辽宁省瓦房店高级中学2011-2012学年高二暑假作业数学(理)试题(七

瓦房店高级中学2011-2012学年高二暑假作业数学（理）试题（七）

第I 卷（选择题，共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 已知i 为虚数单位，则212i

i -++的值等于 ( ) A. i - B.12i - C. 1- D. i

2．定义{|,,}x

A B z z xy x A y B y ?==+∈∈.设集合{0,2}A =，{1,B =则集合()A B C ??的所有元素之和为 （ ）

A ．3

B ．9

C ．18

D ．27

3.函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图1所示，则()OA OB AB +?＝（A.6 B.4 C.4- D.6-

4.如果实数,x y 满足等式(x －2)2+y 2=3，那么y

x 的最大值是（ ）

A ．21

B ．33

C ．23

D ．3

5. 阅读图2的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为（ ） A ．2 B ．3

C ．4

D ．5 6.若4

43322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则 2024()a a a ++213()a a -+的值为（ ） A.1 B.-1 C.0 D.2 7.在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上，两校各派3名

代表，校际间轮流发言，对日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉， 对中国人民抗日斗争中的英勇事迹进行赞颂，那么不同的发言顺序

共有（ ）

A.72种

B.36种

C.144种

D.108种

8. 已知函数()y f x =的定义域为2(43,32)a a --，

且(23)y f x =-为偶函数，则实数a 的值为（ ）

A ．3或－1

B ．－3或1

C ．1

D ．－1

9.设{}n a 是等差数列，从{}1220,,,a a a 中任取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，

则这样不同的等差数列的个数最多有（ ）

A.90

B.120

C.180

D.200

10.已知两点M （1，5

4），N （－4，-5

4），给出下列曲线方程：

①4x+2y-1=0 ②x 2+y 2

=3 ③222x y +=1 ④2

22x y -=1 在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ）

A.①③

B.②④

C.①②③

D.②③④

11. 若函数()12min{3log ,log }f x x x =+，其中{}min ,p q 表示,p q 两者中的较小者，则()2f x <的解集为（ ）

A. (0,4)

B. (0,)+∞

C. (0,4)(4,)+∞

D. 1(,)4

+∞ 12.已知函数21,0,()(1)1,0,x x f x f x x ?-≤=?-+>?

把方程()f x x =的根按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( ) A.(1)2

n n n a -= B. (1)n a n n =- C.1n a n =- D.22n n a =-

第Ⅱ卷

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.

13.已知数列10*11),(0,2,}{a N n a a a a n n n 则中∈=+=+=

14.已知)3()

0)(2()1()0(),1(log )(2f x x f x f x x x f 则???>---≤-== 15.如图是一建筑物的三视图（单位：米），现需将其外壁

用油漆刷一遍，若每平方米用漆α千克，则共需油漆的

总量为

16.给出下列四个结论：

①“若22am bm <则a b <”的逆命题为真；

②若0()f x 为()f x 的极值，则0()0f x '=；

③函数()sin f x x x =-（x R ∈）有3个零点；

④对于任意实数x ，有()(),()()f x f x g x g x -=--=且x >0时,()0,()0f x g x ''>>，则x <0时()()f x g x ''>其中正确结论的序号是 .（填上所有正确结论的序号）

三.解答题：本大题共80分。其中(16)～(21)每小题12分,(22)题10分,解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤.

17．（本小题满分12分）

若向量(3cos ,sin ),(sin ,0),a x x b x ωωω==其中0ω>，记函数1()()2f x a b b =+?-， 若函数()f x 的图像与直线y m =（m 为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差为π的等差数列。

（1）求()f x 的表达式及m 的值；

（2）将函数()y f x =的图像向左平移12π，得到()y g x =的图像，当7(,)24x ππ∈时，()cos g x α=的交点横坐标成等比数列，求钝角α的值。

18．（本小题满分12分）某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：

（Ⅰ）从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；

（Ⅱ）若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A 版的教师人数为ξ，求随

机变量ξ的分布列和数学期望.

