探索高考（刘红升）

探索、创新高考

胶州实验中学 刘红升

我来听数学的演唱会

在十九岁的高考第一次约会

我为了她彻夜不睡

三年的拼搏买了通知书一份 她唱得我心醉 她唱得我心碎 三年的光阴一次考试就要回 我记得月台汽笛声声在催 播数学的歌陪着人们流泪

嘿 陪人们流泪

我来听数学的演唱会 在二十三岁教学是风光明媚 学生背着我送语文玫瑰 我不听音乐夜夜做题不睡 她唱得我心醉 她唱得我心碎 学生对数学都像无所谓 和老师一起买醉黑板课本 唱数学的歌陪着试卷流泪

嘿 陪着流眼泪

她唱得我心醉 她唱得我心碎 在三十二岁真爱那么珍贵 年轻的学生求数学让一让位 让学生决定跟谁远走高飞

嘿 谁在远走高飞

她唱得我心醉 她唱得我心碎 我努力不让自己看来很累 岁月在听数学唱无怨无悔 在掌声里唱到自己流泪 嘿 唱到自己流泪

我来听数学演唱会

在三十岁后喜欢数学的老师很美

学生在问我为什么流泪 心爱的数学早已融入血液 我静静听着数学的演唱会

溜溜的她

胶州实验中学 刘红升 2012.2.22

演唱：凤飞飞

那个溜溜的她你怎么不说话，乌黑的眼睛溜溜地转，沉默就是回答 那个溜溜的她请你呀说说话，你轻轻溜溜地唱一句，歌声出神入化

x212?y2?1，圆M:(x?a)2?y2?1,圆N:(x?a)2?y2?，?1?a?1，抛物线D:x?y。 椭圆C:42（1）若A、B为抛物线D上异于原点O的两不同点，且OA?OB；E、F分别为为圆M、圆N上不同点，且

ME?MF， M为（a,0)点。又知：OA?OB?ME?MF。求直线AB的方程；

（2）若A、B为抛物线D上异于原点O的两不同点，且kOAkOB??点，且kOEkOF??1；E、F分别为为椭圆C上不同21；又知：OA?OB?2OE?2OF。求直线AB的方程； 2（3）您还有什麽灵感？

2解析：（1）设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x3,y3)F(x4,y4)， ?OA?OB?ME?MF,?(OA?OB)2?（ME?MF）?OA2?OB2?2OA?OB?ME2?MF2?2ME?MF,?AB?25 4??x1x2?y1y2?0????5 221?k(x?x)?4xx?1212??4??设直线AB:y?kx?b(斜率不存在不合题意），与y?x2联立得：x2?kx?b?0x1?x2?k,x1x2??b,??k2?4b2?x1x2?y1y2?0得：x1x2?（x1x2）?0，b?1或b?0(舍），满足??0.

1?k2(x1?x2)2?4x1x2?55得：k2??1,以下略！42（2）设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x3,y3)F(x4,y4)，?OA?OB?2OE?2OF,

设直线AB:y?kx?b(斜率不存在不合题意），与y?x2联立得：x2?kx?b?0x1?x2?k,x1x2??b,??k?4bx1?x2?2(x3?x4)，y1?y2?2(y1?y2)，2y1?x12，y2?x2，22x3?2y3?2，22x4?2y4?22

11kOAkOB??,得：x1x2?2y1y2?0；kOEkOF??,得：x3x4?2y3y4?0；22?(x1?x2)2?2(y1?y2)2?4(x3?x4)2?8(y1?y2)2222222?x12?x2?2y12?2y2?2x1x2?4y1y2?4(x3?x4?2y3?2y4?2x3x4?4y3y4)22x12?x2?2y12?2y2?16?y1?y2?2(y1?y2)2?4y1y2?16?x1x2?2y1y2?0?5?13712???解得：k?,b??;以下略。242?y1?y2?2(y1?y2)?4y1y2?16

追梦人

追梦人1

x2y22已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右两焦点分别为F1,F2，（其中O为坐标原点）.如果离心率e?,

2abb2?1，过F2的直线L与椭圆C交于M、N两点，Q(x,y)为椭圆上一点且满足：2ON?OM?7OQ，求直线L的方程。

c2b221x22?y2?1 解: e?2?1?2?1?2?,解得a?2，椭圆C的方程为

22aaa2设M(x1,y1),N(x2,y2)，由2ON?OM?7OQ及M、N、Q在椭圆C上可得：

2x2?x1?7x,(1)22（2x2?x1）（2y2?y1）将（1）、（2）代入（3）得：?2?22y2?y1?7y,(2)77224x2?8y2?x12?2y12?4(x1x2?2y1y2)?14?0(*) x2?2y2?2,(3) 整理得：x12?2y12?2,(4)22x2?2y2?2,(5)再将（4）、（5）代入(*)得：x1x2?2y1y2??1若L的斜率不存在：则L方程为x?1,M(1,22)、M(1,-)，x1x2?2y1y2?0??1，不合题意；

22x2?y2?1联立得： 若直线L的斜率存在：则直线方程为y?k(x?1)与椭圆C 2(1?2k2)x2?4k2x?2k2?2?0,由于直线L过椭圆内的右焦点，故??0必成立；4k22k2?2?x1?x2?，x1x2?,221?2k1?2k-k2y1y2?k(x1?1)?k(x2?1)?k(x1x2?(x1?x2)?1)?1?2k2-22?x1x2?2y1y2???1，k??21?2k22

?直线L的方程为：y??2（x?1)2灵感来自“2011年青岛一模理科22题”此题充分体现了方程思想，同时将方程思想的两种基本方式（韦达定理、方程直接运算）交汇。以此题怀念“追梦人”凤飞飞等。

追梦人2

x2y22已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右两焦点分别为F1,F2，（其中O为坐标原点）.如果离心率e?,

2abb2?1，直线L与椭圆C交于M、N两点，Q(x,y)为椭圆上一点且满足：2ON?OM?5OQ。

222（1）证明：x1（此问与2011年山东理科22题惊人相同！） ?x2与y12?y2均为定值；（2）证明：S?OMN?2；（灵感来自将2011年山东理科22题条件与结论交换！） 2c2b221x22?y2?1 解: e?2?1?2?1?2?,解得a?2，椭圆C的方程为

22aaa2设M(x1,y1),N(x2,y2)，由2ON?OM?5OQ及M、N、Q在椭圆C上可得：

2x2?x1?5x,(1)22（2x2?x1）（2y2?y1）将（1）、（2）代入（3）得：?2?22y2?y1?5y,(2)55224x2?8y2?x12?2y12?4(x1x2?2y1y2)?10?0(*) x2?2y2?2,(3) 整理得：x12?2y12?2,(4)22x2?2y2?2,(5)再将（4）、（5）代入(*)得：x1x2?2y1y2?022若L的斜率不存在：x1?x2,y1??y2,x1x2?2y1y2?x1?2y12?0,又x12?2y12?2，x12?x2?1,

此时y1?y2?22122,?x12?x2?2,y12?y2?1, 2x2?y2?1联立得： 若直线L的斜率存在：则直线方程为y?kx?m与椭圆C 2?4km2m2?2(1?2k)x?4kmx?2m?2?0, ??8(1?2k?m)；?x1?x2?，x1x2?,221?2k1?2km2-2k222y1y2?(kx1?m)?(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m?

1?2k24m2-2?4k222?x1x2?2y1y2??0，?2m?1?2k,(**)此时??0恒成立。21?2k22222（1）x1?x2?(x1?x2)?2x1x2?2,易得：y1?y2?1。命题得证。 （2）若L的斜率不存在时，S?OMN?22222112MNd??2?1? 222若直线L的斜率存在：S?OMN?m11222果然成立！ MNd?1?k?(x1?x2)?4x1x2??22221?k感慨：也许2012年山东卷理科22题像此题一样命题，似乎更有利于考察学生的知识、方法、能力！

追梦人研究

x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右两焦点分别为F1,F2，（其中O为坐标原点）.直线L与椭圆C交于

abM、N两点，Q(x,y)为椭圆上一点且满足：?OM??ON?OQ。

又会有多少“梦”可以追呢？ 命题探究： 数据收集：

x2y2椭圆C： 2?2?1，M(x1,y1),N(x2,y2)，由?OM??ON?OQ及M、N、Q在椭圆C上可得：

ab?x1??x2?x, (1)?y1??y2?y, (2)x2y2?a2b2x12y12?a2b222x2y2??1, (5)a2b222（?x1??x2）（?y1??y2）将（1）、（2）代入（3）得：??122ab222y12y2x1x2y1y22x12x2整理得：?(?)??(?)?2??(?2)?1?0(*) ?1, (3) 22222abababx1x2y1y222再将（4）、（5）代入(*)得：????2??(?2)?1?0(**)?1, (4)2abx1x2y1y2x12y12x12y12a222，x1?x2?, 若L的斜率不存在：x1?x2,y1??y2,2?2?2?2?0,又2?2?12abababb2, 此时y?y?22122x2y2若直线L的斜率存在：则直线方程为y?kx?m与椭圆C 2?2?1联立得：

ab(b2?a2k2)x2?2a2kmx?a2(m2?b2)?0, ??4a2b2(b2?a2k2?m2)；?2a2kma2(m2?b2)?x1?x2?2，x1x2?2,2222b?akb?ak2b2(m2-a2k2)

y1y2?(kx1?m)?(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m?b2?a2k2x1x2y1y22m2?b2?a2k2?2?2?，（***）abb2?a2k22第一种命题思路：让x1x2y1y222??0即????0是否可以展开呢？ 22ab其核心为2m2?b2?2a2k2的导出与运用！

