线性代数期末考试试卷+答案合集

大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题

×××大学线性代数期末考试题

一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）

11. 若0?3521x?0，则??__________。 ?2?1??x1?x2?x3?0?2．若齐次线性方程组?x1??x2?x3?0只有零解，则?应满足 。

?x?x?x?023?13．已知矩阵A，B，C?(cij)s?n，满足AC?CB，则A与B分别是 阶矩阵。

?a11?4．矩阵A??a21?a?31a12??a22?的行向量组线性 。 a32??25．n阶方阵A满足A?3A?E?0，则A?1? 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分）

1. 若行列式D中每个元素都大于零，则D?0。（ ）

2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ）

?，am中，如果a1与am对应的分量成比例，则向量组a1，a2，?，as线性相关。3. 向量组a1，a2，（ ）

?0?14. A???0??0100?000??，则A?1?A。（ ）

?001?010?5. 若?为可逆矩阵A的特征值，则A?1的特征值为?。 ( )

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分)

T1. 设A为n阶矩阵，且A?2，则AA?（ ）。

① 2

n② 2n?1

③ 2n?1 ④ 4

?，?s（3 ? s ? n）线性无关的充要条件是（ ）2. n维向量组 ?1，?2，。

?，?s中任意两个向量都线性无关 ① ?1，?2，?，?s中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ② ?1，?2，?，?s中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ③ ?1，?2，共3页第1页

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?，?s中不含零向量 ④ ?1，?2，3. 下列命题中正确的是( )。

① 任意n个n?1维向量线性相关 ② 任意n个n?1维向量线性无关 ③ 任意n?1个n 维向量线性相关 ④ 任意n?1个n 维向量线性无关

4. 设A，B均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

① 若A，B均可逆，则A?B可逆 ③ 若A?B可逆，则 A?B可逆

② 若A，B均可逆，则 AB 可逆 ④ 若A?B可逆，则 A，B均可逆

5. 若?1，?2，?3，?4是线性方程组A??0的基础解系，则?1??2??3??4是A??0的（ ）

① 解向量

② 基础解系

③ 通解 ④ A的行向量

四、计算题 ( 每小题9分，共63分)

x?a1. 计算行列式

bx?bbbccx?ccdddx?d。

aaa解·

x?aaaabx?bbbccx?cc1dddx?dbbb1x?b11?x?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dccx?ccdddx?dbx?bbbccx?ccdddx?d1bcxd00x?(x?a?b?c?d)x30x0?(x?a?b?c?d)?(x?a?b?c?d)00000

?301???2. 设AB?A?2B，且A??110?, 求B。

?014????2?1?1??5?2?2??，B?(A?2E)?1A??4?3?2?

??2?2?1??????1?3???11???22?解.(A?2E)B?A (A?2E)?1

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0??1?10?21?01?10??02?, C??3. 设B??001?1???00?00?0001????

31204?3??且矩阵?满足关系式X(C?B)'?E, 求?。 1?2???1???1????2??a???2???????114. 问a取何值时，下列向量组线性相关？?1????,?2??a?,?3????。

?2??2???1???1?a?????????2????2???

??x1?x2?x3???3?5. ?为何值时，线性方程组?x1??x2?x3??2有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多

?x?x??x??223?1解时求其通解。

① 当??1且???2时，方程组有唯一解； ②当???2时方程组无解

??2???1???1???????③当??1时，有无穷多组解，通解为??0?c11?c20 ??????????0???0???1??

?1??2??1??3??????????4??9??0??10?, ??, ??. 求此向量组的秩和一个极大无关组，6. 设?1???, ?2??并将其余向34?????1?1?3?7?????????0???3???1???7?????????量用该极大无关组线性表示。

?100???7. 设A??010?，求A的特征值及对应的特征向量。

?021???五、证明题 (7分)

?A??1，若A是n阶方阵，且AA?I， 证明 A?I?0。其中I为单位矩阵。

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一、填空题 1. 5 2. 5. A?3E 二、判断正误 1. × 2. 三、单项选择题 1. ③ 2. 四、计算题 1.

×××大学线性代数期末考试题答案

??1

3. s?s，n?n

4. 相关

√

3. √

4. √

5. ×

③

3. ③

4. ② 5. ①

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x?aaaabx?bbbccx?cc1dddx?dbbb1x?b11?x?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dccx?ccdddx?dbx?bbbccx?ccdddx?d1bcxd00x?(x?a?b?c?d)x30x0?(x?a?b?c?d)?(x?a?b?c?d)00000 2.