19．（本小题满分12分）在边长为3的正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上

的点，满足

AE CF CP 1EB FA PB 2

===，将A E F ?沿EF 折起到1A EF ?的位置，使二面角1A EF B --成直二面角，连结1A B ，1A P （如图） （I ）求证：1A E ⊥平面BEP

(Ⅱ)求点B 到面1A PF 的距离

(Ⅲ)求异面直线BP 与1A F 所成角的余弦

20．（本小题满分12分）已知数列{n a }、{n b }满足：111,1,4(1)(1)n n n n n n b a a b b a a +=

+==-+． （Ⅰ）求1234,,,b b b b ；

（Ⅱ）设11

n n c b =-，求数列{}n c 的通项公式； （Ⅲ）设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，不等式4n n aS b <恒成立时，求实数a 的取值范围.

图 1 图2

21．( 本小题满分12分)已知圆C:224x y +=.

(1)直线l 过点P(1,2)，且与圆C 交于A 、B

两点，若AB =，求直线l 的方程； (2)过圆C 上一动点M 作平行于y 轴的直线m ，设m 与x 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程.

(3) 若点R(1,0)，在（2）的条件下，求RQ 的最小值.

22．（ 本小题满分10分，在给出的二个题中，任选一题作答. 若多选做，则按所做的第一题给分）

(1) 设过原点O 的直线与圆C ：22(1)1x y -+=的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点。则点M 轨迹的极坐标方程是 .

(2) 已知函数2()(11),||1,f x ax x a x a =+--≤≤≤且则|()|f x 的最大值为 .

高二数学试卷（七）答案

一、选择题 DCADB AADCD CC

二、填空题 13. - 2 14.0 15. （24π+39）千克 16. ④ 1．D 提示：

()()()()

2122121212i i i i i i i -+?--+=++?-= 2．C 提示：{0,4,5}A B ?=所以{}()0,8,10A B C ??=

3．A 提示：由tan()142y x π

π

=-=，得(3,1)B ，由tan()042

y x ππ

=-=，得(2,0)A ，由向量

数量积便可得.

4.D 提示：数形结合法，y x

视为圆(x －2)2+y 2

=3上点到原点连线的斜率.

5.B 提示：(1)0,16k n ==，k=1;(2) 1,49,2k n k ===;依次进行便可.

6.A 提示：将1,1x x =-=

代入423401234(2x a a x a x a x a x =++++，所得两式相乘. 7.A 332A

8．D 解析：由题知， 24332,31a a a -<--<<即，又(23)y f x =-为偶函数，则

2432332a x a -<-<-2，即2a

9. 解析：所取三个数公差为1时，有1、2、3，2、3、4，---，共18种；公差为2时，共16种；----依次当公差为9，共2种.所有相加共180种.

10．解析：P 满足|MP|=|NP|即P 是MN 的中垂线上的点，P 点存在即中垂线与曲线有交点。MN 的中垂线方程为2x+y+3=0，与中垂线有交点的曲线才存在点P 满足|MP|=|NP|，直线4x+2y-1=0与2x+y+3=0平行，故排除（A ）、（C ），

又由22

230

12

x y x y ++=??

?+=???△=0，有唯一交点P 满足|MP|=|NP|，故选D. 12. ∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=2 .

16．解析：20m =，可知①错；0(),0f x x x ==，则0()f x '不存在，可知②错；由单位圆知sin x x <故只有一个交点，故③错。由奇函数的增减性一致，偶函数的增减性相反，知x <0时()0,()0f x g x ''><，故④正确。 三、解答题：

17．（1）解：(3cos ,sin ),(sin ,0),a x x b x ωωω==

211()()3cos sin sin(2)226

f x a b b x x x x πωωωω∴=+?-=+-=-----------4分 由题意可知其周期为π，故1ω=，则()sin(2)6

f x x π=-，1m =±。--------------6分 （2）解：将()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移12

π，得到()sin 2g x x =，-------------------8分 由其对称性，可设交点横坐标分别为1113

,,2x x x π

π-+， 有

2111139

()(),216x x x x π

ππ

-=+=则 ------------------------10分

95cos sin sin cos 888π

π

π

α==-= 则

58πα= ------------------------------12分

18．解：（Ⅰ）从50名教师随机选出2名的方法数为.12252

50=C

选出2人使用版本相同的方法数为.3502

1025215220=+++C C C C

故2人使用版本相同的概率为：.72

1225350==P ------------------6分

（Ⅱ）∵17

3

C C )0(2352

15===ξP ，

11

2050

235(1)C C P C ξ==，119

38

C C )2(2352

20===ξP .