命题方式1：

x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右两焦点分别为F1,F2，（其中O为坐标原点）.直线L与椭圆C交于

abM、N两点，Q(x,y)为椭圆上一点且满足：?OM??ON?OQ。

22（类似于2011山东理科22题（1）问） 若?2??2?1，证明：x12?x2与y12?y2均为定值；解析：

x2y2 椭圆C： 2?2?1，M(x1,y1),N(x2,y2)，由?OM??ON?OQ及M、N、Q在椭圆C上可得：

ab?x1??x2?x, (1)?y1??y2?y, (2)x2y2?22abx12y12?22ab22x2y2?2?1, (5)2ab22（?x1??x2）（?y1??y2）将（1）、（2）代入（3）得：??122ab222y12y2x1x2y1y22x12x2?1, (3) 整理得：?(2?2)??(2?2)?2??(2?2)?1?0(*)

abababx1x2y1y222再将（4）、（5）代入(*)得：????2??(?2)?1?0(**)?1, (4)2abx1x2y1y2x12y12x12y12a222，x1?x2?, 若L的斜率不存在：x1?x2,y1??y2,2?2?2?2?0,又2?2?12abababb222,?x12?x2?a2,y12?y2?b2, 此时y?y?22122x2y2若直线L的斜率存在：则直线方程为y?kx?m与椭圆C 2?2?1联立得：

ab(b2?a2k2)x2?2a2kmx?a2(m2?b2)?0, ??4a2b2(b2?a2k2?m2)；?2a2kma2(m2?b2)?x1?x2?2，x1x2?,22222b?akb?ak2222b(m-ak)

y1y2?(kx1?m)?(kx2?m)?k2x1x2?km(x1?x2)?m2?b2?a2k2x1x2y1y22m2?b2?a2k22222?2?2??0，?2m?b?ak,(**)此时??0恒成立。222abb?ak4a4k2m2a2(m2?b2)2a4k2?2m2a2?2m2?2a2b2x?x?(x1?x2)?2x1x2?2?22?2?(b?a2k2)2b?a2k2(b?a2k2)2b2?a2k2212222a4k2?2a2b22a2(a2k2?b2)2 ??a??a2?a2222222b?akb?ak2x12x12x12?x2222222易得：y1?y2?b(1?2)?b(1?2)?b(2?)?baaa2

命题得证，无运算技巧（但是，直接运用方程加、减、代入运算的方式师生都比较薄弱，2011青岛一模已体现）。

命题方式:2：

x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右两焦点分别为F1,F2，（其中O为坐标原点）.直线L与椭圆C交于

abM、N两点，Q(x,y)为椭圆上一点且满足：?OM??ON?OQ。

若?2??2?1，证明：S?OMN?ab；(或证明S?OMN为定值）（类似于2011山东理科22题条件） 2x2y2解析：椭圆C： 2?2?1，M(x1,y1),N(x2,y2)，由?OM??ON?OQ及M、N、Q在C上可得：

ab?x1??x2?x, (1)?y1??y2?y, (2)x2y2?22abx12y12?22ab22x2y2?2?1, (5)2ab22（?x1??x2）（?y1??y2）将（1）、（2）代入（3）得：??1a2b2222y12y2x1x2y1y22x12x2?1, (3) 整理得：?(2?2)??(2?2)?2??(2?2)?1?0(*)

abababx1x2y1y222再将（4）、（5）代入(*)得：????2??(?2)?1?0(**)?1, (4)2abx1x2y1y2x12y12x12y12a222，x1?x2?, 若L的斜率不存在时，x1?x2,y1??y2,2?2?2?2?0,又2?2?12ababab11abb222,?x12?x2?a2,y12?y2?b2,?S?OMN?MNd??2y1?x1?此时y?y?

22222122x2y2若直线L的斜率存在：则直线方程为y?kx?m与椭圆C 2?2?1联立得：

ab(b2?a2k2)x2?2a2kmx?a2(m2?b2)?0, ??4a2b2(b2?a2k2?m2)；?2a2kma2(m2?b2)?x1?x2?2，x1x2?,b?a2k2b2?a2k2 b2(m2-a2k2)y1y2?(kx1?m)?(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m?b2?a2k2x1x2y1y22m2?b2?a2k22222?2?2??0，?2m?b?ak,(**)此时??0恒成立。222abb?ak22S?OMNm1122?MNd?1?k?(x1?x2)?4x1x2?221?k2

14a4k2m2a2(m2?b2)12a4k2?2m24a2m2?4a2b22?(2?42)?m?(2?)?m2222222222222(b?ak)2(b?ak)b?akb?ak12a4k2?4a2b2?4a2m211ab242222222222?()?m?2ak?4ab?4am?2a(ak?2b?2m)?2222b2?a2k2果然成立！

命题方式3：

x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右两焦点分别为F1,F2，（其中O为坐标原点）.直线L与椭圆C交于

ab22M、N两点， 若x12?x2 与y12?y2分别为定值a2、b2。证明：S?OMN?解析：

ab；(或证明S?OMN为定值）（类似于2011山东理科22题条件） 2a22b22,y1?y2?，若L的斜率不存在时，x1?x2,y1??y2,又x?x? 222122此时?S?OMN?11abMNd??2y1?x1? 222x2y2若直线L的斜率存在：则直线方程为y?kx?m与椭圆C 2?2?1联立得：

ab(b2?a2k2)x2?2a2kmx?a2(m2?b2)?0, ??4a2b2(b2?a2k2?m2)；?2a2kma2(m2?b2)?x1?x2?2，x1x2?222,22b?akb?akb2(m2-a2k2)y1y2?(kx1?m)?(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m?2b?a2k222

4a4k2m2a2(m2?b2)2x?x?(x1?x2)?2x1x2?2?2?a(经大量运算，无技巧）222222(b?ak)b?ak21222444?2m2(a2k2?b2)?b4?a4k4?0,?2m2?ak?b?b2?a2k2,(用到平方差）---此题突破！222ak?b

?2m2?b2?a2k2,(**)此时??0恒成立。S?OMN?m11MNd?1?k2?(x1?x2)2?4x1x2?221?k214a4k2m2a2(m2?b2)2?(2?4)?m2(b?a2k2)2b2?a2k212a4k2?2m24a2m2?4a2b22?(2?)?m2(b?a2k2)2b2?a2k212a4k2?4a2b2?4a2m22?()?m2b2?a2k21?2a4k2?4a2b2?4a2m221ab?2a2(a2k2?2b2?2m2)?22果然成立！

运算技巧！点评：此题运算量较命题方式1、2都要大，因为?2m?b?2ak的导出较复杂，但是无

2222命题方式4：

x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右两焦点分别为F1,F2，（其中O为坐标原点）.直线L与椭圆C交于

abM、N两点，若S?OMN?ab； 222222 证明：x12?x2与y12?y2分别为定值a2、b（或证明:x12?x2与y12?y2分别为定值。（这就是2011山东理科22题（1）问） 解析：

当直线l的斜率不存在时，P,Q两点关于x轴对称，则x1?x2,y1??y2，

x12y1266??1，而S?OPQ?x1y1?由P?x1,y1?在椭圆上，则，则x1?,y1?1 3222于是x12?x22?3，y12?y22?2.

x2y2??1可得 当直线l的斜率存在，设直线l为y?kx?m，代入322x2?3(kx?m)2?6，即(2?3k2)x2?6km?3m2?6?0，??0，即3k2?2?m2

6km3m2?6x1?x2??,x1x2? 222?3k2?3kPQ?1?kx1?x2?1?k22263k2?2?m2(x1?x2)?4x1x2?1?k 22?3k22d?m1?k22，S?POQ11263k2?2?m26 ??d?PQ?m?2222?3k2则3k?2?2m，满足??0。。。注意：此处的前身是2(3k?2?2m)?0！

222大家想想：由9k4?4?4m2?6m2k2?8m2?12k2?0,到(3k2?2?2m2)2?0？！

6km23(m2?2)x?x2?(x1?x2)?2x1x2?(?)?2??3， 222?3k2?3k2122y12?y22?222(3?x12)?(3?x22)?4?(x12?x22)?2， 33322综上可知x12?x22?3，y1?y2?2.