(A?2E)B?A (A?2E)?1?2?1?1??5?2?2??，B?(A?2E)?1A??4?3?2?

??2?2?1??????1?3???11???22? 3.

?1?0C?B???0??0??C?B?? 4.

'?14??1?2123??，(C?B)'???3012???001??4000??1??21?00?，X???1?210???01?21??23012300120?0??0??1?'?1?E?C?B????1??2???1??001?21001?20?0??0??1?

aa1，a2，a3??121?2?1212a?12111??(2a?1)2(2a?2)当a??或a?1时，向量组a1，a2，a3线性相

228?a关。 5.

① 当??1且???2时，方程组有唯一解； ②当???2时方程组无解

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?0???（2）?1?1的特征向量为?1???1?，

?1????1??0?2?2的特征向量为?2????， ?0????0??1?3?5的特征向量为?3????。 （3分） ?1???（3）因为特征值不相等，则?1,?2,?3正交。 （2分）

?0??1??0?1??1?????1p?0p?1? （2分） （4）将?1,?2,?3单位化得p1?，，23?????2??2???0?1?????1???0??1（5）取P??p1,p2,p3????2??1??2100?0??1? 2??1??2??100???（6）P?1AP??020? （1分）

?005???14、解：该非齐次线性方程组Ax?b对应的齐次方程组为

Ax?0

因R(A)?3，则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。 （5分）

另一方面，记向量??2?1?(?2??3)，则

A??A(2?1??2??3)?2A?1?A?2?A?3?2b?b?b?0

直接计算得??(3,4,5,6)T?0，?就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为

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?3??2??????4??3?x?k???1?k?????，k?R。 （7分）

54?????6??5?????15、解：将①与②联立得非齐次线性方程组:

?0,?x1?x2?x3?x?2x?ax?0,?123 ?2x?4x?ax?0,23?1??a?1.?x1?2x2?x3　　若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解.

对③的增广矩阵A作初等行变换得:

?1??1 A??1??1?1221a10??1??0??0??00?????0a?1??10??1a?10?. （4分） ?0(a?2)(a?1)0?01?aa?1??14a21°当a?1时，有r(A)?r(A)?2?3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此时

?1??0A??0??0?010??100?，

000??000????1???则方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ?0?,

?1?????1???所以①与②的全部公共解为k?0?，k为任意常数. （4分）

?1???2° 当a?2时，有r(A)?r(A)?3，方程组③有唯一解, 此时

?1??0A??0??0?0??101?，

01?1??000??共3页第12页

00大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题

?0??0?????故方程组③的解为:?1?, 即①与②有唯一公共解x??1?. （4分）

??1???1?????

线性代数习题和答案

好东西

第一部分 选择题 (共28分)

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符

合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式 A. m+n C. n-m

a11a21a12a22a13a23a11a21a11a21a12?a13a22?a23=m，

=n，则行列式

等于（ ）

B. -(m+n) D. m-n

?100???2.设矩阵A=?020?，则A-1等于（ ）

???003??1??3 A. ?0??0??0120?0??0? ?1???

??10?1B. ?02???00??1??2D. ?0??0???0??0? ?1??3??1?00???3 C. ?010?? 1???00?2??

?00??1?0 3?01????3?12???3.设矩阵A=?10?1?，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ）

????214? A. –6 B. 6

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C. 2

D. –2

B. B?C时A=0

4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ） A. A =0 C. A?0时B=C A. 1 C. 3

D. |A|?0时B=C B. 2 D. 4

5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ）

6.设两个向量组α1，α2，?，αs和β1，β2，?，βs均线性相关，则（ ）

A.有不全为0的数λ1，λ2，?，λs使λ1α1+λ2α2+?+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+?λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，?，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+?+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，?，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+?+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，?，λs和不全为0的数μ1，μ2，?，μs使λ1α1+λ2α2+?+λsαs=0

和μ1β1+μ2β2+?+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（ ） A.所有r-1阶子式都不为0

B.所有r-1阶子式全为0 D.所有r阶子式都不为0 11η1+η2是Ax=b的一个解 22 C.至少有一个r阶子式不等于0

8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A.η1+η2是Ax=0的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 A.秩(A)

B.

D.2η1-η2是Ax=b的一个解 B.秩(A)=n-1

D.方程组Ax=0只有零解

9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ）

10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）

A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量 B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特

征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关

11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ） A. k≤3 C. k=3

B. k<3 D. k>3 B.|A|必为1

D.A的行（列）向量组是正交单位向量组

12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A.|A|2必为1 C.A-1=AT A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同

14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.??23?? ?34??34?? ?26?共3页第14页

13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（ ）

B.?大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题

?100??? C.?02?3?