∴ξ的分布列为

19（本小题满分12分）证明：（I ）在图1中，取BE 的中点D ，连DF

∵AE

CF

CP

1

EB FA PB 2===，∵2,AF AD ==又60A ∠=?∴ADF ?为正三角形

又∵AE=ED=1 ∴AD ⊥EF ∴在图2中有1A E EF ⊥，BE EF =

∴1A EB ∠为二面角1A EF B --的平面角∵二面角1A EF B --为直二面角 ∴

1A E BE ⊥

又∵BE EF E = ∴1A E BEF ⊥面即1

A E BEP ⊥面 -----------4分

(Ⅱ)∵BE//PF ∴BE//面1A PF ∵B 到面1A PF 的距离即为E 到面1A PF 的距离， ∵1BE A EF ⊥面，又BE//PF ， ∴1PF A EF ⊥面

∴11A EF PF ⊥面面A ∵E 到面1PF A 的距离即为1A EF ?中E 到1A F 的距离 d=A 1E

×sin 60?= ∴点B 到面1A PF

分 (Ⅲ)∵DF//BP ∴1DFA ∠即为所求角

1A DF ?

中112,2A D DF A F === ,22211113cos 24

DF A F A D DFA DF A F ++∠==? ∴异面直线BP 与1A F 所成角的余弦值为

34 -----------12分 20. 解: （Ⅰ） 11(1)(1)(2)2n n n n n n n n

b b b a a b b b +===---＋ ∵1113,44a b == ∴234456,,567

b b b ===……3分 （Ⅱ）∵11112n n b b +-=-- ∴12111111

n n n n b b b b +-==-+--- ∴数列{n c }是以－4为首项，－1为公差的等差数列.∴4(1)(1)3n c n n =-+-?-=--. --------6分 （Ⅲ）由于131

n n c n b ==---，所以23n n b n +=+，从而113n n a b n =-=+--------7分 ∴12231111114556(3)(4)444(4)

n n n n S a a a a a a n n n n +=++???+=++???=-=??++++ ∴22(1)(36)8443(3)(4)

n n an n a n a n aS b n n n n +-+---=-=++++--------8分 由条件可知08)63()1(2

<--+-n a n a 恒成立即可满足条件，设8)63()1()(2--+-=n a n a n f

当1=a 时，()380f n n =--<恒成立

当1>a 时，由二次函数的性质知不可能成立

当1

11(231223<---=--?-

=a a a n ，)(n f 在(1,)+∞为单调递减函数． 2(1)(1)(36)8(1)(36)84150f a n a n a a a =-+--=-+--=-<，∴154a <

∴1

21.解：（1）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1x =，l 与圆的两个交点坐标为

和(1,

，其距离为 -----------1分 ②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=----------2分 设圆心到此直线的距离为d

，则1d =

，1∴=，34

k =， 故所求直线方程为3x-4y+5=0

综上所述，所求直线为3x-4y+5=0或x=1 ----------------4分

(2)设点M 的坐标为(x 0,y 0)，Q 点坐标为(x,y)则N 点坐标是(x 0

, 0)

[4,0)(0,4]x ∈-?，43x ∴=时，RQ

取到最小值-------------13分 22.

（1）解析：圆22(1)1x y -+=的极坐标方程为2cos ρθ=

设点P 的极坐标为11(,)ρθ，点M 的极坐标为(,)ρθ，

∵点M 为线段OP 的中点， ∴112,ρρθθ==，

将112,ρρθθ==代入圆的极坐标方程，得cos ρθ=.

∴点M 轨迹的极坐标方程为cos ρθ=

（2）（证法一：∵11x -≤≤，∴||1x ≤，又∵||1a ≤，∴22|()||(1)||(1)|||f x a x x a x x =-+≤-+

222155|1|||1||||(||)244

x x x x x ≤-+=-+=--+≤。 证法二：设2(()g a f x ax x a ==+-）=2(1)x a x -+，∵

11x -≤≤， 当1x =±时，5|()||()|14

f x

g a ==≤

；当1x ≠±，21x -＜0，2(g a ax x a +-）=是单调递减函数， ∵||1a ≤，∴11a -≤≤，∴max ()g a =(1)g -=215124

x x x -++=-

-+2（）； min ()g a =(1)g =215124x x x +-=+-2（）。∴2155|()||()||)|244f x g a x =≤-+≤（。

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