此题尽管思路简单，但是运算量最大，在极为复杂的环境里倒用完全平方公式难度与技巧性太大！

对比总结4中命题方式：命题方式1突出了两种方程思想的运用（韦达定理、方程直接运算）及运算能力，较全面，不过分考运算，无运算技巧，有利于数学思想方法的考察，同时将向量载体合理交汇！；命题方式2与命题方式1类似；命题方式3，虽运算量大但是无特殊技巧；命题方式4运算量过大，思路简单，有技巧！

x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右两焦点分别为F1,F2，（其中O为坐标原点）.直线L与椭圆C交于

abM、N两点，Q(x,y)为椭圆上一点且满足：?OM??ON?OQ。

开放命题1： 让x1x2y1y2?2?1即(???)2?1是否可以展开呢？ 2ab开放命题2：让x1x2y1y2?2?n是否可以展开呢？ 2ab。。。。。。有多少梦可以追？

追梦人

凤飞飞演唱

让青春吹动了你的长发让它牵引你的梦 红红心中蓝蓝的天是个生命的开始 春雨不眠隔夜的你曾空独眠的日子 让青春娇艳的花朵绽开了深藏的红颜 飞去飞来的满天的飞絮是幻想你的笑脸 秋来春去红尘中谁在宿命里安排 冰雪不语寒夜的你那难隐藏的光采 看我看一眼吧 莫让红颜守空枕 青春无悔不死 永远的爱人 让流浪的足迹在荒漠里写下永久的回忆 飘去飘来的笔迹是深藏的激情你的心语 前尘红世轮回中谁在声音里徘徊 痴情笑我凡俗的人世终难解的关怀

不知不觉这城市的历史已记取了你的笑容大眼睛------数学是有生命的

我可以不知道 你的名和姓，我不能不看见 你的大眼睛 我从来不明白 命运是什么，自与你一相逢 从此不寂寞 你的眼光 似乎对我诉说，好时光千万不要蹉跎 不管你心里是否有个我，我永远为你祝福 愿你快活 我可以不知道 你的名和姓，我不能不看见 你的大眼睛 x2y2??1，圆C1圆心为O且过椭圆C的左右焦点,圆C2圆心为O且过椭圆C的上下顶点， 已知椭圆C:32若不过原点O的直线L交圆C2于A、B两不同点，求S?AOB的最大值并判断此时直线L与圆C1的位置关系。

B A O 解：由题意知得：圆C1:x2?y2?1,圆C2:x2?y2?2 （法一）

11OAOBsinAOB??2?2?1?1,等号当仅当?AOB?900时取。222 此时：?AOB恰为等腰直角三角形，因此O到直线L的距离d??2?12故，此时此时O到直线L的距离d恰好等于圆C1的半径，直线L恰好与圆C1相切。S?AOB?（法二）

AB122S?AOB?ABd.其中d为O到直线L的距离，根据半径、半弦长、弦心距的关系知：d??OB242?d2?d22222?AB?8?4d,?S?AOB?2?dd?(2?d)d??1，等号当仅当2?d2?d2,即d?12时取，此时O到直线L的距离d恰好等于圆C1的半径，直线L恰好与圆C1相切。（法三）

2设此时直线L的方程：y?kx?b,与圆x2?y2?2得：(1?k2)x2?2kbx?b2?2?02kbb2?2设A(x1,y1)、B(x2,y2),?x1?x2??,x1x2?21?k1?k2b(2?2k2?b2)b21122?S?AOB?ABd?1?k?(x1?x2)?4x1x2??2221?k21?k

2222?2k?b?bb222222??1,等号当仅当2?2k?b?b，即b?1?k,此时d??121?k21?k此时O到直线L的距离d恰好等于圆C1的半径，直线L恰好与圆C1相切。当直线L的斜率不存在时最大值仍是1，在此略。（小结：此题充分展示了圆—数形结合的精灵！若用法三则将圆当成椭圆不符高考方向）

创新探究1（娄娟的“大眼睛”）：

x2y2??1，圆C1圆心为O且过椭圆C的左右焦点,圆C2圆心为O且过椭圆C的上下顶点， 已知椭圆C:32若不过原点O的直线L分别交圆C1、圆C2于A、B两不同点，求S?AOB的最大值。

B A O 解：由题意知得：圆C1:x2?y2?1,圆C2:x2?y2?2

S?AOB?

112 OAOBsinAOB??1?2?1?,等号当仅当?AOB?900时取。222创新探究2（崔清菲的“大眼睛”）：

x2y2??1，圆C1圆心为O且过椭圆C的左右焦点,圆C2圆心为O且过椭圆C的上下顶点， 已知椭圆C:32若不过原点O的直线L分别交圆C2、椭圆C于A、B两不同点，求S?AOB的最大值。

22B O A 22解：由题意知得：圆C1:x?y?1,圆C2:x?y?2

S?AOB?

116OAOBsinAOB??2?3?1?,等号当仅当?AOB?900时且B为椭圆左或右顶点时取。222创新探究3（万岱的“大眼睛”）：

x2y2??1，圆C1圆心为O且过椭圆C的左右焦点,圆C2圆心为O且过椭圆C的上下顶点， 已知椭圆C:32若不过原点O的直线L椭圆C于A、B两不同点，求S?AOB的最大值。

B O A 解：由题意知得：圆C1:x2?y2?1,圆C2:x2?y2?2

x2y2（法一）设此时直线L的方程：y?kx?b,联立??1得：(2?3k2)x2?6kbx?3b2?6?0326kb3b2?6设A(x1,y1)、B(x2,y2),?x1?x2??,x1x2?，??0得：3k2?2?m2222?3k2?3kb(2?3k2?b2)b21122?S?AOB?ABd?1?k?(x1?x2)?4x1x2??6?2222?3k21?k

2?3k2?b2?b26222222?6??,等号当仅当2?3k?b?b，即2b?2?3k,此时??0成立。222?3k?S?AOB?62请问：您发现了什么？------这不是很像2011高考数学山东理科22题第一问吗？22x12y12x2y2（法二）设A(x1,y1)、B(x2,y2),???1,??13232x1y2?y1x2y1直线OA:y?x,即：x1y?y1x?0,d为点B到直线OA的距离?x1x12?y12?S?AOB?x1y2?y1x2112111OAd?x1?y12??x1y2?x2y1?x1y2?x2y122222x12?y12(x13)2?(2y22)2?62(x23)2?(2y12)2?62?6x1y26x2y16????2323222x13?y22且x23?y12

等号当仅当22时取，此时恰好x12?x2?3,y12?y2?2,注：此种方法一般不被同学和老师们重视与掌握（仅限于“设而不求”程度）。但是我觉得这也是一种通法！建议看看我的文章：“解析几何隐形的翅膀”！注：此题三角代换及利用矩阵也都可以但是高考对这两种方法没有明确要求，在此略！

请你展开想象的翅膀进行创新吧（无需证明）---神秘的翅膀展开了像是梦幻的气息。

创新猜想举例：

x2y2??1，圆C1圆心为O且过椭圆C的左右焦点,圆C2圆心为O且过椭圆C的上下顶点， 已知椭圆C:32若直线L分别交圆C1、圆C2、椭圆C于A、B、C、两不同点，求S?AOB的最大值。

C A O B 提出问题也是一种创新。

创新探究4（巨慧的“大眼睛”）：

bx2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)，圆C1圆心为O且半径为,圆C2圆心为O且过椭圆C的左右焦点，如图，

2ab若直线L过椭圆C的右焦点F1与圆C1相切于A点，与椭圆C相交于B点，且点A为点B与点F1的中点。求椭圆C的离心率及圆C1与圆C2的半径比。 B F2 A O F1 B F2 A O F1 解：有题知：OA?22b,F2B?b,F1B?2a?b,F1F2?2c,在直角三角形F1BF2中，b2?(2a?b)2?4c2222b4c?b?(2a?b)?4(a?b),得：?,?a5abb2两圆半径比?2??c2c3c2?2aa2?b2b23?1?()?,(a:b:c?5:4:3)2a5a

创新探究5（刘之言的“大眼睛”）：

2x2y2??1，圆C1：x2?y2?,圆C2圆心为O且过椭圆C的上下顶点。 已知椭圆C:321（1）若圆C2的切线与椭圆C相切，求此时切线斜率；（相交呢？相离呢？） （2）证明：圆C1的任意一条切线均与椭圆C相交于A、B两不同点；

（3）圆C1的一条x轴平行的切线椭圆C相交于A、B两不同点，OA?OB？；圆C1的一条x轴垂直的切线椭圆C相交于A、B两不同点，OA?OB？你能够做出猜想吗?