???0?35?

?111???D.?120? ???102?第二部分 非选择题（共72分）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空

格内。错填或不填均无分。

11516? .

?1?11??123??，B=??.则A+2B= . ?11?1???1?24?×

15.39253616.设A=?17.设A=(aij)3

3

，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则

(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= . 18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= . 19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 .

20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(

21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= . 22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 . ?0106??2?????23.设矩阵A=?1?3?3?，已知α=??1?是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 .

??????2108??2?24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 . 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

?120??23?1???T

25.设A=?340?，B=?（2）|4A|. ?.求（1）AB；

?240??????121?3110?5?13132?4?1?326.试计算行列式

?521.

?423???27.设矩阵A=?110?，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.

????123???2??1??3??0?????????1??3?0??1????28.给定向量组α1=??，α2=??，α3=??，α4=?. ?4?022?????????4???1??9??3?试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。

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?1?2?1??24229.设矩阵A=??2?10??3332??6?6?. 23??34?0求：（1）秩（A）；

（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。

?0?22???30.设矩阵A=??2?34?的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.

???24?3?31.试用配方法化下列二次型为标准形

22 f(x1,x2,x3)=x1?2x22?3x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3，

并写出所用的满秩线性变换。

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2. 33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ

2均是

2是其导出组

Ax=0的一个基础解系.试证明

Ax=b的解；

（2）η0，η1，η2线性无关。

答案：

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.D 6.D 11.A 15. 6 16. ?17. 4 18. –10

19. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数 20. n-r 21. –5 22. –2 23. 1

222?z224. z12?z3?z4

2.B 7.C 12.B

3.B 8.A 13.D

4.D 9.A 14.C

5.C 10.B

二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）

?337??

??1?37?三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

?120??2?2?????25.解（1）ABT=?340??34?

??????121???10?共3页第16页

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?86?=????1810?. ?310??（2）|4A|=43|A|=64|A|，而

120|A|=340??2.

?121所以|4A|=64·（-2）=-128

31?1251?1126.解

?513?43?1201?1??1110010

1?53?3?5?530511=?111?1 ?5?50511=?620??62?10?40.

?5?50?5?5?3027.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而

??1?（A-2E）-1=?223????1?10????1?4?3????121??1?5?3??. ??164???所以 B=(A-2E)-1A=?1?4?3???1?5?3????423??110??

??164?????123???3?8?6=????2?9?6??. ??2129?????2130??0?53?2?28.解一 ?1?30?1????????1?30?1??0224???0112? ?34?19????013?112????1035??035?????0112???1112????0088?????0?0011?

?00?14?14????0000????1002?????0101????0011?,

?0000??所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）. 解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，

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??2x1?x2?3x3?0?x?3x??1?2即 ?1

2x?2x?43?2??3x1?4x2?x3?9.方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.

29.解 对矩阵A施行初等行变换

?1?2?1?000A?????032??0962??6?2? 8?2??3?2?02??1?2?10?1?2?1???0328?3?032?????????000?0006?2?????000?217??0002??8?3?=B. 3?1??00?0（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.

（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列

向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。

（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）

30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为

ξ1=（2，-1，0）T， ξ2=（2，0，1）T.

?25/5??25/15?????经正交标准化，得η1=??5/5?，η2=?45/15?.

?0??5/3?????λ=-8的一个特征向量为

?1??1/3?????ξ3=?2?，经单位化得η3=?2/3?.

??????2???2/3??25/5215/151/3???所求正交矩阵为 T=??5/545/152/3?.

?05/3?2/3????100???对角矩阵 D=?010?.

???00?8??25/5215/151/3????5/32/3?.） （也可取T=?0?5/5?45/15?2/3???31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32

=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.

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?y1?x1?2x2?2x3?x1?y1?2y2???设?y2?x2?x3， 即?x2?y2?y3?x??y3?3?y?x3?3，

?1?20???因其系数矩阵C=?011?可逆，故此线性变换满秩。

??001??经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形

y12-2y22-5y32 .

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 32.证 由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，

所以E-A可逆，且 （E-A）-1= E+A+A2 .

33.证 由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.

（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2个解。 （2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0， 即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.

则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.

又由假设，ξ1，ξ

2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而所以η0，η1，η2线性无关。

l0=0 .

共3页第19页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5hj.html