , n ( r 12 ) 10 180解得：

n 60 则 两 圆 的 半 径 长 是 18 cm , 30 cm ; r 18

( 2) 阴 影 部 分 的 面 积 是 ：

1 1 ×10 π ×30 - ×6 π ×18=96 πcm 2 . 2 2

点评：不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算. 27. 考 点 ： 扇 形 面 积 的 计 算 ； 弧 长 的 计 算 . 专题：几何综合题. 分析： ( 1 )先 利 用 同 弧 所 对 的 圆 周 角 等 于 所 对 的 圆 心 角 的 一 半 ，求 出 扇 形 的 圆 心 角 为 120 度 ，在 Rt △ ABF 中 根 据 勾 股 定 理 可 求 出 半 径 的 长 ，利 用 扇 形 的 面 积 公 式 即可求解； ( 2) 直 接 根 据 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 扇 形 的 弧 长 等 于 圆 锥 底 面 周 长 可 得 圆 锥 的 底 面 圆的半径. 解答：解： ( 1 ) 法 一 ： 过 O 作 OE ⊥ AB 于 E , 则 BF =

1 AB = 2 3 . 2 AE . OA

在 Rt △ AEO 中 ， ∠ BAC =30° , cos 30° =

∴ OA =

AE 2 3 4. cos 30 3 2

又 ∵ OA = OB , ∴ ∠ ABO =30 度 . ∴ ∠ BOC =60 度 . ∵ AC ⊥ BD , ∴ BC CD . ∴ ∠ COD = ∠ BOC =60 度 . ∴ ∠ BOD =120 度 . ∴ S阴影

n OA 2 120 16 42 . 360 360 .3

法 二 ： 连 接 AD . ∵ AC ⊥ BD , AC 是 直 径 ，

∴ AC 垂 直 平 分 BD . ∴ AB = AD , BF = FD , BC CD . ∴ ∠ BAD =2 ∠ BAC =60° , ∴ ∠ BOD =120 度 . ∵ BF =

1 AF AB = 2 3 , sin 60° = , 2 AB3 =6 . 2

AF = AB sin 60° = 4 3

∴ OB 2 = BF 2 + OF 2 . 即 ( 2 3 ) 2 +(6 OB ) 2 = OB 2 . ∴ OB =4 .

∴ S阴影

1 16 S圆 . 3 3

法 三 ： 连 接 BC . ∵ AC 为 ⊙ O 的 直 径 ， ∴ ∠ ABC =90 度 . ∵ AB = 4 3 , ∴ AC =

AB 4 3 8. cos 30 3 2

∵ ∠ A =30° , AC ⊥ BD , ∴ ∠ BOC =60° , ∴ ∠ BOD =120 度 . ∴ S阴影

120 1 16 OA 2 4 2 . 360 3 3

以下同法一；

( 2 ) 设 圆 锥 的 底 面 圆 的 半 径 为 r , 则 周 长 为 2 πr , ∴ 2 πr = ∴ r=

120 4. 180

4 . 3

点评： 本题主要考查了扇形的面积公式和圆锥的侧面展开图与底面周长之间的关 系.本题还涉及到圆中的一些性质，如垂径定理等.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5i24.html