（4）探究：圆C1的任意一条切线均与椭圆C相交于A、B两不同点；OA?OB B F2 A O F1 B F2 A O F1 解：（1）（法一：形）圆C2:x?y?1,只有k?022

（法二：数）设圆C2:x2?y2?1的切线为：y?kx?b,则b2?1?k2,x2y?kx?b与?y2?1联立得：（1?2k2)x2?4kb?2b2?2?0,2??8(1?2k2?b2)?0,即1?2k2?(1?k2)?0,?k?0

(2)(法一：形）有题知圆C1在椭圆内部，因此切任何一条切线的切点均在椭圆内部，故必与椭圆相交。22（法二：数）设圆C1:x2?y2?的切线为：y?kx?b,则b2?（1?k2）,33x2 y?kx?b与?y2?1联立得：（1?2k2)x2?4kb?2b2?2?0,2214??8(1?2k2?b2)?0,即1?2k2?(1?k2)??k2?0333（3）不难发现，均有OA?OB!

?4kb2b2?2(4（下面证明)OA?OB）设A(x1,y1),B(x2,y2),x1?x2?,x1x2?.1?2k21?2k2b2?2k23b2?2(1?k2)22y1y2?(kx1?b)(kx2?b)?kx1x2?kb(x1?x2)?b?,OA?OB? 221?2k1?2k2?b2?(1?k2),?OA?OB?0.(斜率不存在在（2）中已证明！3你能够继续探究吗？

创新猜想：

x2y2??1，是否存在圆心O为圆C1的任意一条切线均与椭圆C相交于A、B两不同点且已知椭圆C:21OA?OB？

-------这不就是2009年山东高考数学理科22题（2）问！

高考原题：

x2y2?2?1(a,b?0)2M(2.2),N(6,1)，O为坐标原点 ab设椭圆E：

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A，B且OA?OB？若存在，写出该圆的方程，关求

AB的取值范围；若不存在，说明理由。

（在此不展开证明了）

创新猜想：

2x2y222??1，已知椭圆C:圆C1：x?y?,我们已经证明出圆C1的任意一条切线均与椭圆C相交于A、B321两不同点，且OA?OB

（1）若圆C1：x?y?1呢？OA?OB?0 ？ （2）若圆C1：x?y?

探究解析：

22221呢？OA?OB?0 ？ 33b2?2(1?k2)由上一题知：OA?OB?，1?2k23b2?2(1?k2)1?k2若x?y?1,得b?(1?k),?OA?OB???01?2k21?2k2斜率不存在时也成立！2222

13b2?2(1?k2)1?k222若x?y?,得3b?(1?k),?OA?OB??-?031?2k21?2k2斜率不存在时也成立！22

创新探究6（最初的“大眼睛”）：

B F1C D A P x2y2已知椭圆M:2?2?1(a?b?0)，圆N:x2?y2?b2,等轴双曲线K的中心在原点其右焦点为(2,0)，

ab椭圆M的焦点与双曲线K的顶点重和且在圆N上。抛物线H:x2?4y的焦点为F，椭圆M的下顶点为D，

P为椭圆M上一点（非椭圆上下顶点），直线PF交抛物线H于A、B两点且斜率为k1,

直线PD交圆N于C、D且斜率为k2.

（1） 求双曲线K、圆N、椭圆M的标准方程； （2） 证明：k1k2??1； 22（3） 探究：是否存在实常数?使得(AB??)CD222?4恒成立？若存在求出?的值；不存在说明理由！

（4） 是否存在Z:x?y?r(r?0),使得圆Z的任意一条切线均与椭圆M交于E、F两点

并且满足：OE?OF，存在求出该圆的方程，不存在说明理由！

B F1P D 解（1）如图：对于等轴双曲线K:c?。。。。。。。。1分 2,a?b?1.故方程为：x2?y2?1;。

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分 圆N:方程为：x2?y2?1;。

x2椭圆M的焦点为双曲线的顶点，故其c?1,b?1,a?2,方程为：?y2?1; 。。。。。。3分

22x0y?1y?12（2）由题意知：设P(x0,y0),。。。。。。。。。。。。。。。5分 ?y0?1,k1?0,k2?0,。

2x0x022x0y0?1y0?1y0?112。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分 ??y0?1,k1k2??????, 。22x0x02x0设直线PF:y?k1x?1,带入x2?4y得：x2?4k1x?4?0,（3）

2。。。。。。9分 x12?x2(x1?x2)2?2x1x22x1?x2?4k1,x1x2??4,y1?y2???4k1?2,44。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分 对于AB,由抛物线的焦点弦公式知：AB?y1?y2?2?4k12?4,。

设直线PD:y?k2x?1,圆心（0,0）到其距离d?11?k22,。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分

24k214。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 CD?4(1?)??, 。221?k21?k24k12?12??AB?4CD2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。14 ?3 。

（4）与2009山东理科22题第2问相似：Z:x?y?

222 3B F1A P C D

创新探究7（新“大眼睛”）：

新“大眼睛”

刘红升 2011.4.18晚

穿过你的黑发的我的手，穿过你的心情的我的眼 牵着我无助的双手的你的手，照亮我灰暗的双眼的你的眼

如果我们生存的冰冷的世界依然难改变，至少我还拥有你化解冰雪的容颜

留不住你的身影的我的手，留不住你的背影的我的眼

如此这般的深情。。。。。。

前尘后世轮回中谁在声音里徘徊，痴情笑我凡俗的人世终难解的关怀

P A Q B 新“大眼睛”

M 1x2y2222??1上顶已知圆:x?y?过抛物线C1:x?2py(p?0)的焦点；圆：:x?y?1过椭圆C2:164b222点； 直线l1与l2分别与抛物线C1相切于P、Q两点，且l1?l2，l1?l2?M。

（1） 求证：P、M、Q三点的横坐标依次成等差数列；M点的纵坐标为定值； （08） （2） 证明：直线PQ恒过定点； （05、07） （3） 是否存在实常数?，使得PQ??OM2?3恒成立？存在求出?；不存在说明理由。 （10） 4（4） 是否存在点P满足：若l1与椭圆C2交于A、B两点，则M恰为AB中点。若存在求出P点坐标；若不

存在说明理由。 （11）

P A Q M B

数学是有生命的！

解：

22（1）设P(x1,x1),Q(x2,x2)，y??2x，故切线l1的方程：y?x12?2x1(x?x1)即：

2。联立得：M(l1的方程：y?2x1x?x12同理：l2的方程：y?2x2x?x2x1?x2,x1x2) 2由于l1?l2，得：kl1kl2?2x1?2x2??1,?x1x2?? （2）kPQx?x211,?)，，故M(1（1）问得证！

4242x12?x2??x1?x2,?直线PQ的方程为：y?x12?（x1?x2)(x?x1),即：y?（x1?x2)x?x1x2 x1?x2（x1?x2)x?即直线方程为：y?

111，令x?0则y?，故直线PQ恒过（0，） 44414（3）由（2）知，直线PQ恒过（0，）即抛物线的焦点，

2?由抛物线定义知焦点轩PQ?x12?x2?11?(x1?x2)2?2x1x2??(x1?x2)2?1 22OM2?(x1?x2)1?。由题意知：??416OM2PQ?34?4 2

（4）（法一）直接用方程；

22x3y?y4x?x4x4x?x22设A(x3,y3),B(x4,y4),?y3?1,(1)?y4?1,(2).由（1）（-2）得：3??3?12，

44x3?x44(y3?y4)2?kl1?x1?x21?2x1,且x1x2?-，解得：无解！不存在！ 24（法二）联立韦达定理；

4y3?y42x12122242设 （1?16x1)y?2x1y?x1?16x1?0,?M为AB中点，??-，y3?y4?-，224（1?16x1)解得：x12?-1，故无解！122A(x3,y3),B(x4,y4),联立l1的方程：y?x12?2x1(x?x1)与x2?y2?1得：创新思考：怎样就可以有解呢？----------------椭圆为：x?

y24?1

问题：如何使得P存在呢？-------创新是一个民族的灵魂！“创新意识”高考2大意识之一！

对比方法，总结！解析几何考什么？--方程思想（两种方式）、数形结合思想（抛、圆）、运算能力（量与式）！

请对比2005------ 2010山东理科题作出总结反思！

关于“方程思想”-----------对比：思考2005年山东理科22题。

设A、B是轨迹C：y2?2px(p?0).上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为?和?,当?,?变化且????

（法一）如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得x1?x2（否则?????） 且x1.x2?0.所以直线AB的斜率存在,设其方程为y?kx?b.

?4时,证明直线AB恒过定点,并求出该定点的坐标.

y12y22显然x1?,x2?.将y?kx?b与y2?2px联立消去x,

2p2p2得ky?2py?2pb?0.由韦达定理知y1?y2?2p2pb,y1.y2?.?*? kky1y22p2p??x1y1y1y22p(y1?y2)??tan??tan???. 由????，得1?tan?tan(???)?得：1=2yy2p2p4y1y2?4p41?tan?.tan?.1?121?y1y2x1x2将（＊）式代入上式整理化简，得：b?2p?2pk.即k(x?2p)?(y?2p)?0.所以，AB恒过定点(?2p,2p).

y1y22p2p??x1y1y1y22p(y1?y2)?tan??tan???. （法二）由法一知：1?tan?tan(???)?得：1=2yy2p2py1y2?4p41?tan?.tan?.1?121?y1y2x1x2即：y1y2?2p(y1?y2)?4p（*）

2y1?y2y12y12y2设A(，由直线AB方程为：y?y1?2,y1），B(,y2）(x?) 22p2p2py1?y22p2y1y22p(y1?y2)?4p22px2px2p(x?2p)即：y?，将（*）式代入得：y???，即：y??2p

y1?y2y1?y2y1?y2y1?y2y1?y2所以，AB恒过定点(?2p,2p). 注：此题将y1?y2看成整体参数，作为一个变量处理！ （法三）较麻烦，在此略！

对比两种解法：

（1） 体现方程思想的手段常见有：韦达定理、直接利用方程（抛物线设点）！ （2） 体现运算能力：“量”与“式”的把握！法一是寻找两个变量的关系完全类似于2007山东理科21题；法

二是对变量的整体把握（看成一个变量）！

关于“数形结合思想”：----------对比思考2008年山东高考理科22题：

如图，设抛物线方程为x2?2py(p?0)，M为直线y??2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为

A，B．

（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；

?2p)时，AB?410．求此时抛物线的方程； （Ⅱ）已知当M点的坐标为(2，（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2?2py(p?0)上，其中，点C满足

????????????．若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由． OC?OA?OB（O为坐标原点）

分析：此题命题形式与“新大眼睛”极为类似！充分体现了开口上下的抛物线兼有二次函数的本性有利于求导研究切线问题！ 同时此题第三问充分体现了抛物线的灵活，“形”----- 若O、D重合，则显然成立，M为（0，-2p）

y B A O x OD//AB, 若O、D不重合，?2p 设A(x1,xxxxx),B(x2,),D(x3,)，kAB?0,kOD?3,得：x3?2x0， 2p2p2pp2p212223M 显然此时，CD与y轴平行，所以AB//x轴，故kAB?x0与前提矛盾！ ?0,x3?0,结果O、D重合，p关于运算能力：----------对比2009山东理科22题（2）问）长篇小说般的22题！

求|AB |的取值范围 .

A T O

梳理2005、2007、2008、2009、2010山东高考题：

（1） 形式：多条圆锥曲线交汇、探究性问题（定点、定圆、定值、存在性问题等）；

（2） 注重“方程思想”、“数形结合思想”、“运算能力”、“创新意识”。。。。。。 （3） 所有题目均可以用“通性通法”，也有些可用“巧”法---“形”。

无论2012年解析几何以何种形式出现，“方程思想”“数形结合思想”“运算能力”永远是其考察方向！ 对于抛物线，今年很可能“王者归来”，其实，抛物线是最灵活的“圆锥曲线”，除“方程思想”、“运算能力”外，他更有利于“数形结合”的考察，至少抛物线的定义就是一种椭圆难以“企止”的“形”！当然，圆与抛物线交汇也很有意思！

胶州实验中学 刘红升 2011.11.10

爱

圆C1、圆C2、圆C3的圆心均为坐标原点O,半径分别是r1、r2、r3.(0?r1?r2?r3)。直线L与圆C2相切，与圆C3相交A、B于两点。(1)若C为圆C1上一点，求S?ACB的最大值与最小值；

（2）若C为圆C1上一点，?ACB为等边三角形，求r1、r2、r3的关系；探究：若C为圆C1上一点，?ACB为直角三角形，求r1、r2、r3的关系；解：（1）如图：S?ACB??S?ACB??r11?1?ABd???2r32?r22?(r2?r1),?2r32?r22?(r2?r1)?22?2?23?r22?(r2?r1),r32?r22?(r2?r1)?（2）如图：?ACB为等边三角形，有两种情况：2一种：3r32?r22?r2?r1;即：（3r32?r22）?（r2?r1）2一种：3r32?r22?r2?r1;即：（3r32?r22）?（r2?r1） 探究：?ACB为直角三角形尚未研究清楚！

“爱人同志” 阿根廷青年人 2011.5.24周二晚

x22已知抛物线C:y?x，椭圆M：?y?1。直线l:y?kx?m(m?0)与椭圆M相交于A、B两不同点、与

22抛物线C相交于P、Q两不同点。若PA??PB,QA???QB。探究：直线l是否恒过定点？若存在求出此定点坐标；若不存在说明理由。

“爱人同志”解读

命题意图：以椭圆、抛物线为载体；通过向量形式；考察数形结合思想、方程思想、运算能力、创新意识！

尽管此题有些“巧”，但是一种“美轮美奂”的气质令人陶醉，至少在我看来令人陶醉！此题对于椭圆主要是“直接用方程”、对于抛物线采用“联立方程”、对于向量转化出的“量与式”灵活的采用“两式相乘再相加”。此题灵感来自“强烈的高考预测冲动”！就称此题为“爱人同志”吧，送给即将高考的我的学生们。

解析：（法一）

设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，由PA??PB,QA???QB可得：

x1??x2?(1??)x3,(1)y1??y2?(1??)y3,(2)x1??x2?(1??)x4,(3)y1??y2?(1??)y4,(4)（1??2)x3x4（x1??x2）（x1??x2）(1)?(3)?(2)?(4)得：?（y1??y2）（y1??y2）??（1??2)y3y422222x3x4x12x12x222x2222222??y1??(?y2)?（1??)(?y3y4)?(??y1?1,?y2?1,y3?x3,y4?x4)22222xx22?1??2?（1??2)(34?x3x4)?(????1时，A、B重合，故???1）222?2x3x4?x3x4?2?0，（5）联立y?kx?m与y?x2得：x2?kx?m?0,?x3x4??m代入（5）式得：1?171?17(m??0舍）441?171?17?直线l:y?kx?,恒过（0，）点。442m2?m?2?0且m?0,解得：m?

其实，高考过度“押宝”是非理性的；高考前我们重点要训练“前20题”，后两题主要以旧题回顾重做即可！只是我高考前最后一次尝试研究预测高考，因为实在难以控制冲动。

（法二）解：由题意知：A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4)

?(x1?x3,y1?y3)??(x2?x3,y2?y3),(x1?x4,y1?y4)???(x2?x4,y2?y4)????x1?x3x?x3x1?x4x?x4,???1,?1??0x2?x3x2?x4x2?x3x2?x4(x1?x3)(x2?x4)?(x1?x4)(x2?x3)?0(x2?x3)(x2?x4)

?(x1?x3)(x2?x4)?(x1?x4)(x2?x3)?0?2x1x2?2x3x4?(x1?x2)(x3?x4)?0联立韦达定理带入后的：2m2?m?2?0且m?0；解得：m??直线l:y?kx?1?171?17,恒过（0，）点。441?171?17(m??0舍）44爱人同志----罗大佑 每一次闭上了眼就想到了你， 你象一句美丽的口号挥不去， 在这批判斗争的世界里， 每个人都要学习保护自己， 让我相信你的忠贞，爱人同志， 也许我不是爱情的好样板， 怎么分也分不清左右还向前看，

是个未知力量的牵引， 使你我迷失或者是找到自己， 让我拥抱你的身躯，爱人同志，

哦——边个两手牵，悲欢离合总有不变的结局，

啦 哦——两手牵不变的脸，

怎么都不能明白我不后悔，即使付出我青春的血汗与眼泪， 如果命运不再原谅我们，为了我灵魂进入了你的身体，

让我向你说声抱歉，爱人同志。

蝶恋花---数学是有生命的！

2x2y2已知抛物线C1:x?2py(p?0)的焦点F与离心率为椭圆C2：2?2?1(a?b?0)的上焦点重合，2ba双曲线x2?y2?1的顶点与椭圆C2的左右顶点重合，过F的直线l的斜率为k与抛物线C1相交于A、B2两不同点，与椭圆C2相交于C、D两不同点。（1）求抛物线C1、椭圆C2的标准方程；（2）若点S满足：OS?OC?OD且OC?OD?OC??OD??1?0(C?、D?分别为C、D在x轴的射影）证明：点S在椭圆C2上。（3）探究：是否存在实常数?满足AB4?22?1?0恒成立。若存在求出?的值；不存在说明理由。CD??（4）设M为AB中点，N为CD中点，kOM为k1,kON为k2,2 10,证明：k2?4k1k2?8?0 20,若直线OM、ON与抛物线C1的另一交点分别为P、Q.探究：直线PQ是否恒过定点？ A C F O D B 贝壳爬上沙滩看一看世界有多么大 毛毛虫期待着明天有一双美丽的翅膀 小河躺在森林的怀抱唱着春天写的歌

我把岁月慢慢编织一幅画 梦是蝴蝶的翅膀，年轻是飞翔的天堂

蝴蝶飞呀，就像童年在风里跑

蝶恋花详细解答：

y2?1。送分！ （1）抛物线C1：x?4y、椭圆C2：x?222（2）设C(xC,yC),D(xD,yD)?S(xC?xD,yC?yD)则C?(xC,0),D?(xD,0)

22yDyC2?1（3）?1（2） xD?由OC?OD?OC?OD?1?0得：2xCxD?yCyD??1 （1） x?， 22//2C(yC?yD)2?1；所以S(xP?xQ,yP?yQ)满足椭圆C2的方程。 由（1）+（2）+（3）得：(xC?xD)?22本问目的考查方程思想：并非只有韦达定理一种体现方程思想的方式，如：2010年理科21题（2）问！ （3）

将直线l与抛物线联立得：x2?4kx?4?0,xA?xB?4k,xAxB??4,yA?yB?4k2?2由抛物线焦点弦长公式经运算得：AB?yA?yB?2?4k2?4将直线l与椭圆联立得：（2?k2)x2?2kx?1?0,xC?xD??由椭圆弦长公式经运算得：CD?1?k2???82?CD?22AB?4

2k1,xx??,AB2?k22?k21?k22(xC?xD)?4xCxD?222?k2注：此问也可以以“最值”设问，如：AB?CD的最小值？。。。由于近年来山东高考注重规律探究因此没有以求值设问！（4）

10：设M（xM,yM)?(2k,2k2?1),N(xN,yN),22xA?xBxA?xBxMyM2k2?14对于抛物线k???,k1??,(?)xA?xB42xM2k对于椭圆：k?yC?yD2(xC?xD)2xy2????N,k2?N,k2??(?)(也可以由（2）联立得！）

xC?xDyNxNkyC?yD24k12?4k2??k1?k2,4k1?4k22(?)、(?)联立消掉k得：k2?4k1k2?8?02：将直线分别与抛物线联立解得：P(4k1,4k),F(4k2,4k),kMN021222?lMN:y?4k12?(k1?k2)(x?4k1),即：y?(k1?k2)x?4k1k2,将k2?4k1k2?8?0代入消去k1,得：32 4k2?3xk2?(32-4y)k2?8x?0,故不存在定点使得此式对于任意k2恒成立！kx?y?1?0恒过（ ）点；问题：

k2x?ky?k2?k?x?y?0恒过（ ）点；322kx?ky?k?2kx?y?1?0恒过（ ）点；(k?1)x?(b?1)y?k?b?0恒过（ ）点。

命题意图：（1）数学是有生命的！（2）通过第一载体“圆锥曲线”，第二载体“向量、距离、斜率”来考察：方

程思想、数形结合思想、运算能力、创新意识！

花好月圆------月有阴晴圆缺，爱国情怀不变！

已知抛物线C1:y?x2;圆N:x2?(y?b)2?1.斜率为k的直线l过圆N的圆心与抛物线C1交于A、B两不同点，l1、l2分别过A、B且均与抛物线C1相切，l1?l2?M.

探究：过M、N中点且与直线l垂直的直线l0是否恒过定点？存在求出此定点；不存在说明理由。

花好月圆详细解答

解：

2设A(x1,x12),B(x2,x2),直线l:y?kx?b,与y?x2联立得：x2?kx?b?0,x1?x2?k,x1x2??by??2x,?l1:y?x12?2x1(x?x1),2即：y?2x1x?x12(1);同理可得：y?2x2x?x2(2)，(1)?(2)解得：M(x1?x2kk,x1x2),?M(,?b),N(0,b)故MN中点为（,0),224

1kl0:y??(x?)k411,1l0:y??x?，恒过（0，）k44

此题献给伟大祖国！当我脑海里想着“美女”、狂听周璇的“花好月圆”的歌等时候迟迟不能制造“花好月圆”，当我希望以此体现爱国情怀时只用了一个小时就制造出“花好月圆”！相信此题还有更大思考空间。

痴情笑我凡俗的人世终难解的关怀！

我想起了伟大爱国词人苏轼。中国及中华民族还没有强大到不需要“爱”的程度！同学们是当代有为青年的杰出代表，爱国、激情、“创新”、追求价值理应是你们的责任。即使追求名利到了国家最高领导人的程度如果没有爱国情怀也不会有太大“价值”！“创新”是一个民族的灵魂！祖国正值需要人才之际！努力奋斗吧，不止为自己！ 对比我自己：如果我现在离开这个世界有两件事我觉得有“价值”：一是我的学生创造了“价值”；二是我曾经不计名利的为教育事业（高考）做出过一点点研究。

平时过多关注高考，淡化了“爱国主义”教育，在此向同学们及祖国道歉！其实，我自己也没有对祖国做出多大贡献，所谓“爱国”就体现在和马拉多纳一样“恨”美国！

新“花好月圆”

已知抛物线C1:x2?2y,圆N:x2?(y?b)2?1,斜率为k直线l过圆N的圆心与抛物线C1交与A、B两点，l1、l2分别是过A、B与抛物线C1相切的直线，l1?l2?M,M关于x轴的对称点Q,M关于y??x对称点P,过Q的直线l3过（-1，-1）点。探究：过P点与l3垂直的直线l0是否过定点？

新花好月圆解：

2x12x2设A(x1,),B(x2,),22直线l:y?kx?b,与x2?2y联立得：x2?2kx?2b?0,x1?x2?2k,x1x2??2bx12l1:y??x1(x?x1),22x12x2即：y?x1x?，同理：y?x2x?，22x?x2x1x2求得：M(1,),M(k,?b)22b?1P(b,?k),Q(k,b),k3?,k?1k?1?l0:y?k??(x?b),b?1整理得：k(x?1)?b(y?1)?y?x?0?直线l0恒过（-1,1）点。

此刻生命在凝聚！

此题为管欣同学专家级作品！尽管“人为雕琢痕迹较明显”、“技巧性略大”但是丝毫不能掩盖管欣同学的伟大研究精神，更不能掩盖管欣同学的伟大爱国情怀。21世纪中国最需要什么？----有爱国情怀的“创新”型人才！大家想一想：我们现在是“做题机器”，可是将来呢？没有优秀的学术氛围怎会诞生“管欣”呢？为我们自己加油喝彩吧！为祖国伟大复兴努力吧！

情难枕（高考研究班）

词曲：李子恒

如果一切靠缘份，何必痴心爱着一个人，最怕藕断丝连难舍难分，多少黎明又黄昏 就算是不再流伤心泪，还有魂萦梦牵的深夜，那些欲走还留一往情深，都已无从悔恨

早知道爱会这样伤人，情会如此难枕，当初何必太认真，早明白梦里不能长久，相思不如回头，如今何必怨离分 除非是当作游戏一场，红尘任他凄凉，谁能断了这情份，除非把真心放在一旁，今生随缘聚散，无怨无悔有几人

请对比2005------ 2010山东理科题作出总结反思！

关于“方程思想”-----------对比：思考2005年山东理科22题。

设A、B是轨迹C：y2?2px(p?0).上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为?和?,当?,?变化且?????4时,证明直线AB恒过定点,并求出该定点的坐标.

对比两种解法：

（3） 体现方程思想的手段常见有：韦达定理、直接利用方程（抛物线设点）！ （4） 体现运算能力：“量”与“式”的把握！法一是寻找两个变量的关系完全类似于2007山东理科21题；法

二是对变量的整体把握（看成一个变量）！

想一想：2007山东高考题的故事？

关于“数形结合思想”：----------对比思考2008年山东高考理科22题：

如图，设抛物线方程为x2?2py(p?0)，M为直线y??2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为

A，B．

（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；

?2p)时，AB?410．求此时抛物线的方程； （Ⅱ）已知当M点的坐标为(2，（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2?2py(p?0)上，其中，点C满足

????????????OC?OA?OB（O为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

想一想2009山东理科22题（2）问）长篇小说般的22题！

关于运算能力再次就不多谈了，除了算数外更重要的是把握“量与式”“运算方向”等！ 梳理2005、2007、2008、2009、2010山东高考题：

（4） 形式：多条圆锥曲线交汇、探究性问题（定点、定圆、定值、存在性问题等）；

（5） 注重“方程思想”、“数形结合思想”、“运算能力”、“创新意识”。。。。。。 （6） 所有题目均可以用“通性通法”，也有些可用“巧”法---“形”。

无论2011年解析几何以何种形式出现，“方程思想”“数形结合思想”“运算能力”永远是其考察方向！ 对于抛物线，今年很可能“王者归来”，其实，抛物线是最灵活的“圆锥曲线”，除“方程思想”、“运算能力”外，他更有利于“数形结合”的考察，至少抛物线的定义就是一种椭圆难以“企止”的“形”！当然，圆与抛物线交汇也很有意思！

“覆水难收”与“覆水可收”---数列探究

学生成果展示（部分）： 刘红升 胶州实验中学 2010.10.21上午

刘巧一

已知Sn为?an?前n项和，a1?1,an?1?楚凯

已知Sn为?an?前n项和，a1?1,n2(an?1?1)?Sn(n?1)?3?(n?1)2?n?1..

22n?33?Sn?1?Sn?3?,求证：an. ??是等比数列并求nn?n????Sn?1?求证：an ?lg?是等比数列并求n??刘炅昊

已知Sn为?an?前n项和，a1?1,?3Sn?2(3n?1)(3n?2)?(3n?2)an?1,证明：?高文兴

?Sn? an！?是等差数列并求3n?2???n2?1?Sn(2n?1?3Sn)已知Sn为?an?前n项和，a1?2,an? ,证明：an！??是等差数列并求23Sn?n?1?Sn?刘奉

Sn2n?1?Sn?已知Sn为?an?前n项和，a1?2, ?,证明：an！?n?是等比数列并求nan?13?2?1?2?1?刘哲

已知Sn为?an?前n项和，a1?2,99Sn?an?1?99n?1?0,证明： ?lg?是等差数列并求（Sn?n）an！陈旭升

已知Sn为?an?前n项和，a1?1,an?1管欣

2已知Sn为?an?前n项和，a1?1,Sn?(an?1?1)Sn??nan?1, 证明：?n2?24?Sn?2??Sn??2, 证明： an！??是等比数列并求nn?n??n? an！?是等差数列并求S?n?姜鹏程

已知Sn为?an?前n项和，Tn为Sn的前n项和，a1?1,2Tn?n(Tn?1?Tn),求?an? 肖扬

22*已知Sn为?an?前n项和，关于x的函数f(x)?ax?ax?Sn?3,(n?N,Sn?0)n?1时，在点（1,2）处的

切线斜率为4。（1）求a.(2)若f(x)过(Sn,nan?1),探究是否存在??R,使得??Sn??? ?等差数列？?n?以上题目均为学生“创造”！如何“创造”的呢？

数列命题与解题就好似倒一杯水与收回这杯水！ （一）问题：“已知?an?中，an?1?2Sn,a1?1,求an及Sn.”

（法一）消“an”： an?1?2Sn,an?2Sn?1，相减得： an?1?an?2an(n?2),得：an?1?3a（nn?2)以下略！（法二）消“Sn”： an?1?2Sn,得：Sn?1?Sn?2Sn,得：Sn?1?3Sn,以下略！ “两个方向”均为“通法”！

（二）揭秘：

此题的“命题灵感”为：由一个等比数列开始“若?Sn?”由此将其形式向为首项为1，公比为3的等比数列。“an与Sn.”关系的方向发展！其过程非常简单：Sn?1?3Sn.,得：Sn?an?1?Sn..即：an?1?2Sn！将此过程倒置就编出了此题！ 体会：

1，其实，命题过程与解题过程互逆！“命题灵感”来自“等差、等比”十分朴素、自然！考试说明对数列共6条要求其中4条指向“等差、等比”！而且另外两条均是了解！ 2，由此给我们提供了一种“创新”方法，“创新意识”是考试说明中两大意识之一！

（三）探寻：

既然“命题灵感”如此朴素、简单、自然！我们禁不住有“创造”的冲动！

?1?我们如果以\??为首项 1，公差1的等差数列”为命题灵感呢？S?n?由“命题灵感”出发：

a1111??1,向an与Sn的方向发展：??1,整理得：n2?1！ SnSn?1SnSn?ananSn?Sn一道新题诞生：“已知?an?中，a1?1,?1?an！”但是较难分析?1(n?2),求a及S.\??等差数列！ nn2anSn?Sn?Sn?完善此题：“已知?an?中，a1?1,?1?an” ?1(n?2),求先证明an..！??为等差数列再求2anSn?Sn?Sn?2bn?1(n≥2)． 2bnSn?Sn突然发现此题与2008山东理科19文科20题一样！2008山东理科19文科20： 已知b1?a1?1．Sn为数列?bn?的前n项和，且满足

（Ⅰ）证明数列??1??成等差数列，并求数列?bn?的通项公式；原来高考题的命题如此简单、朴素、自然！ ?Sn?（四）对比：

如果我们的“命题灵感”：“ ?lg(1?an)?！有灵感出发可得：lg(1?an?1)?2lg(1?an) 为公比2的等比数列 ”

?lg(1?an?1)?lg(1?an)2,得：1?an?1?(1?an)2,得：an?1?an?2an.将此过程倒置就制造出“2006山东高

考理科22题！”2006山东理科22：

2已知a1?2，点(an,an?1)在函数f(x)?x2?2x的图象上，其中n?1,2,3,? （1）证明数列{lg(1?an)}是等比数列；

为公比如果我们的“命题灵感”：“ ?an?1?an?1?1的等比数列 ”！有灵感出发可得： 2an?1?an?11?,得：（2an?1?an?1）?an?an?1?1，得：2an?1?an?2an?an?1?1,得?2an?1?an?为等差，an?an?1?12若我们命其a1?13,a2?,就可得：2an?1?an?n!此过程倒置就是2006山东文科22题！241、点（n、2an?1?an）在直线y=x上，其中n=1,2,3…. 2

2006山东文科22： 已知数列｛an｝中，a1?(Ⅰ)令bn?an?1?an?1,求证数列 ?bn?是等比数列；（五）总结：

我们不难发现：依据简单、朴素、自然的“命题灵感”就可以制造很多复杂的数列题目，而且“命题过程”与“解题过程”很可能“天壤之别”-----如同“倒一杯水与收这杯水！”如果不提供“合理提示”（即命题灵感！）那么就会很有技巧！比如： 如果我们以“??Sn?1的等差数列”为灵感： ?为公差为n?2?n?SnSn?1??1,整理得：an?22n?1??n2n?1?(n?1)2n?n(n?1)?(2n?1?n?2)Sn nn?12?n2?n?1我们可以想象将此过程倒置后“制造”的题目估计就算“提示”可能也很难处理！看来命题者可以轻松地使做题者陷入无底深渊！

也许这就是“递推”不出现在考试说明的原因。但是经过提示后此类题目就成为考察“等差、等比”定义的题目，并不依赖递推技巧！ 类似的灵感很多：如

an?1an?1?1?an?1?以“?n?为公差为1的等差数列！,”为灵感知：n?n?1?1，得：an?2an?1?2n?1.22?2?又可以变出这样的题目：数列?an?中，a1?1,an?2an?1?2n?1..是否存在?，使得??an??? ?为等差数列？n2??如果以??Sn??Sn?n??,,S?n,S?2。。。。。。为等差或等比数列？ ???nnn?2??n???感慨：此类题目编题远比解决容易---覆水难收！

如何“覆水可收？”----将命题意图以“提示的形式”出现在题目中！

你能够自己编一道题使你的同位能够做出，但不要太简单也不要太难吗？

探索： 创编于2006.3 灵感来自“考试”。

2005年高考数学时某考生最后12分钟面对选择12题（12分）和解答21题（12分），其中解答21题每用一分钟得1分；而选择题2分钟可排除A、B，4分钟可解出。方案①用12分钟做21题，②用8分钟做21题，用4分钟做12题，③用10分钟做21题，用2分钟做12题，用不等式表示①②③的优劣顺序 （如①>②>③） 探索： 创编于2006.3 灵感来自“考试”。

2005年高考数学某考生仅剩15分钟，选择为“BDCCA ACCDB,(?)(?)”,其中11题可排除A、B；12题可排除C、D；又知12个题 中3个A概率1/3；12个题中4个C的概率9、10； （1）若前10题不改动认为对，则11、12依次应选择____,____。 （2）若前10题全对，计算其选择题得分的数学期望。 探索： 创编于2006.3 灵感来自“考试”。

2005年高考中，某考生剩12分钟面对21题（12分）、22题（14分），其中对于21题：前6分钟做一分钟得1分；6分钟后做一分钟得0.5分；对于22题：前6分钟完成第（1）问得6分，（6分钟以前不得分），6分钟后其做第（2）问所用的时间n（n为正整数）与做出第（2）问的概率Pn的关系：

n2Pn? （第（2）问要么0分，要么8分，且须先做出第（1）问）

64方案一：用12分钟完成21题；方案二：用6分钟完成22题第（1）问，再用n分钟做第（2）问，剩下时间做21题；问：从数学期望角度怎样最好，怎样最差？ 探索： 创编于2006.4

灵感来自高考前的“养鸡场”题目。

某地区市场上可口可乐，百事可乐，崂山可乐的市场占有率依次：P,1?P,P?P 某人随机买了三瓶。?表示三瓶中百事可乐的数量。

(1)问：当 P为何值时，三瓶中可口可乐，百事可乐，崂山可乐各一瓶的概率最大？ (2)问：已知P?0.6,记“f(?)????x?2?0对任意x???1,1?恒成立”为事件A，

222求P(A)？ 探索、

创编于2006.3

灵感来自向量的“形”与椭圆的“形”交汇。此题较有难度，但是有些“偏”于“形”，“淡”于“数”，仅是一中猜测。

?????????????3????????3?????????????????????已知AG?F2G?0,BF1?BG，AC?AG,A??3,0?,F，F(1,0),(?1,0)BH??BG,HC?BF212?0。

22（１） 求Ｈ点的轨迹曲线Ｃ的方程；

????????????????17''（２） 在（１）中曲线Ｃ与过F2的直线l交于不同两点M、N，若MM?F1N?F2N?，其中M与M关

3于O对称，求直线l的方程解的个数；

????????????????'MM?F1N?F2N???????????'?F2M?F1N? （３）求

2创编于2006.12 灵感来自条件概率。

探索，10人回答同样的问题，每人选A，B，C，的概率均为p2,1?p,p?p2； （1）10人中选择A的人数的数学期望。

（2）p为何值时，选B的人数的数学期望比选C的人数的数学期望大？ （3）已有8人选A的条件下，10人全选A的概率？

探索、

创编于2009.11

灵感来自对期中考试的猜测。

解关于x的不等式loga?(1?a)x2?ax??0 （此题讨论很复杂、易错）

探索、

创编于2009.11

灵感来自对2009山东13题及2010青岛一模16题的变式，此题方法较多、便于总结规律、结果舒服。

f(x)?lnx?ax?1有2个零点求实数a的范围是 .

创编于2010.4

灵感来自“考试说明------能在具体情境中识别等差等比关系”及2010青岛一模题。 探索：

2010年吉利收购沃尔沃成功，今后年产量an与时间n成等差数列的关系如下表： 年产量an 时间n 2 1 4 2 6 3 ?? ?? 今后的年正品率bn与时间n成等比数列的关系，其年次品率与时间n的关系如下表（0

1n?1万元，次品每辆损失万元；问第几年盈利最少？ n2npn(1?p)探索创新

此题灵感来自-------“甲壳虫”汽车的辉煌及考试说明“能在具体情境中识别等差等比关系”，我个人觉得至少有以下几种具体情境：图表、应用题、分段数列、框图数列等。当然，主角必定是等差等比！ 大众汽车公司投入

161亿元经销“新甲壳虫”纪念汽车，经销期20天，为了获得更多的利润，大众汽车公司将32每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，大众汽车公司在经销这一“新甲壳虫”纪念汽车期间第n天的利润

?an???b3?1()n,1?n?52n第n天的利润,6?n?20（单位：亿元，n?N*），记第n天的利润率bn?，例如

前n天投入的资金总和10a3。

161?a1?a232（Ⅰ）求b1,b2的值；（Ⅱ）求第n天的利润率bn；

（Ⅲ）大众汽车公司在经销此“新甲壳虫”纪品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率。 解：（Ⅰ）当n?1时，b1?168;当n?2时，b2?. 161177n ???????2分

?1? （Ⅱ）当1?n?5,时，an???.

?2??1???12 ?4分 ?????1n?11931193?n?(1?())?n?1???2?216112322?32??()13221?21()n2nbn?an161?a1?a2?.......?an?132当6?n?20,时，

bn?an161?a1?a2?.......?a5?a6?.......?an?1322n?2n?n?90?n10a?an?11611?(1?5)?(n?6)(6)3222??193?1,1?n?5n??2?2???32?bn??2n,6?n?20?第n天的利润率 ????????8分2?n?n?90?[来源:中国教考资

（Ⅲ）当1?n?5,时，知bn?1?193?n???2?232???16 161当6?n?20,时，知bn?2n?2n?n?902116，知当n?9时，bn?b10?b9?? 909154n??1n?b9?1 ????????12分 9故第9或10天利润率最大，为b10

创编于2010.4

（2007山东理21文22改编）

x2y2321，已知椭圆M:2?2?1(a?b?0)其左右焦点分别是F1,F2.P(1,)在椭圆上2ab且PF2?F1F2?0. (1)求椭圆M的方程。2(2)若直线l过S(,0)与椭圆M相交于A,B两点,探究以AB为直径的圆恒过定点T,7若存在求T的坐标，不存在请说明理由！

思路一：假设存在T(a,b),设A(x1,y1),B(x2,y2)

2x2y216216k222设直线y?k(x?)代入??1得（3?4k）x?kx??12?0.74374916216k212k?k7,y?y?k(x?x)?2k?7,x1?x2?72,x1x2?212124k?34k?374k2?35762?k2249y1y2?k(x1?）?k(x2?)?,2774k?3代入x1x2?a(x1?x2)?a2?y1y2?b(y1?y2)?b2?0162576216212k?12?k?ka?kb?(3?4k2)(a2?b2)494977?023?4k（4a2?4b2?思路二：16560212a?)k?kb?12?3(a2?b2)?0,(1)7497当直线与x轴平行时以A,B为直径的圆（x?2)2?y2?22212当直线与x轴垂直时以A,B为直径的圆（x?)2?y2?()277两圆相切，交点为（2，0）TA?TB?0（,x1?2,y1）?（x2?2,y2)?0得：x1x2?2(x1?x2)?4?y1y2?0

创编于2010.4 探索11：（灵感来自2009山东文） x2y222已知圆x?y?1,探究：若椭圆2?2?（1a?b?0).使 ab 得该圆的任意切线均与椭圆相交于A,B两点且OA?OB。

则该椭圆是否恒过第一象限定点。

111，1）即证2?2?1.一般情况的证明如下： 要证椭圆恒过（ab

m 设圆的切线l:y?kx?m,圆心l的距离d??r?1.21?k

??y?kx?m22222222222得：m?k?（11），由得：(ak?b)x?2akmx?am?ab?0,22? xy??1??a2b2

?2a2kma2m2?a2b2

x1?x2?22,x1x2?22, ak?b2ak?b2 OA?OB?xx?yy?(k2?1)xx?km(x?x)?m212121212

(k2?1)(a2m2?a2b2)?km(?2a2km)?(a2k2?b2)m2?0 ?222ak?b 22222222得：(a?b)m?ab?abk?0,(2),将（1）代入（2）

(a2?b2?a2b2)m2?0(m2?k2?1?0)故a2?b2?a2b2?0 得： 11 a2b2

创编于2010.5.15

灵感来源------圆、圆、椭圆！借鉴2009山东高考22题（2）问。

得：??1,故此椭圆恒过（1，1）点。过圆E:x2?y2?2上任意一点P做圆F:x2?y2?1的切线，切点分别是A、B,x2y2射线OA、OB分别交椭圆G:2?2?1(a?b?0)于C、D,若CD恒与圆F相切，

ab探究：椭圆G是否恒过第一象限的定点Q,若存在求出Q点坐标；不存在说明理由。

创编于2010.5 探索12

设直线L过（-2p,2p）与抛物线y?2px(p?0).交于第一象限异于原点O的两个不同点与A、B,直线OA和OB的倾斜角分别为?和?,当?,?变化探究： ???是否为定值？

灵感来源：

（2005山东文22（2）问）

设A、B是y?2px(p?0).上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为? 和?,当?,?变化且????

22?4时,证明直线AB恒过定点,并求出该定点的坐标.

(22) 解：

（II）如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得x1?x2（否则?????）且x1.x2?0.

所以直线AB的斜率存在,设其方程为y?kx?b.

y12y22显然x1?,x2?.将y?kx?b与y2?2px联立消去x,

2p2p得ky2?2py?2pb?0.

由韦达定理知y1?y2?由????2p2pb,y1.y2?.?*? kk?4，得1?tan?4?tan(???)?tan??tan?

1?tan?.tan?y1y22p2p??x1y1y1y22p(y1?y2)??.将（＊）式代入上式整理化简，得： 2y1y22p2pyy?4p121?.1?y1y2x1x2

b?2p?2pk.即k(x?2p)?(y?2p)?0.所以，直线AB恒过定点(?2p,2p).

创编于2010.5 探索13

已知抛物线y2?2px.(p?0).过N(2p,0)作直线L交抛物线于A,B两点。 探究：是否存在定点M,使得以AB为直径的圆恒过点M?若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由。

灵感来自课本例题及2007高考题： 此题也可这样说：

x2y22已知椭圆??1,过N(,0)作直线L交椭圆于A,B两点.437探究：是否存在一点M,使得以AB为直径的圆恒过定点M, 若存在求M的坐标，不存在说明理由！此题还可以如此命题（2007山东理（2）问）：

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